线性代数知识点总结(6页).doc
-线性代数知识点总结-第 6 页线性代数知识点总结第一章 行列式(一)要点1、二阶、三阶行列式2、全排列和逆序数，奇偶排列（可以不介绍对换及有关定理），n阶行列式的定义3、行列式的性质4、n阶行列式，元素的余子式和代数余子式，行列式按行（列）展开定理5、克莱姆法则（二）基本要求 1、理解n阶行列式的定义2、掌握n阶行列式的性质 3、会用定义判定行列式中项的符号4、理解和掌握行列式按行（列）展开的计算方法，即5、会用行列式的性质简化行列式的计算，并掌握几个基本方法： 归化为上三角或下三角行列式， 各行（列）元素之和等于同一个常数的行列式， 利用展开式计算 6、掌握应用克莱姆法则的条件及结论 会用克莱姆法则解低阶的线性方程组7、了解个方程个未知量的齐次线性方程组有非零解的充要条件第二章 矩阵（一）要点1、矩阵的概念 矩阵是一个矩阵表。当时，称为阶矩阵，此时由的元素按原来排列的形式构成的阶行列式，称为矩阵的行列式，记为.注：矩阵和行列式是两个完全不同的两个概念。2、几种特殊的矩阵：对角阵；数量阵；单位阵；三角形矩阵；对称矩阵3、矩阵的运算；矩阵的加减法；数与矩阵的乘法；矩阵的转置；矩阵的乘法 （1）矩阵的乘法不满足交换律和消去律，两个非零矩阵相乘可能是零矩阵。 如果两矩阵与相乘，有,则称矩阵与可换。注：矩阵乘积不一定符合交换 （2）方阵的幂：对于阶矩阵及自然数， 规定,其中为单位阵 . (3) 设多项式函数，为方阵，矩阵的多项式,其中为单位阵。 （4）阶矩阵和，则. （5）阶矩阵，则4、分块矩阵及其运算5、逆矩阵：可逆矩阵（若矩阵可逆，则其逆矩阵是唯一的）；矩阵的伴随矩阵记为，矩阵可逆的充要条件；逆矩阵的性质。6、矩阵的初等变换：初等变换与初等矩阵；初等变换和初等矩阵的关系；矩阵在等价意义下的标准形；矩阵可逆的又一充分必要条件：可以表示成一些初等矩阵的乘积；用初等变换求逆矩阵。7、矩阵的秩：矩阵的阶子式；矩阵秩的概念；用初等变换求矩阵的秩8、矩阵的等价（二）要求1、理解矩阵的概念；矩阵的元素；矩阵的相等；矩阵的记号等 2、了解几种特殊的矩阵及其性质3、掌握矩阵的乘法；数与矩阵的乘法；矩阵的加减法；矩阵的转置等运算及性质4、理解和掌握逆矩阵的概念；矩阵可逆的充分条件；伴随矩阵和逆矩阵的关系；当可逆时,会用伴随矩阵求逆矩阵5、了解分块矩阵及其运算的方法（1）在对矩阵的分法符合分块矩阵运算规则的条件下，其分块矩阵的运算在形式上与不分块矩阵的运算是一致的。（2）特殊分法的分块矩阵的乘法，例如，将矩阵分块为，其中（）是矩阵的第列，则又如将阶矩阵分块为，其中（）是矩阵的第列. （3）设对角分块矩阵,均为方阵，可逆的充要条件是均可逆，且6、理解和掌握矩阵的初等变换和初等矩阵及其有关理论；掌握矩阵的初等变换；化矩阵为行最简形；会用初等变换求矩阵的秩、求逆矩阵7、理解矩阵的秩的概念以及初等变换不改变矩阵的秩等有关理论8、若矩阵经过有限次初等变换得到矩阵,则称矩阵和矩阵等价，记为. 矩阵和等价当且仅当,在等价意义下的标准型：若，则 ，为阶单位矩阵。因此阶矩阵可逆的充要条件为。第三章 线性方程组(一)要点 1、n维向量；向量的线性运算及其有关运算律 记所有维向量的集合为，中定义了维向量的线性运算，则称为 维向量空间。 2、向量间的线性关系 （1）线性组合与线性表示；线性表示的判定 （2）线性相关与线性无关；向量组的线性相关与无关的判定3、向量组的等价，向量组的秩；向量组的极大无关组及其求法；向量组的秩及其求法 （1）设有两个向量组向量组和可以相互表示，称向量组和等价。向量组的等价具有传递性。 （2）一个向量组的极大无关组不是惟一的，但其所含向量的个数相同，那么这个相同的个数定义为向量组的秩。4、矩阵的秩与向量组的秩的关系5、线性方程组的求解（1）线性方程组的消元解法（2）线性方程组解的存在性和唯一性的判定（3）线性方程组解的结构（4）齐次线性方程的基础解系与全部解的求法（5）非齐次方程组解的求法（二）要求1、理解n维向量的概念；掌握向量的线性运算及有关的运算律2、掌握向量的线性组合、线性表示、线性相关、线性无关等概念3、掌握线性表示、线性相关、线性无关的有关定理4、理解并掌握向量组的等价极大无关组、向量组的秩等概念；及极大无关组、向量组秩的求法5、掌握线性方程组的矩阵形式、向量形式的表示方法6、会用消元法解线性方程组7、理解并掌握齐次方程组有非零解的充分条件及其判别方法8、理解并掌握齐次方程组的基础解系、全部解的概念及其求法9、理解非齐次方程组与其导出组解的关系；掌握非齐次方程组的求解方法第四章 矩阵的特征值与特征向量（一）要点 1、矩阵的特征值与特征向量的定义；特征方程、特征值与特征向量的求法与性质 2、相似矩阵的定义、性质；矩阵可对角化的条件 3、实对称矩阵的特征值和特征向量 向量内积的定义及其性质；正交向量组；施密特正交化方法；正交矩阵；实对称矩阵的特征值与特征向量的性质；实对称矩阵的对角化（二）要求 1、理解矩阵的特征值、特征向量的概念及有关性质 2、掌握特征值与特征向量的求法 3、理解并掌握相似矩阵的概念与性质 4、掌握判断矩阵与对角矩阵相似的条件及对角化的方法 5、会将实对称矩阵正交相似变换化为对角矩阵。第五章 二次型（一）要点 1、二次型与对称矩阵：二次型的定义；二次型与对称矩阵的对应关系 2、二次型与对称矩阵的标准形 配方法；初等变换法；正交变换法；合同矩阵；二次型及对称矩阵的标准形与规范形 3、二次型与对称矩阵的有定性 二次型与对称矩阵的正定、负定、半正定、半负定（二）要求 1、理解并掌握二次型的定义及其矩阵的表示方法。 2、会用三种非退化线性替换：即配方法、初等变换法、正交变换法化二次型为标准形及规范型3、掌握二次型的正定、负定、半正定、半负定的定义，会判定二次型的正定性。
