高中数学常见的知识类比(9页).doc

-高中数学常见的知识类比-第 9 页专题 高中数学常见的知识类比一、类比的定义：由两类对象具有某些类似特征，和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理类比推理的一般步骤： 找出两类事物之间的相似性或一致性；用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）；一般地，事物之间的各个性质之间并不是孤立存在的，而是相互制约的。如果两个事物在某些性质上相同或类似，那么它们在另一些性质上也可能相同或类似，类比的结论可能是真的；在一般情况下，如果类比的相似性越多，相似的性质与推测的性质之间越相关，那么类比得出的命题就越可靠。类比推理的特点：类比是人们已经掌握了事物的属性，推测正在研究的事物的属性，它以已有认识作基础，类比出新的结果；类比是从一种事物的特殊属性推测出另一种事物的特殊属性；类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却具有发现的功能二、常见的几种类比：代数方面：加乘，减除，乘乘方，除开方，实数与向量.数与式（分数对分式、整数对整式、有理数对有理式）.等式不等式，等差数列等比数列等等。几何方面：平面（二维）立体（三维），线段面，面积体积，平面角二面角.解析几何方面：圆椭圆，椭圆双曲线【1】 类比实数的加法和乘法，并列出它们类似的性质。类比角度实数的加法实数的乘法运算结果若a,bR,则a+bR 若a,bR,则abR运算律(交换律和结合律)a+b=b+a(a+b)+c=a+(b+c) ab=ba(ab)c=a(bc)逆运算加法的逆运算是减法,使得方程a+x=0有唯一解x=-a 乘法的逆运算是除法,使得ax=1有唯一解x=1/a单位元a+0=a a·1=a【2】根据等式的性质猜想不等式的性质等式的性质： 猜想不等式的性质：(1) a=bÞa+c=b+c; (1) abÞa+cb+c;(2) a=bÞ ac=bc; (2) abÞ acbc;(3) a=bÞa2=b2;等等。 (3) abÞa2b2;等等【3】实数系与向量系的类比：实数系向量系实数0、单位1 数a的相反数a实数a的绝对值| a |零向量、单位向量向量的相反向量向量的模|运算规律：交换律：abba结合律：(ab)ca(bc)，(ab)ca(bc)分配律：a(bc)abac消去律：若abac，a0，则bc若ab0，则a0，或b0公式：(ab)(ab)=a2b2(a±b)2a2±2abb2 | a·b | a |·| b |运算规律：交换律：结合律：()() (·)(·)（乘法不满足）分配律：·()··不满足消去律：若··，那么与不一定相等.若·0，那么不一定或. 公式：()·()22 (±)22±2·2 |·|·| a | b | a±b | a | b |±|【4】利用平面向量的性质类比空间向量的性质【5】平面几何与立体几何的类比：平面几何立体几何角及角平分线二面角及角平分面线段的垂直平分线线段的垂直平分面三角形的三条边四面体的四个面平行四边形对角线相交一点，并且被平分平行六面体的对角线相交于一点，并且被平分【6】试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆 球弦截面圆直径大圆周长表面积面积体积圆的性质球的性质圆的周长Cpd（d为直径）球的表面积Spd2（d为球直径）圆的面积Spr2（r为半径）球的体积Vpr3（r为球半径）（这一点不是很好的类比）圆心与弦（非直径）中点的连线垂直于弦球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆与圆心距离相等的两条弦长相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长与球心距离相等的两截面圆的面积相等；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心经过切点且垂直于切面的直线必经过球心引申：试通过圆与球的类比，由“半径为R的圆的内接矩形中，以正方形的面积为最大，最大值为2R2 ”，猜测关于球的相应命题为_【7】三角形与四面体的性质类比：三角形四面体三角形两边之和大于第三边四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半四面体的中位面（同一顶点发出的三条棱中点确定的截面）平行于第四个面，面积等于第四个面的三角形三边的中垂线交于一点，且这一点是三角形外接圆的圆心（外心）四面体的六条棱的中垂面（经过棱的中点且垂直于棱的平面）交于一点，且这一点是四面体外接球的球心，（或经过各个面三角形外心且垂直该面的垂线交于一点，这一点是四面体外接球的球心）三角形的三条内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心（内心）四面体的四个面构成的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体的内切球的球心三角形的三条中线相交于一点（重心），这点把每条中线分成2：1.四面体的每个顶点与对面三角形的重心的连线相交于一点（重心），且被该点分成3：1三角形的面积Sah四面体的体积VSh三角形的面积为（r为三角形内切圆的半径，a,b,c为三角形三边长）则四面体的体积为V=R(S1+S2+S3+S4)（R为四面体内切球半径，S1,S2,S3,S3分别为四个面的面积【8】直角三角形与直角四面体的类比：直角三角形直角四面体（在四面体中，若有一顶点发出的三条棱两两互相垂直，则改四面体成为直角四面体）如图，RtCAB中，C90°，OABcabhH如图，在四面体OABC中，OAOB，OBOC，OCOA，O为直角顶点：AB2OA2OB2（c2a2b2）S2ABCS2OABS2OBCS2OCAcos2Acos2B1cos2acos2bcos2g1（a、b、g是侧面与底面所成的角）外接圆半径R外接球半径R内切圆半径r内切球半径r【9】等差数列与等比数列的类比：等差数列an（公差为d）等比数列bn（公比为q）通项：ana1(n1)d通项：bnb1·qn1aman(mn)dqmn若a10，s，t是互不相等的正整数，则有(s1)at(t1)as若b10，s，t是互不相等的正整数，则有bts1bst1若mnpr，其中m、n、p、rN*，则amanapar若mnpr，其中m、n、p、rN*，则bm·bnbp·br若mn2p，其中m、n、pN*，aman2ap若mn2p，其中m、n、pN*，bm·bnbp2Sn，S2nSn，S3nS2n构成等差数列Sn，S2nSn，S3nS2n构成等比数列前n项和：Sna1a2an前n项积：Tnb1·b2··bn若ak0，2kn1，k，nN*则有a1a2ana1a2a2kn1若bk1，2kn1，k，nN*则有b1·b2··bnb1·b2··b2kn1若cn，则数列cn也是等差数列若dn，则数列dn也是等比数列若cn，则数列cn也是等差数列.若dn(b1····)，则数列dn也是等比数列.【10】椭圆与双曲线的类比：椭 圆双曲线xA1B1B2F1A2F2H2H1OyF1F2OyxA1A2B2B1H2H11（ab0）1（a0，b0）焦半径：| PF1 |aex0，| PF2 |aex0焦半径：左支上| PF1 |(ex0a)，| PF2 |(ex0a)右支上| PF1 |ex0a，| PF2 |ex0a通径：H1H2通径：H1H2P是椭圆上一点，F1PF2q，则Sb2tanP是双曲线上一点，F1PF2q，则Sb2cotP是椭圆上一点，F是椭圆的一个焦点，则以PF为直径的圆与圆x2y2a2内切，如下图：PFP是双曲线上一点，F是双曲线的一个焦点，则以PF为直径的圆与圆x2y2a2内切或外切，如下图：PF1F2过椭圆上一点(x0，y0)的切线方程为：1过双曲线上一点(x0，y0)的切线方程为：1若P0(x0，y0)在椭圆1（ab0）外 ，过P0作椭圆的两条切线的切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是1.若P0(x0，y0)在双曲线1（a0，b0）外 ，过P0作双曲线的两条切线的切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是1.椭圆的焦点PF1F2的旁切圆圆心M的轨迹是过长轴的端点且垂直于长轴的直线.PF1F2M双曲线的焦点PF1F2的内切圆圆心M的轨迹是过实轴的端点且垂直于实轴的直线.PF1F2AB是椭圆的长轴，O是椭圆的中心，F1，F2是椭圆的的焦点，直线AC，BD是椭圆过A、B的切线，P是椭圆上任意一点，CD是过P的切线，则有PF1·PF2PC·PDAB是双曲线的实轴，O是双曲线的中心，F1，F2是双曲线的的焦点，直线AC，BD是双曲线过A、B的切线，P是双曲线上任意一点，CD是过P的切线，则有PF1·PF2PC·PD三、类比练习题：（一）选择题：1.类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是（ ）各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等.A. B. C. D. 试题类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，可推出正四面体的下列哪些性质，你认为比较恰当的是各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等解答：解：在由平面几何的性质类比推理空间立体几何性质时，我们常用的思路是：由平面几何中点的性质，类比推理空间几何中线的性质；由平面几何中线的性质，类比推理空间几何中面的性质；由平面几何中面的性质，类比推理空间几何中体的性质；或是将一个二维平面关系，类比推理为一个三维的立体关系，故类比平面内正三角形的“三边相等，三内角相等”的性质，推断：各棱长相等，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等；各个面都是全等的正三角形，相邻两个面所成的二面角都相等；各个面都是全等的正三角形，同一顶点上的任两条棱的夹角都相等都是恰当的故答案为：2.三角形面积公式为S(abc)r，a、b、c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理可以得出四面体的体积公式为（ ）A.VabcB. VShC. V(S1S2S3S4)r（S1，S2，S3，S4为四个面的面积，r为内切球半径）D. V(abbcca)h（h为四面体的高）3.已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式S，可推知扇形的面积公式为S扇（ ）A. B. C. D. 不可类比（二）填空题：4.由“等腰三角形的两底角相等，两腰相等”可以类比推出正棱锥的类似属性是 . 解析:等腰三角形的底与腰可分别与正棱锥的底面与侧面类比. 答案：各侧面与底面所成二面角相等,各侧面都是全等的三角形或各侧棱相等5.在平面几何中，有勾股定理：“设ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2AC2BC2”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥ABCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则 ”；斜边的平方等于两个直角边的平方和，可类比到空间就是斜面面积的平方等于三个直角面的面积的平方和，边对应着面解答：解：由边对应着面，边长对应着面积，由类比可得：SBCD2=SABC2+SACD2+SADB26.从装有n1个球（其中n个白球，1个黑球）的口袋中取出m个球（0mn，m、nN*），共有种取法，在这种取法中，可以分成两类：一类是取出的m个球全部为白球，一类是取出的m个球中有一个1黑球，所以共有种，即有等式：成立. 试根据上述思想化简下列式子： .7.在圆中有结论:如图,“AB是圆O的直径,直线AC,BD是圆O过A、B的切线，P是圆O上任意一点,CD是过P的切线，则有”. 类比到椭圆：“AB是椭圆的长轴，O是椭圆的中心，F1，F2是椭圆的的焦点，直线AC，BD是椭圆过A、B的切线，P是椭圆上任意一点，CD是过P的切线，则有 .” 8.现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为，类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为 ；【】（三）解答题：9.DEF中有余弦定理：DE2DF2EF22EF·EFcosDFE，拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱ABCA1B1C1的3个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关系式，.SA1C1C2=SBB1A12+S四边形BCC1B12-2SBB1A1S四边形BCC1B1cos10.在RtABC中，若C90°，则cos2Acos2B1，则在立体几何中，给出四面体性质的猜想.四、历年高考的类比题目：1.（04广东）由图有面积关系：，则由有体积关系: .2.（02上海）如下图，若从点O所作的两条射线OM、ON上分别有点M1、M2，与点N1、N2，则·；若从O点所作的不在同一平面内的三条射线OP、OQ和OR，分别有点P1、P2，点Q1、Q2和点R1、R2，如图，则类比的结论为 .OMNN1N2M2M1PQRP1P2Q2R2Q1R1O图图3.（2000上海，第12题）在等差数列an中，若a100，则有等式a1a2ana1a2a19n（n19，nN成立.类比上述性质，相应地：在等比数列bn中，若b91，则有等式 成立.4、在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的高.P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为pa,pb,pc,我们可以得到结论:试通过类比,写出在空间中的类似结论. 5、(2001年上海)已知两个圆x2+y2=1:与x2+(y-3)2=1,则由式减去式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例,推广的命题为-