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-平面向量基本定理-第 19 页平面向量基本定理教学目标1了解基底的含义，理解平面向量基本定理，会用基底表示平面内任一向量(重点)2掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的定义(难点)3两个向量的夹角与两条直线所成的角(易混点)基础·初探教材整理1平面向量基本定理阅读教材P93至P94第六行以上内容，完成下列问题1定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e22基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底判断(正确的打“”，错误的打“×”)(1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底()(2)若e1，e2是同一平面内两个不共线向量，则1e12e2(1，2为实数)可以表示该平面内所有向量()(3)若ae1be2ce1de2(a，b，c，dR)，则ac，bd.()解：(1)错误根据基底的概念可知，平面内不共线的向量都可以作为该平面内向量的基底(2)正确根据平面向量基本定理知对平面内任意向量都可以由向量e1，e2线性表示(3)错误当e1与e2共线时，结论不一定成立【答案】(1)×(2)(3)×教材整理2两向量的夹角与垂直阅读教材P94第六行以下至例1内容，完成下列问题1.夹角：已知两个非零向量a和b，作a，b，则AOB叫做向量a与b的夹角(如图231所示)图231(1)范围：向量a与b的夹角的范围是0°180°(2)当0°时，a与b同向；当180°时，a与b反向2垂直：如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作ab如图232，在ABC中，的夹角与，的夹角的关系为_图232解：根据向量夹角定义可知向量，夹角为BAC，而向量，夹角为BAC故二者互补【答案】互补小组合作型用基底表示向量(1)已知AD是ABC的BC边上的中线，若a，b，则()A(ab)B(ab)C(ab)D(ab)(2)如图233，设点P，Q是线段AB的三等分点，若a，b，则_，_.(用a，b表示)图233用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平行四边形法则解：(1)如图所示，因为2，所以(ab)(2)()ab，()ab.【答案】(1)D(2)abab平面向量基本定理的作用以及注意点：(1)根据平面向量基本定理，任何一组基底都可以表示任意向量用基底表示向量，实质上主要是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的加减法运算(2)要注意适当选择向量所在的三角形或平行四边形，利用已知向量表示未知向量，或找到已知向量与未知向量的关系，用方程的观点求出未知向量再练一题1已知ABC中，D为BC的中点，E，F为BC的三等分点，若a，b用a，b表示，.图234【解】a(ba)ab；(ba)ab；a(ba)ab.向量的夹角问题(1)(2016·韶关高一检测)已知向量a，b，c满足|a|1，|b|2，cab，ca，则a，b的夹角等于_(2)若a0，b0，且|a|b|ab|，求a与ab的夹角可作出平面图形利用向量夹角定义及平面几何知识来解决解：(1)作a，b，则cab(如图所示)，则a，b夹角为180°C因为|a|1，|b|2，ca，所以C60°，所以a，b的夹角为120°.【答案】120°(2)由向量运算的几何意义知ab，ab是以a、b为邻边的平行四边形两条对角线如图，|a|b|ab|，BOA60°.又ab，且在菱形OACB中，对角线OC平分BOA，a与ab的夹角是30°.两向量夹角的实质与求解方法：(1)两向量夹角的实质：从同一起点出发的两个非零向量构成的不大于平角的角，结合平面几何知识加以解决(2)求解方法：利用平移的方法使两个向量起点重合，作出两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出再练一题2已知|a|b|2，且a与b的夹角为60°，则ab与a的夹角是_，ab与a的夹角是_. 解：如图所示，作a，b，则AOB60°，以OA，OB为邻边作OACB，则ab，ab，a.因为|a|b|2，所以OAB为正三角形，所以OAB60°ABC，即ab与a的夹角为60°.因为|a|b|，所以平行四边形OACB为菱形，所以OCAB，所以COA90°60°30°，即ab与a的夹角为30°.【答案】30°60°探究共研型平面向量基本定理的综合应用探究1在向量等式xy中，若xy1，则三点P、A、B具有什么样的位置关系？【提示】三点P、A、B在同一直线上在向量等式xy中，若xy1，则P，A，B三点共线；若P，A，B三点共线，则xy1.探究2如图235所示，有点O，A，D，B，以OA和OB为邻边作一平行四边形ADBO，将此平行四边形的各边所在直线延长，将平面分成9部分，对于平面上任一向量，存在唯一有序实数对(x，y)，使xy成立图235对于点C的位置与实数x，y的取值情况需分几种讨论？【提示】需分12种情况(1)点C与点O重合，则xy0.(2)点C与点A重合，则x1，y0.(3)点C与D重合，则xy1.(4)点C与点B重合，则x0，y1.(5)点C在直线OA上，则xR，y0.(6)点C在直线AD上，则x1，yR.(7)点C在直线BD上，则xR，y1.(8)点C在直线OB上，则x0，yR.(9)点C在直线OD上，则xy.(10)点C在直线AB上，则xy1.(11)点C在区域上，则x>1；点C在区域上，则0<x<1；点C在区域上，则x<0.(12)点C在区域上，则y<0；点C在区域上，则0<y<1；点C在区域上，则y>1.如图236所示，在OAB中，a，b，点M是AB的靠近B的一个三等分点，点N是OA的靠近A的一个四等分点若OM与BN相交于点P，求.图236可利用t及s两种形式来表示，并都转化为以a，b为基底的表达式根据任一向量基底表示的唯一性求得s，t，进而求得.解：()ab.因为与共线，故可设tab.又与共线，可设s，ss()(1s)asb，所以解得所以ab.1任意一向量基底表示的唯一性的理解：条件一平面内任一向量a和同一平面内两个不共线向量e1，e2条件二a1e11e2且a2e12e2结论2.任意一向量基底表示的唯一性的应用：平面向量基本定理指出了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线向量e1，e2的线性组合1e12e2.在具体求1，2时有两种方法：(1)直接利用三角形法则、平行四边形法则及向量共线定理(2)利用待定系数法，即利用定理中1，2的唯一性列方程组求解再练一题3如图237所示，在ABC中，点M是AB的中点，且，BN与CM相交于E，设a，b，试用基底a，b表示向量.图237解：易得b，a，由N，E，B三点共线，设存在实数m，满足m(1m)mb(1m)a.由C，E，M三点共线，设存在实数n满足：n(1n)na(1n)b.所以mb(1m)ana(1n)b，由于a，b为基底，所以解之得所以ab.构建·体系1(2016·黄石高一检测)已知平行四边形ABCD，则下列各组向量中，是该平面内所有向量基底的是()A，B，C，D，解：由于，不共线，所以是一组基底【答案】D2已知向量ae12e2，b2e1e2，其中e1，e2不共线，则ab与c6e12e2的关系是()A不共线B共线C相等D不确定解：ab3e1e2，c2(ab)，ab与c共线【答案】B3如图238，在矩形ABCD中，若5e1，3e2，则()图238A(5e13e2)B(5e13e2)C(3e25e1)D(5e23e1)解：()()(5e13e2)【答案】A4(2016·福州市八县一中高一联考)已知A，B，D三点共线，且对任一点C，有，则() ABCD解：A，B，D三点共线，存在实数t，使t，则t()，即t()(1t)t，即.【答案】C5已知e1，e2是平面内两个不共线的向量，a3e12e2，b2e1e2，c7e14e2，试用向量a和b表示c.解：a，b不共线，可设cxayb，则xaybx(3e12e2)y(2e1e2)(3x2y)e1(2xy)e27e14e2.又e1，e2不共线，解得ca2b.学业分层测评学业达标一、选择题1(2016·衡水高一检测)设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是()Ae1e2和e1e2B3e14e2和6e18e2Ce12e2和2e1e2De1和e1e2解：B中，6e18e22(3e14e2)，(6e18e2)(3e14e2)，3e14e2和6e18e2不能作为基底【答案】B2(2016·合肥高一检测)如图239，向量ab等于()图239A4e12e2B2e14e2Ce13e2D3e1e2解：不妨令a，b，则ab，由平行四边形法则可知e13e2.【答案】C3.(2016·大连高一检测)如图2310，已知E、F分别是矩形ABCD的边BC、CD的中点，EF与AC交于点G，若a，b，用a、b表示()图2310AabBabCabDab解：易知，.设，则由平行四边形法则可得()22，由于E，G，F三点共线，则221，即，从而，从而(ab)【答案】D4若D点在三角形ABC的边BC上，且4rs，则3rs的值为()ABCD解：4rs，()rs，r，s.3rs.【答案】C5如要e1，e2是平面内所有向量的一组基底，那么下列命题正确的是()A若实数1，2，使1e12e20，则120B空间任一向量a可以表示为a1e12e2，其中1，2RC对实数1，2，1e12e2不一定在平面内D对平面中的任一向量a，使a1e12e2的实数1，2有无数对解：选项B错误，这样的a只能与e1，e2在同一平面内，不能是空间任一向量；选项C错误，在平面内任一向量都可表示为1e12e2的形式，故1e12e2一定在平面内；选项D错误，这样的1，2是唯一的，而不是有无数对【答案】A二、填空题6已知a与b是两个不共线的向量，且向量ab与(b3a)共线，则_.解：由题意可以设ab1(b3a)31a1b，因为a与b不共线，所以有解得【答案】7设e1，e2是平面内一组基向量，且ae12e2，be1e2，则向量e1e2可以表示为另一组基向量a，b的线性组合，即e1e2_.解：因为ae12e2 ，be1e2 ，显然a与b不共线，得ab3e2，所以e2代入得e1e2bbab，故有e1e2abab.【答案】ab三、解答题8.如图2311，平面内有三个向量，其中与的夹角为120°，与的夹角为30°，且|1，|2，若(，R)，求的值. 【导学号：00680047】图2311解：如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，则，在直角OCD中，因为|2，COD30°，OCD90°，所以|4，|2，故4，2，即4，2，所以6.9.(2016·马鞍山二中期末)如图2312所示，ABCD中，E，F分别是BC，DC的中点，BF与DE交于点G，设a，b.图2312(1)用a，b表示；(2)试用向量方法证明：A、G、C三点共线解：(1)abbab.(2)证明：连接AC、BD交于O，则，E，F分别是BC，DC的中点，G是CBD的重心，×，又C为公共点，A，G，C三点共线能力提升1已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足(0，)，则点P的轨迹一定通过ABC的()A外心B内心C重心D垂心解：为上的单位向量，为上的单位向量，则的方向为BAC的角平分线的方向又0，)，的方向与的方向相同而，点P在上移动，点P的轨迹一定通过ABC的内心【答案】B2.如图2313所示，OMAB，点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内(不含边界)运动，且xy.图2313(1)求x的取值范围；(2)当x时，求y的取值范围解：(1)因为xy，以OB和OA的反向延长线为两邻边作平行四边形，由向量加法的平行四边形法则可知OP为此平行四边形的对角线，当OP长度增大且靠近OM时，x趋向负无穷大，所以x的取值范围是(，0)(2)如图所示，当x时，在OA的反向延长线取点C，使OCOA，过C作CEOB，分别交OM和AB的延长线于点D，E，则CDOB，CEOB，要使P点落在指定区域内，则P点应落在DE上，当点P在点D处时，当点P在点E处时，所以y的取值范围是.