二次型化为标准规定型的三种方法.ppt

2 二次型化为标准型的三种方法,(2)如果存在，如何求C?,定理 任何一个二次型都可以通过非退化线性 替换 化为标准形。,(1)若aii不全为零,设a110,则上式可写成,它是非退化的,代入后,对y2,y3,yn的二次型.,当aii不全为零时,继续上述方法.否则用下述(2),(2)若a ii=0 (i=1,2,n),但至少有一个aij0,设a120,则,它是非退化线性的替换,代入后,反复使用(1)与(2),可以在有限步内将二次型 化为标准形.,因为 x=Cy, |C|0,y=Dz,|D|0,则 x=(CD)z, |CD|=|C|D|0,也是非退化线性替换.,以上做法中,每一步都是非退化线性替换.,因此可以找到一个非退化线性替换化为二 次型为标准形.,定理 对任意对称阵A,存在可逆阵C使得CTAC 为对角阵. 即任何对称矩阵合同于一个对角阵.,上述定理的证明实绩上给出了一种化二次型为标准型的方法：配方法.,例1,解,所用变换矩阵为,解:配方化简,代入可得标准形为,非退化线性替换矩阵为,2.若二次型中不含有平方项，但是 则先作可逆线性变换,化二次型为含有平方项的二次型，然后再 按 1 中方法配方.,解,例3,由于所给二次型中无平方项，所以,再配方，得,所用变换矩阵为,用正交变换化二次型为标准形的具体步骤,例,从而得特征值,step2求特征向量,得正交向量组,step3将特征向量正交化,step4将正交向量组单位化，得正交矩阵P,于是所求正交变换为,