2022年3数列极限存在的条件 .docx

精品_精品资料_§3数列极限存在的条件主要内容： 单调有界定理柯西准就要 求： 把握单调有界定理证明和运算极限的方法技巧.难点：运用柯西准就证明极限存在或不存在方法的把握单调有界定理： 任何单调 有界数列都有极限.例 1 设, 证明该数列收敛.例 2证明数列收敛,并求其极限.clf,n=20.a1>=sqrt2>.plot0.n,2.2>,hold onfor i=1:n. ai+1>=sqrt2+ai>>. ploti,ai>,'r.'>,hold ondaxis1,n,1,2.2>2.221.81.61.41.212468101214161820en可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列的单调递增是明显的,有界很简洁用归纳法证明,而且利用单调有界定理 ,设其极限为,就有,A=2例 3证明存在. <c16, n= ）先看一下数列的变化的图像,该数列单调有界 <小于 3）,所以极限存在,且由图象看出：随着 n的增大 ,逐步接近一个的无理数 eclf, n=50. x=1:n . fx>=1+1./x>.x.plot0.n,2.718. 2.718>,hold on plotx,fx>,'r.'>2.82.72.62.52.42.32.22.1205101520253035404550存在的证明Cauchy 1789 1857 >最先给出这一极限,这个极限的证明方法许多.下面给出一个较简洁的证法证法先证明：对和正整数,有不等式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_事实上,<该不等式又可变形为为正整数 >在此不等式中 ,取就有就有. 单调增取又有对成立,又由有界由单调有界定理存在.用莱表示这个极限.Cauchy 收敛准就： 数列收敛,例 4证明 :任一无限十进小数的不足近似值所组成的数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_收敛 .其中是中的数 .证令有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数列极限 习题课一 按定义证明数列极限p27, 2 按定义证明：3）5）回忆证明 1）的表达 2 ）证明的一般步骤证明： 1）2 ） 由使p33 1求以下极限<3）p34 2设就存在 N,时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证明 由时a+b>/2ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由,时4<4）解保号性时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两边夹原就 15>解证明以下数列发散6<2）<3）回忆收敛数列的性质：有界性如数列无界,就数列发散2>对于任意取,就数列无界,所以数列发散回忆归结原就<3） 取数列,就取,就p3915>二 单调有界定理证明数列收敛3 <2 ）,数列单调递增设时,时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_<3 ）时单调有界定理,极限存在46不妨设单调递增,.只需证明有界.反证法.假设无界.就对任意存在,因无界,与冲突.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7由保号性时,时,数列1+h1l可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_递减,有界,存在,再由8有界存在上确界,记为A由确界定义,对任意,取,时, 即8取可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意递减10由于由 p37 例 4 的证明,递增,且其次章数列极限 总练习1<1）因2<3）不等式：1n证明由图,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_利用这个不等式3就数列的前 n 项算术平均值构成的数列和几何平均值构成的数列极限都是4<2）由 3 题<3）, 由 3 题<4）由 3 题<5）由 3 题记8>可编辑资料 - - - 欢迎下载