2022年一元二次方程复习.docx

一元二次方程复习学习好资料欢迎下载一元二次方程【1】知识点一、一元二次方程概念1一元二次方程定义：含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程.1一元二次方程的一般形式：axbxc0(a¹0),它的特征是：等式左边是一个关于未知数x的二次多项式,等式右边是零,其中ax2叫做二次项,a叫做二次项系数；bx叫做一次项,b叫做一次项系数；c叫做常数项.易错点：1忽略一元二次方程的一般形式,所以确定一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项时,应将方程化成一般形式2忽视“一元二次方程的二次项系数不为0”这一条件难点：如何理解“未知数的最高次数是2”：该项系数不为“0”；未知数指数为“2”；若存在某项指数为待定系数,或系数也有待定,则需建立方程或不等式加以讨论二、一元二次方程的解法1直接开平方法:利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法.直接开平方法适用于解形如(xa)b的一元二次方程.根据平方根的定义可知,xa是b的平方根,当b³0时,xa±b,xa±b,当b<0时,方程没有实数根.2配方法:配方法的理论根据是完全平方公式a±2abb(ab),把公式中的a看做未知数x,并用x代替,则有x±2bxb(x±b).配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边,再把二次项的系数化为1,再同时加上1次项的系数的一半的平方,最后配成完全平方公式3公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法.22222222学习好资料欢迎下载一元二次方程axbxc0(a¹0)的求根公式：2b±b24ac2x(b4ac³0)2a公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入,这里二次项的系数为a,一次项的系数为b,常数项的系数为c.4因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段,求出方程的解的方法,这种方法简单易行,是解一元二次方程最常用的方法.分解因式法的步骤：把方程右边化为0,然后看看是否能用提取公因式,公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘,如果可以,就可以化为乘积的形式5韦达定理利用韦达定理去了解,韦达定理就是在一元二次方程中,二根之和等于-b,二根之积等于acbc,也可以表示为x1+x2=-,x1x2=.利用韦达定理,可以求出一元二次方程中aaa易错点：1解方程时出现丢根现象,使用因式分解法解方程时,易将方程两边相同的式子约去而导致丢根,如：解方程x(2x1)=3x时,方程两边同时除以x,得2x-1=3,即x2,出现了丢根现象2应用一元二次方程根的判别式时,易忽略“二次项系数不为0”这一条件,一元二次方程有两个实数根的条件,首先应保证二次项系数不等于0三、一元二次方程根的判别式根的判别式：一元二次方程axbxc0(a¹0)中,b24ac叫做一元二次方程2ax2bxc0(a¹0)的根的判别式,通常用“”来表示,即b24acI当>0时,一元二次方程有2个不相等的实数根；II当=0时,一元二次方程有2个相同的实数根；III当<0时,一元二次方程没有实数根.四、一元二次方程根与系数的关系学习好资料欢迎下载如果方程axbxc0(a¹0)的两个实数根是x1,x2,那么x1x22bc,x1x2.aa也就是说,对于任何一个有实数根的一元二次方程,两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.五、一元二次方程的二次函数的关系例：1某农户种植花生,原来种植的花生的亩产量为200kg,出油率为50%（即每100kg花生可加工成花生油50kg）,现在种植新品种花生后,每亩收获的花生可加工成花生油132kg,1其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的2,求：新品种花生亩产量的增长率.解：设新品种花生亩产量的增长率为x,200(1x)·50%·(1则有1x)1322（不合题意,舍去）解得x102,x232答：新品种花生亩产量的增长率是20%.na(1x)b,其中,a是原来的量,x总结：对于增长率问题,解这类问题的公式是是平均增长率,n是增长的次数,b为增长的量.例2某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可售出20件,每件赢利40元,为了扩大销售,增加赢利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件.求：（1）若商场平均每天要赢利1200元,每件衬衫应降价多少元？（2）每件衬衫降价多少元时,商场平均每天赢利最多？解：（1）设每件衬衫应降价x元,则有(40x)(202x)1200x30x2022解得x110,x220根据题意,取x=20,每件衬衫应降低20元.（2）商场每天赢利2学习好资料欢迎下载(40x)(202x)80060x2x22(x15)1250当x15时,商场赢利最多,共1250元每件衬衫降价15元时,商场平均每天获利最多.2【二】、例题精讲例1已知关于x的一元二次方程（a-1）x-x+a-1=0的一个根是0,求a的值.2222分析：由题意知关于x的一元二次方程（a-1）x-x+a-1=0的一个根是0,所以直接把一个根是0代入一元二次方程（a-1）x-x+a-1=0中即可求出a解0是方程（a-1）x-x+a-1=0的一个根,a-1=0,a=±1,但a=1时一元二次方程的二次项系数为0,舍去a=-1方法总结此题主要考查一元二次方程的定义,比较简单,直接把x=0代入方程就可以解决问题,但求出的a的值一定要满足二次项系数不为0例2已知a是方程x-x-1=0的一个根,则a-3a-2的值为分析利用根的定义来解.a既然是方程的一个根,那么它一定适合方程a-a-1=0,然后根据需要将式子变形,最后再整体代入解把x=a代入方程可得,a-a-1=0,即a=a+1,a-3a-2=（a）-3a-2=（a+1）-3a-2=a-a-1=0总结即代数式中的字母表示的数没有明确告知,而是隐含在题设中,首先应从题设中获取等量关系a=a+1,然后利用“整体代入法”求代数式的值解此题的关键是降次,把a-3a-2变形为（a）-3a-2,把等量关系a=a+1代入求值,这种“整体代入”思想是求代数式值的常用方法22224224222222422222学习好资料欢迎下载变式拓展已知m是方程x22022x10的一个根,试求m22022m解m是方程x22022x10的一个根,m22022m10,m22022mm1或m212022m,2022的值m2120221m2m1m12022m2022m2mmm12例3若关于x的方程x3kx10有实数根,求k的取值范围分析：若一元二次方程有实数根,则根的判别式0建立关于k的不等式,求出k的取值范围还要根据二次根式的意义可知k0,然后确定最后k的取值范围解：关于x的方程x3kx10有实数根,22（3k）49k4³0,b4ac解得：k³224,9又方程中含有k,k0,k0方法总结在利用根得判别式解决问题时,一定要满足方程本身有意义为前提,同时还要满足二次项系数不为零变式拓展2一元二次方程(k1)x2kx10有实数根,求k的最小整数值2解关于x的方程(k1)x2kx10有实数根³01ïk³0,解得k且k1k的最小整数值为22ïk¹1例4随着人们经济收入的不断提高及汽车产业的快速发展,汽车已越来越多地进入普通家庭据某市交通部门统计,2022年底该市汽车拥有量为75万辆,而截止到2022年底,该市的汽车拥有量已达108万辆（1）求2022年底至2022年底该市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为了保护城市环境,缓解汽车拥堵状况,该市交通部门拟控制汽车总量,要求到2022年底全市汽车拥有量不超过12548万辆；另据统计,从2022年初起,该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%,假设每年新增汽车数量相同,请你估算出该市从2022学习好资料欢迎下载年初起每年新增汽车数量最多不超过多少万辆分析（1）设2022年底至2022年底该市汽车拥有量的年平均增长率是x,根据2022年底该市汽车拥有量为75万辆,而截止到2022年底,该市的汽车拥有量已达108万辆可列方程求解（2）设从2022年初起每年新增汽车数量为y万辆,根据要求到2022年底全市汽车拥有量不超过12548万辆；另据统计,从2022年初起,该市此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%,假设每年新增汽车数量相同,可列出不等式求解解（1）设2022年底至2022年底该市汽车拥有量的年平均增长率是x,根据题意,75（1x）=1081x=±12x1=0.2=20%x2=-22（不合题意,舍去）答：2022年底至2022年底该市汽车拥有量的年平均增长率是20%（2）设从2022年初起每年新增汽车数量为y万辆,由题意得（108×0.9y）×0.9y12548解得y20答：从2022年初起每年新增汽车数量最多不超过20万辆方法总结本题第一问考查的是一个增长率问题,知道2022年的辆数,知道2022年的辆数,发生了两年变化,可列方程求解第二问以汽车总量作为不等量关系,根据增加的和报废的,可求出结果解决增长率问题,要看清是增长还是降低,如果设基数为a,若连续两年的平均增长（降低）率为x,则两年后的值为a（1±x）,n年后的值为a（1±x）变式拓展（2022山东日照）为落实国务院房地产调控政策,使“居者有其屋”,某市加快了廉租房的建设力度2022年市政府共投资2亿元人民币建设了廉租房8万平方米,预计到2022年底三年共累计投资95亿元人民币建设廉租房,若在这两年内每年投资的增长率相同（1）求每年市政府投资的增长率；（2）若这两年内的建设成本不变,求到2022年底共建设了多少万平方米廉租房解（1）设每年市政府投资的增长率为x,根据题意,得：22（1x）+2（1+x）=95,整理,得：x+3x-175=0,解得x1=0.5x2=-0.35（舍去）,答：每年市政府投资的增长率为50%；（2）到2022年底共建廉租房面积=95÷222n2238（万平方米）8例5某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观.如果游客过多,对馆中的珍贵文物会产生不利影响.但同时考虑到文物的修缮和保存费用问题,还要保证一定的门票收入.因此,博物馆采取了涨浮门票价格的方法来控制参观人数.在该方法实施过程中发现：每周参观人数学习好资料欢迎下载与票价之间存在着如图片在页面最后1所示的一次函数关系.在这样的情况下,如果确保每周4万元的门票收入,那么每周应限定参观人数是多少?门票价格应是多少元?思路点拨本题可先用待定系数法求出参观人数和票价的函数关系式,然后根据参观人数×票价=40000元,来求出自变量的值解设每周参观人数与票价之间的一次函数关系式为y=kx+b由题意得10kb7000解得k=-500b=1202215kb4500y=500x+12022根据题意,得xy=40000即x（-500x+12022）=40000x-24x+80=0解得x1=20x2=4把x1=20,x2=4别代入y=-500x+12022中得y1=2022,y2=10000因为控制参观人数,所以取x=20,y=2022答：每周应限定参观人数是2022人,门票价格应是20元/人方法总结一次函数与一元二次方程相结合的综合应用题,所以同学们要经常温习所学内容,这样在解综合题时才能沉着应对.变式拓展某公司生产某种产品,每件产品成本是3元,售价是4元,年销售量为10万件.为了获得更好的效益,公司准备拿出一定的资金做广告.根据经验,每年投入广告费为图片在页面最后12x277x（万元）时,产品年销售量将是原销售量的y倍,且yx,如果把利润看101010作是销售额减去成本费和广告费,试求当年利润为16万元时,广告费x为多少万元？解根据题意得（43）10yx=16x26x90解得x=3广告费为3万元例6用12m长的一根铁丝围成矩形（1）如果矩形的面积为5m,那么此时矩形的长是多少？如果面积是10m呢？（2）能围成的矩形的最大面积是多少？思路点拨关于一元二次方程的面积问题,首先根据等量关系列出方程,其次确定方程的解再根据方程根的情况确定面积是否存在方程有解则矩形存在,无解则矩形不存在这22学习好资料欢迎下载种解题方法在其他存在性问题中也经常用到解设矩形的宽为xm,则长为（6x）m（1）根据题意得x（6x）=5,即x26x50,解得x11,x25(舍去）当矩形的宽为1m,长为5m时,面积为5m2同样当面积为10m2时,x（6x）=10,即x26x100此时=40,故此方程无实数根这样的矩形不存在（2）设围成的矩形面积为k,则有x（6x）=k,即x26xk0,要使该方程有解,必须0,即（6）4k³0,即k9最大的k只能是9,即能围成的矩形的最大面积为9m2,此时x=3,6x=3,这时能围成的图片在页面最后形是正方形方法总结当周长一定时,围成的矩形中正方形面积最大利用一元二次方程根的判别式可确定字母的最值问题变式拓展如图片在页面最后2,有长为24米的篱笆,一面利用墙（墙的最大可用长度为a为12米）,围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃（1）如果要围成面积为45平方米的花圃,AB的长是多少米？（2）能围成面积为51平方米的花圃吗？如果能,请说明围法；如果不能,请说明理由.图片在页面最后22解（1）设AB的长是x米则BC=（243x）米根据题意得x（243x）=45即x28x150,解得x13,x25当x=3时,BC=243×3=1512当x=5时,BC=243×5=912AB的长是5米2（2）当面积是51平方米时,有x（243x）=51,x8x170,此时=64680,方程无实数根,这样的花圃不存在学习好资料欢迎下载【三】、基础训练一、选择题1若关于x的一元二次方程(m-1)x+5x+m-3m+2=0有一个根为0,则m的值等于( )A1B.2C.1或2D.02巴中日报讯：今年我市小春粮油再获丰收,全市产量预计由前年的45万吨提升到50万吨,设从前年到今年我市的粮油产量年平均增长率为x,则可列方程为( )A452x50B45(1x)50C50(1x)453已知a,b是关于x的一元二次方程x2nx10的两实数根,则An22Bn22Cn2222222D45(12x)50ba( )的值是abDn224已知a、b、c分别是三角形的三边,则(a+b)x+2cx+(a+b)0的根的情况是( )A没有实数根B可能有且只有一个实数根D有两个不相等的实数根22C有两个相等的实数根25已知m,n是方程x2x10的两根,且(7m14ma)(3n6n7)8,则a的值等于( )A5B.5C.-9D.926已知方程xbxa0有一个根是a(a¹0),则下列代数式的值恒为常数的是( )AabB2aCabDabb7x2x20的一较小根为x1,下面对x1的估计正确的是( )A2x11B1x10C0x11D1x1228关于x的一元二次方程xmx2m10的两个实数根分别是x1x2,且2x12x27,则(x1x2)2的值是( )A1B12C13D259中江县2022年初中毕业生诊断考试)某校九年级学生毕业时,每个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念,全班共送了2450张相片,如果全班有x名学生,根据题意,列出方程为( )A.x(x1)2450B.x(x1)2450C.2x(x1)2450D.x(x1)24502学习好资料欢迎下载10设a,b是方程x2x20220的两个实数根,则a22ab的值为( )A2022B20222C2022D202211对于一元二次方程ax+bx+c=0(a0),下列说法：若a+c=0,方程ax+bx+c=0必有实数根；若b+4ac<0,则方程ax+bx+c=0一定有实数根；若a-b+c=0,则方程ax+bx+c=0一定有两个不等实数根；若方程ax+bx+c=0有两个实数根,则方程cx+bx+a=0一定有两个实数根其中正确的是( )ABCD二、填空题1若一元二次方程x(a+2)x+2a=0的两个实数根分别是3b,则a+b=2方程（x1）（x+2）=2（x+2）的根是2ab3关于x的一元二次方程ax+bx+1=0(a¹0)有两个相等实根,求的值为22(a-2)b-422222222_4在等腰ABC中,三边分别为a,b,c,其中a=5,若关于x的方程x+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根,则ABC的周长为_225已知关于x的一元二次方程x-6x-k=0（k为常数）设x1,x2为方程的两个实数根,2且x1+2x2=14,则k的值为_6已知m、n是方程x-2022x+2022=0的两根,则(n-2022n+2022)与(m-2022m+2022)的积是.三、解答题1已知x是一元二次方程222x23x10的实数根,求代数式：x35¸x22x23x6xè的值学习好资料欢迎下载2已知关于x的一元二次方程x2m1xm0有两个实数根x1和x2.22（1）求实数m的取值范围；22（2）当x1x20时,求m的值.3某产品第一季度每件成本为50元,第二三季度每件产品平均降低成本的百分率为x.（1）衣用含x的代数式表示第二季度每件产品的成本；（2）如果第三季度每件产品成本比第一季度少95元,试求x的值；（3）该产品第二季度每件的销售价为60元,第三季度每件的销售价比第二季度有所下降,若下降的百分率与第二、三季度每件产品平均降低成本的百分率相同,且第三季度每件产品的销售价不低于48元,设第三季度每件产品获得的利润为y元,试求y与x的函数关系式,并利用函数图片在页面最后象与性质求y的最大值.（注：利润=销售价-成本）4若关于x的一元二次方程x22(2k)xk2120有实数根、-求实数k的取值范围；设tk,求t的最小值5已知双曲线y3和直线ykx2相交于点A（x1,y1）和点B（x2,y2）,且x2x12x210,求k的值.四、拔高训练学习好资料欢迎下载1已知关于x的方程（a1）x（2a3）x+a=0有实数根（1）求a的取值范围；（2）设x1,x2是方程（a1）x（2a3）x+a=0的两个根,且x1+x2=9,求a的值2某水果批发商场经销一种高档水果,如果每千克赢利10元,每天可售出500千克,经市场调查发现,在进货价不变的情况下,若每千克涨价1元,日销售量将减少20千克,现该商场要保证每天赢利6000元,同时又要使顾客得到实惠,那么每千克应涨价多少元？3设m是不小于1的实数,使得关于x的方程x+2（m2）x+m3m+3=0有两个不相等的实数根x1,x22mx12mx2（1）若x1+x2=0,求m的值;（2）求的最大值1x11x222222222作业：1写出一个以12为根的一元二次方程_2如果方程(m3)x2m23m2mx10是一元二次方程,那么m的值是3若x5x7(x2),则x224已知2x3x1的值是10,则代数式4x6x1值是025若一个三角形的三边长均满足方程x6x80,则此三角形的周长为26若关于x的方程kx2x10有实数根,求k的取值范围27求证：不论m为何值时,mm的值恒大于3m5的值8解下列方程：学习好资料欢迎下载22(2x1)8（2）2x23x20（配方法）（1）22x（3）25x10（4）2（x3）x（x3）9已知关于x的一元二次方程kx2k1xk,2（1）若方程有两个不相等的实数根,求k的取值范围；（2）若方程没有实数根,求k的取值范围；（3）若方程有两个实数根,求k的取值范围.10关于x的二次三项式x(2a4)x2aa10是完全平方式,求a的值11百货大楼服装柜销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40元为了迎接“十一”国庆节,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,尽快减少库存经市场调查发现：如果每件童装降价1元,那么平均每天就可多售出2件,要使平均每天销售这种童装盈利1200元,那么每件童装应降价多少元？12A、B、C、D为矩形的4个顶点,AB=l6cm,BC=6cm,动点P、Q分别从点A、C同时出发,点P以3cm/s的速度向点B移动,一直到达点B为止；点Q以2cm/s的速度向点D移动.经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm?第12题22