2022年三角函数的图像与性质知识点与题型归纳 .docx

精品_精品资料_高考明方向1. 能画出 y sinx, ycosx, y tanx 的图象, 明白三角函数的 周期性2. 懂得正弦函数、余弦函数在 0,2 上的性质 如单调性、最大值和最小值,图象与 x 轴的交点等 ,懂得正切函数 在区间 2,2 内的单调性备考知考情三角函数的周期性、单调性、最值等是高考的热点,题型既有挑选题、填空题、又有解答题 ,难度属中低档 ,如2022 课标全国 14、北京 14 等. 常与三角恒等变换交汇命题,在考查三角函数性质的同时, 又考查三角恒等变换的方法与技巧 ,留意考查 函数方程、转化化归等思想 方法.一、学问梳理 名师一号 P55学问点二、例题分析：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（一）三角函数的定义域和值域例 1（ 1）名师一号 P56对点自测 3函数 ylgsinxcosx12的定义域为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析要使函数有意义必需有sinx>0,1cosx 20,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sinx>0,2k<x< 2k,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即1cosx,2解得 2kx 32k3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_kZ 2k<x 2k, k Z.3函数的定义域为 x|2k<x 2k,kZ 3例 1（ 2）名师一号 P56高频考点例 11函数 y sinxcosx的定义域为解:1 要使函数有意义,必需有sinx cosx0,即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sinxcosx,同一坐标系中作出 y sinx,y cosx,x 0,2 的图象如下列图结合图象及正、余弦函数的周期是2知,5函数的定义域为 x 2k4x2k 4,kZ.留意：名师一号 P56高频考点 例 1 规律方法1 求三角函数的定义域实质就是解三角不等式（组） 一般可用 三角函数的图象或三角函数线确定三角不等式的解例 2（ 1）名师一号 P56对点自测 4x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 y 2sin和为6 3 0 x 9的最大值与最小值之可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A2 3B 0C 1D 1 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解: 0x9 7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ , 3 6x33 6 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sinx 63 2 ,1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y 3, 2, ymaxymin 2 3.留意：名师一号 P56高频考点 例 1 规律方法 2求三角函数的值域的常用方法之一：利用 sinx 和 cosx 的值域 图像直接求.例 2（ 2） 8 月月考第 17 题117（满分 12 分）已知函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x3cos2 x2cosxsin xsin 2 x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ I ）当 x0, 时,求2f x 的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x3cos2 x2cosxsin xsin 2 x12cos 2 xsin 2 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2cos2 xsin 2x 2 分22 sin 2 x2 cos 2 x222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 sin2 x2 3 分4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0, 时, 2x2, 5444, 4 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin2 x2,1, 5 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_42f x1,22 ,即 f x 的值域为 1,22 . 6 分留意：名师一号 P56高频考点 例 1 规律方法 2求三角函数的值域的常用方法之二：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_化为求yAsinxb 的值域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如：ya sin xbcosx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_合一变换yAsin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ya sin2 xbsin x cos xccos2 x降幂yd sin2 xecos2xf可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_合一变换yA sin2xb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意弦函数的有界性；变式: 名师一号 P58 特色专题典例 1如函数 fx asinxbcosx 在 x2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就常数 a, b 的值是 3处有最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Aa 1, b 3B a 1, b 3 Ca 3,b 1D a 3,b1解:函数 fxasinxbcosx 的最小值为a2b2. fx a2 b2sinx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中cosa a2b2,sinb22 ,a b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a2b2 2, 就31a 3,解得b1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 3 2 a2b 2,【名师点评】解答此题的两个关键：引进帮助角,将原式化为三角函数的基本形式.利用正弦函数取最值的方法建立方程组例 23 名师一号 P56高频考点例 12 72可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x6, 6 时,函数 y3sinx 2cosx 的最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是,最大值是 71可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解: x6, 6 , sinx 2,1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 y 3 sinx2cos2x3sinx 21 sin2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2172 sinx48.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4时,当 sinx 1ymin7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8.当 sinx1sinx1 时, ymax 2. 2或留意：名师一号 P56高频考点 例 1 规律方法 2求三角函数的值域的常用方法之三：把 sinx 或 cosx 看作一个整体,转换成二次函数求值域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习: 补充（1） ）求函数f xtan2 xtan2 x1的值域1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【答案】1,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） ）求函数f x 2sin 2 x1x0,的值域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin 2 x2【答案】3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x2sin 2 x13sin 2 xcosx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin 2x2sin x cosx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3tan2 x111可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3tan x2tan x2tan x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0,2f x1tan x02 3tan x13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2tan x留意： 求三角函数的值域的常用方法之三： 求三角函数的值域的常用方法：化为求代数函数的值域留意约束条件三角函数自身的值域；例 2（ 4） 补充可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求函数f xsin x cos xsin xcosx 的值域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1【答案】22,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意： 求三角函数的值域的常用方法之四：名师一号 P56问题探究 问题 3如何求三角函数的值域或最值？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_形如 yasinxcosxbsinx±cosxc 的三角函数,可先设 tsinx±cosx,化为关于 t 的二次函数求值域 或最值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_利用 sin2 xcos2 x1转化为二次函数在指定区间可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上的值域问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式:求函数f xsin x cos xsin xcosx 的值域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2（ 5） 详见 第一章其次讲函数值域7数形结合法： 例 72名师一号 P14问题探究问题（ 6）当一个函数图象可作时, 通过图象可求其值域和最值. 或利用函数所表示的几何意义, 借助于几何方法求出函数的值域 补充 如两点间距离、直线斜率等等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求函数 y4sin x2cos x1 的值域4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解: y4 sin x1 4sin x214可视作单位圆外一点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 cos x2cos x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P2,1 与圆 x24y1上的点cosx,sin21x 所连线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_段斜率的 2 倍, 设过点 P2,的点的直线方程为4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y1k x42k12 即kxy2k104可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令41 解得 k1k 23 535或 k412可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案：, 2 6留意： 求三角函数的值域的常用方法之五： 数形结合法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习： 求函数 ycosx1xsin x20,的值域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案：0, 43可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式： 求函数 ycos x1x,的值域可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin x222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案：0, 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_拓展: 8 月月考第 16 题2 sin x2x2x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 f x2x24cosx的最大值是M ,最小值是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m,就 Mm 的值是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 sinx2x2x4sin xcosx2x2xsin xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x2x2cosx2x2cosx12x2cosx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,记 g xsin22xxx,就cos xg x 是奇函数且f x1g x ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 fx 的最大值是 M1gxmax ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_最小值是 m1g x min ,由于g x 是奇函数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 gxmaxg xmin0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 Mm1g x max1gxmin2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（三）三角函数的周期性、奇偶性、对称性例 1（ 1）名师一号 P56对点自测 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设函数 fxsin 2x xR,就 fx是 2 ,A.最小正周期为 的奇函数B.最小正周期为 的偶函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C.最小正周期为2的奇函数D.最小正周期为2的偶函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案 B例 1（ 2）名师一号 P57高频考点例 3（2）2022 ·新课标全国卷 在函数 y cos|2x|, y |cosx|, y cos 2x , y tan 2x 中, 最小正周期为 的所64有函数为 ABCD .由解：由于 y cos|2x| cos2x,所以该函数的周期为22函数 y |cosx|的图象易知其周期为.函数 y cos 2x 的周期6为 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 .函数 y tan 2x 4 的周期为数是,应选A.,故最小正周期为的函2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：名师一号 P56问题探究 问题 1如何求三角函数的周期？(1) 利用周期函数的定义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 利用公式：yAsinx和 y Acosx 的最小正周期为ytanx的最小正周期为 2|,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_|.|例 1（ 3）名师一号 P58 特色专题典例 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3函数 fx sin x sinx >0相离为 2,就 邻两对称轴之间的距可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【规范解答】相邻两对称轴之间的距离为2,即 T 4.fx sin x sinx 1 sinx 3 cosx sinx 33222sinx 3cosx3sin x ,又由于 fx 相邻两条对称轴之26可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_间的距离为 2,所以 T 4,所以 24,即 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：【名师点评】函数 fx Asin x ,fx Acos x 图象上 一个最高点和它相邻的最低点的横坐标之差的肯定值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是函数的半周期2A .在解决由三角函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_, 纵坐标之差的肯定值是| |数图象确定函数解析式的问题时,要留意使用好函数图象显示出来的函数性质、函数图象上特别点的坐标及两个坐标轴交点的坐标等 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习 : 加加练 P3第 11 题例 2（ 1）名师一号 P57高频考点例 3（ 1）x (1) 如函数 fxsin30,2 是偶函数,323就 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2A. B. 2C. 3D. 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：1 fxx 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f0 ±1.sin3是偶函数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin3±1,3 k2kZ 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3k 3 Z 2 k2 .应选又 0,2 ,当 k0 时, 3C.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_变式：如函数 fxx0,2 是奇函数,就 ？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2（ 2）名师一号 P57高频考点例 3（ 3）3假如函数 y3cos2x 的图象关于点4 3 ,0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_中心对称,那么 |的最小值为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6432A. B. C. D. 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 3由题意得42可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3cos 2×3 3cos3 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 3cos 2320,3 k 2,k Z.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ k k Z,取 k 0,得 |的最小值为 6,6.留意：【规律方法】(1) 如 fxAsinx为偶函数,就当x0 时, fx取得最大或最小值,如 fx Asinx 为奇函数,就当 x 0 时, fx 0.(2) 对于函数 y Asinx ,其对称轴肯定经过图象的 最高点或最低点, 对称中心肯定是函数的零点, 因此在 判定直线 x x0 或点x0,0是否是函数的对称轴或对称中心 时,可通过检验 fx0的值进行判定名师一号 P56问题探究 问题 4如何确定三角函数的对称轴与对称中心？ 如 fxAsinx 为偶函数,就当 x0 时, fx取得最大值或最小值如 fxAsinx 为奇函数,就当 x0 时, fx 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如求 fx的对称轴,只需令 x 2 kkZ ,求 x. 补充 结果写成直线方程； 假如求 fx的对称中心的横坐标,只需令 x kkZ 即可 补充 结果写点坐标；同理对于 yAcosx,可求其对称轴与对称中心,对于 yAtanx可求出对称中心练习 1：名师一号 P58 特色专题典例 3已知 fx sinx 3cosxx R,函数 y f x | 为偶2函数,就 的值为【规范解答】先求出 fx 的解析式,然后求解3 fx sinx 3cosx 2sin x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 fx 2sin x .函数 f x 为偶函数, 3即 6 kk Z k, k Z , 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 | 2, 6.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习 2：计时双基练 P247第 3 题（四）三角函数的单调性例 1（ 1）名师一号 P56对点自测 6以下函数中,周期为,且在 上为减函数的是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22A. y sin 2x C y sin x4 , 222B. y cos 2x D y cos x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2,解析由函数的周期为,可排除 C, D.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又函数在 上为减函数,排除B,应选 A. 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习 1：计时双基练 P247第 7 题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 ycos42x的单调递减区间为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习 2: 加加练 P1第 11 题（2） ）名师一号 P57高频考点例 24已知函数 fx 4cosx·sin x >0 的最小正周期为 .(1) 求 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2(2) 争论 fx在区间 0, 上的单调性4解 ： 1 fx 4cosx·sin x 22 sinx·cosx 222 2.cos x 2sin2x cos2x22sin 2x 4由于 fx的最小正周期为 ,且 >0.从而有 21. ,故 242由1 知, f x 2sin 2x 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,就如 0 x 2 2x 4 54.4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 2x 4 4 2,即 0 x8时, fx单调递增.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 2x 2 5 4 4 ,即8 x时, fx单调递减 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8综上可知, fx在区间 0, 上单调递增, 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在区间8, 2 上单调递减可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：名师一号 P56问题探究 问题 2如何求三角函数的单调区间？(1) 求函数的单调区间应遵循简洁化原就,将解析式先化简,并 留意复合函数单调性规律“同增异减”(2) 求形如 y Asinx 或 yAcosx其中,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_>0的单调区间时,要视“ x”为一个整体, 通过解不等式求解 但假如 <0,那么肯定先借助诱导公式将 化为正数,防止把单调性弄错例 2名师一号 P58 特色专题典例 42022 ·全国大纲卷 如函数 fx cos2xasinx 在区 间 6,2 是减函数,就 a 的取值范畴是【规范解答】先化简,再用换元法求解fx cos2x asinx 1 2sin2x asinx. 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令 t sinx, x6 , 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ t11 .,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2<t<1 , gt 1 2t2 at 2t2 at 1 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,由题意知a 1 2× 22a 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a 的取值范畴为 , 2课后作业可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一、计时双基练 P247 基础 1-11 、课本 P56 变式摸索 1二、计时双基练 P247 培优 1-4 课本 P56 变式摸索 2、3 预习 第五节练习：1、设函数 fx2sinx如对任意 xR,都有25fx1fxfx2成立,就 |x1 x2|的最小值为 1A4B 2C 1D.2分析： fx的最大值为 2,最小值为 2,对. x R, 2fx2.取到最值时x k, |x1 x2|取最小值,即2fx1为最小值, fx2为最大值且 x1, fx1, x2, fx2为相邻的最小 大值点,即半个周期可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_T解析： fx的周期 T 4, |x1x2|min2应选 B. 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、为了使函数 ysinx0 在区间 0,1上至少显现 50可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_次最大值,求的最小值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、（12 天津文 7）将函数f xsinx0 的图像向右可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平移个单位长度, 所得图像经过点4值是 3,0 ,就 的最小4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_特别情形 - 三角函数的奇偶性例 2 补充（1）（08.江西）函数f xsin xx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是（ ）sin x2sin2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A以 4为周期的偶函数 B 以 2为周期的奇函数C以 2为周期的偶函数 D 以 4为周期的奇函数【答案】 A（ 07 年辽宁理） 已知函数f xsinx sinx 2cos2x ,xR662（其中0 ）（ I ）求函数 f x 的值域.可编辑资料