2022年三角函数知识点归纳 .docx

精品_精品资料_三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1. 任意角1 角的概念的推广 按旋转方向不同分为竝、鱼角、零角. " 正角: 按逆时针方向旋转形成的角任意角负角 : 按顺时针方向旋转形成的角零角: 不作任何旋转形成的角 按终边位置不同分为象限角和轴线角.角 a 的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,就称a 为第几象限角 .第一象限角的集合为 a R . 360 v a v k . 360 + 90 ,z“其次象限角的集合为 aR. 360 + 90 <k. 360.+180., keZ第三象限角的集合为 a k. 360 +180 v a v k . 360 + 270缺 e z第四象限角的集合为 a|k. 360 + 270.va v1360 + 360., keZ终边在 x 轴上的角的集合为 a|a = I180 ,"Z终边在丁轴上的角的集合为 a|a = R . 180 +90 e z终边在坐标轴上的角的集合为aa = k-90,keZ终边与角 a 相同的角可写成 a+/ 360 °HZ. 终边与角 a相同的角的集合为 0 卜=1360 +a,keZ 3弧度制 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角 . 弧度与角度的换算： 360°=红弧度. 180°弧度 . 半径为 r 的圆的圆心角 &所对弧的长为 /, 就角 Q 的弧度数的肯定值是 a = 如扇形的圆心角为 aa 为弧度制 ,半径为 r,弧长为 /, 周长为 C,面积为 S,就f C = 2r+l9S = -lr =ar 1.2 21 12. 任意角的三角函数定义设 a 是一个任意角,角 a 的终边上任意一点刃,它与原点的距离为心=衣+ , 那么角 a 的正荻、余眩、VXV正切分别是： sin a=- , cos a= , tan a=: 三角函数值在各象限的符号规勵瀕为 : 二全正、二正弦二rJTx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三正虬四余弦 L 3.待殊角的三角函数值、週度030456090120135150180270360可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_角 a的弧度0n/6n/4n/37l/22 K/3773K/45JI/6713n/22 71可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sina01/22/2x/3/2173/2V2/21/20-10-7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cosa1V3/22/21/20-1/2-V2/2-1013/2-V可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tana0V3/31V3-x/3-1二、同角三角函数的基本关系与诱导公式A. 基础梳理1. 同角三角函 数的基本关系3/300可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平方关系 :sin%+cos%=l.（在利用同角三角函数的平方关系时,如开方,要特殊留意判定符号）sin acos a（ 2）商数关系 -:- =tan a. 3倒数关系： tan<7-cot6Z = 12. 诱导公式公式一： sina+2An = sin a, cosa+25=cos_a, tana +2A TT = tan a 其中 &.Z .公式二： sinit + a = sin_a, COS TT + a = cos_a, tann + n = tana.公式三： sin 兀一 a = sin a, cosn-a=-cos_a, tan-cr = -tancr.公式四： sina= sin.Q,cos a = cos_a, tan a = tan a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_公式五 := cos_a,/cosJIa =sin a.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_<2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_公式六 := COS_t7,sin_a.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_JT.诱导公式可概括为 J- ±a的各三角函数值的化简公式 . 口诀：奇变偶不变,符号看象限. 其中的奇、偶是指齐勺奇数倍和偶数倍 , 变与不变是指函数名称的变化. 如是奇数倍,就函数名称要变（正荻变余荻,余荻变正荻）.如是偶数倍,n 就函数名称不变,符号看象限是指：把a 看成锐角时,依据 k .云土 a 在哪个象限判定原三角函数值的符号,最终作为结果符号 .B. 方法与要点一个口诀1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变,符号看象限.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2、四种方法在求值与化简时,常用方法有:sin a 丄滋切互化迭匚圭要利用公式.坦 2 卫三煮二化成正丄 .塞理CzOS Cl21 租积转携洼 : 利甩 §4- 牡上 2 丄砂三丄兰空埜 1 企兰旦的浚垂进行变腿转化 :sin a + coscz .sin Q cosa、sin acosa三个式子知一可求二 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3巧用 "1 ”的变换： 1 = sin2 6+ cos20- sin 4齐次式化切法：已知 tana = k,就7T= tany . 24asina + bcosamsina + ncosaa tan a + h mtan a + nak + b mk + n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、三角函数的图像与性质学习目标：1 矣求三角函数的定义域、值域2 矣求三角函数的周期：定义法,公式法,图像法 如 y = |sin.t|与 , = |cosx|的周期是. r .3 矣判定三角函数奇偶性4 矣求三角函数单调区间5 知道三角函数图像的对称中心,对称轴6 知道 V = Asinex + 0, y = A coscox+ 0 , y = A tan<wx + 0 的简洁性质 一 学问要点械理1、正弦函数和余弦函数的图象：正荻函数>' =sin.r 和余弦函数 ,V = COSA -图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为 0,尹卑如的五点,再用光滑的曲线把这五点连接起来,就得到正荻曲线和余荻曲线在- 个周期内的图象.y=si nx八.713 兀7 兀兀' 、.上/ 2 兀 匹 34, ,/4兀1"2、正弦函 9cy = sinxxeR余弦函数 y = cosxxw/. 的性质：(1) 定义域：都是 R.2值域：都是 -1,1,对 y = sinx , 当 x = 2kz + <k eZ时, y 取皋大值 1;当 x = 2k7r + keZ时, y 取最小值一 1; 2 2对 y = cosx,当 x = 2k7rkeZ时, y 取最大值 1,当兀 = 2Qr+/rR wZ 时, y 取最小值一 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 周期性： y = sinx , y = cosx的最小正周期都是 2 龙.(4) 奇偶性与枷性： 正荻函数 y = sinxxeR 是奇函数,对称中心是 Qr,O 仏 wZ, 对称轴是直线 x = 3 +彳RwZ . 余荻函数 y = cosxxeR 是偶函数,对称中心是 * + 彳,o “Z对,称轴是直线 x = k7rkeZ; 正 余眩型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直干x 轴的直线,对称中心为图象与x 轴的交点 .(5) 单调性：2+ 2 航keZ 上单调递増,在牙+ 2R/T, 2k 兀kwZ 单调递减 ;y = cosx 在 ;r + 2Qr,2QrkwZ单调±递增,在 2 加, 2龙+刃伙 wZ 上单调递减.特殊提理,别忘了3、 正切函数 y =tan x 的图象和性质：(1) 定义域： + wZ .2(2) 值域是 R,无最大值也无最小值.(3) 奇偶性与对称性：是奇函数,对称中心是i 亍,0 kwZ, 特殊提 BL 正 余 切型函数的对称中心有两类：一类是图象与 X 轴的交点,另一类是渐近线与X 轴的交点,但无对称轴,这是与正荻、余荻函数的不同之处.(4) 单调性：正切函数在开区间 ;- 彳+后冷+切"Z 内都是增函数.但要留意在整个定义域上不具有单调性.4、 正弦、余弦、正切函数的图像和性质y = sin xy = cosxv = tan .v*y1L1yMJ3 耳 /V.r V 羽图象0厂 V 警农4 jy xk01 /| /.f/.1i i11 .定义域RRx xfkrr七巴、 k eZ2.值域I71Rx = 2k7r + k wZ 时, 2当 x = 2Qr"Z 时,1最值Vmax =1 . 当 X = 2 滋 - 扌>max =. 当 X = 2k" 兀既无最大值也无最小值zz时, ymin=-i."Z 时, >'min = -1.2/r2 兀JI周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 2-,2 + -L22 “ Z上是増函数 ;在 2k7r-2k7rk eZ Jt 是 増函在& 21tkfP+单调性.7T .3/T在2k 7T +, 2k 7t +数.在 2 灯 r,2 灯 r+龙 “Z上"Z 上是増函数 .L 22是减函数 .仏 eZ上是减函数 .对称中心 Qr,0AwZ 对称轴尤 对称中心 炽+彳, 0 gz对称中心 ￥,0”eZ对称性=.龙+兰伙.Z对称轴 x = &/rk eZ无对称轴25、讨论函数 y = Asiner + 0 性质的方法：类比于研 %y = sinx 的性质,只需将 y = Asinex + 0 中的 cox +p 看 成 y = sinx 中的 x.函数尸 Asin x+ A>0,>0的性质.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1定义域： R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 值域：卜 A,A (3) 周期性：八磊 fx = Asincox +p和 fx = Acoscox +p的最小正周期都是 T = lei/x =+ 0 的最小正周期都是 T = 丄 o可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(4) 单调性：函数尸 Asin x+ 单调增区间可由 215-2单调减区间可由 215衣+A>0, ty >0 的<2krt + y , R.z 解得.3/r益 215 H , /f.z 解得.在求严 Asinex + 0 的单调区间时,要轄别留意A 和的符号,通过诱导公可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_式先将 Q化正. 如函数 y = sin-2x + 的递减区间是 答： - 专+阪荐 +肠A JUZ可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： y- sin - 2. + 彳= sin -2x +号=_sin sin2z+ yj , 所以求 y 的递诚区间即是求可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7T7T7T 7T可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x + 的递増区间,由一刁 + 2 血 r W 2 另 二+ 2 施花 G Z 得7T57T77TT55*T7TV“- 叵+血 W = +ATT,A .GZ , 所以 y 的递减区间是一 p + 血, "jy1+2術 kwZ123可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学问要点1%几个物理童 : 振幅： A ; 周期： T = ;频率： / = 丄=皂. 相位： cox + （ 初相： （ p. coT 2 龙2、 函数 y = Asin （ov + 0） 表达式的确定： A 由星值确定. . 由周期确定.卩由图象上的特殊点确定.函数 y = Asin （s:+0） + E ,当= ' 时,取得最小值为 ' 爲.当” =勺时,取得最大值为）爲,就11TA = 7 （ >max->min ） B = （ Vmax + >min ）= X2 Xx（ < Xl）_9,./X3、 函数 y = Asin （亦+ 0） 图象的画法：“五点法”一一设X=ox + 0, 令 X =0, &冰耳 , 2 龙求出相应的 x 值,厶厶运算得出五点的坐标,描点后得出图象.图象变换法：这是作函数简图常用方法.4>函数尸 sinx 的图象经变换可得到 y = Asin （3. r + <p） （co>O）的图象可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_横坐标 .- y= sin cox伸（缩）丄倍co左平移倒co尸 sin（炉+ 0）_-. 伸（缩） A 倍左（右） y = A sin an*可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_伸（缩） A 倍平移11横坐标 y = sin（址+ °）纵坐标伸（缩）二倍伸（缩）人倍 .y = Asin （ tyx+0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y=siav.生（右尹 =sin（ X +co0） 平移闽 .横坐标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_-. - = Asinx 伸（缩） A .倍伸（缩） A 倍 y 二皿 n（ x+. . |伸（缩）口化横坐标A .左（右）y = A sin anr-伸（缩）丄倍 平移何（03左（右） .y = AsinG + 0 ） 横坐标可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平移| 列伸（缩）丄倍co可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、函数 y = Asin （ cox +（p） + b 的图象与 y = sinx 图象间的关系：函数y = sinx的图象向左（. >0）或向右 （.<0 ）平移| 如个单位得 y = sin（x+（p）的图象.函数 y = sin（x+0 图象的纵坐标不变,横坐标变为原先的丄,得到函co数 y = sin（ cox+0）的图象.函数 y = sin（ mr+0） 图象的横坐标不变,纵坐标变为原先的A 倍,得到函数 y = Asin（cox + （ p）的图象.函数 y = Asin （mx + 0 ）图象向上 （ Z.>0）或向下 （Z.v0）平移 lb I 个单位,得到 y = Asin（a） x + （ p） + b的图象.要特殊留意,如由 y = sin（ cox）得到 y = sin（ ar+0）的图象,就向左或向右平移应平移I 纟 1 个单位,co如要得到函数 y= sin2x-）的图象,只需将函数 y=sin2x 的图象（）（ A） 向左平移 个单位n（B） 向右平移§个单位71（ C）向左平移石个单位Q）向右平移疳个单位6、函数 y=Acos （ x+ ）和厂 Atan （ x+ ） 的性质和图象的变换与尸Asin （ x+ ）类似.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三角恒等变换1、两角和与差的正荻、余荻和正切公式：lcosa+0 = cosacos0-sinasin0. coscr-/7 = cosacos/.+sinezsin/7.sin Q+0 = sinacos0+cosasin0. sina-0 = sinacos0-cosasin0. tan a + = tan a + tan =>tana+tan0 = tana +01-tanatan 0. 1 一 tan a tan 0(6) tana-0= - =>tana-tan/. = tana-Z7l + tanatanZ7.1 + tan a tan 0如 tan20" + tan40" +km20" tan40 °= ; 答案： 冬2、二倍角的正荻、余荻和正切公式：(1) sin la =2 sin a cos a .=> 1 土 sin 2a = sin2 a + cos 2 a ±2sinacosa = sina土 cosa'_5n兀5 兀兀5如 COS +COS2 +COS COS 的值等于. 答案:-(2) cos 2a = cos2 a-sin2 a = 2cos2 a -1 = 1 -2sin2 a二>升気公式 l + cos2a = 2cos2 a,l-cos2a = 2sin2 a3、二荻归一二把两个三角函数的和或差化为一个三角函数：asin0+方 cos& = 7f.+ 庆 sin0 + 0 ,其中 tan = -.a4、三角变换时运算化简的过程中运用较多的变换,敏捷运用三角公式,把握运算化简的方法. 常用的方法技巧如下 : 2L 角的变挟：在三角化简,求值,证明中,表达式中往往显现较多的异角,可依据角与角之间的和差,倍半,互补茶的关系,查找条件与结论中角的关系,运用角的变换,使问题获解,对角的变形如：,互 2a 是 a的二倍. 4a 是 2a 的二倍. a是.的二倍. .是.的二倍.224 15" =45"-30" =60"-45" . 问： sin =. cos=12;12 a = a + 0-0.兰 + a =二一 冬一 a. 2a = a + 0 + a-0= 冬 +a- 兰一 a.等等 .24 答案：一応 , -1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_巳知 处丁 =l,uma_0 = _ ,就tan0-2a=; 答案： ;1-cos 2a383L 函. 数名 .松变挟：三角变形中,经常需要变函数名称为同名函数.如在三角函数中正余荻是基础,通常化切为荻,丞异名另同石 二荻归一 .如 sin 50“1 +A/3 tan 10" =;2 卩 COSW +也册可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_'coslO0 >/3sinl0o=sin 5T - = sin 50.2sin 3°0"+l yJ _ 2sin40 co°s40 °_ sin80c°os 10 °可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析: 原式二 sin 50 °.cos 10 °+ cos 10 °.cos 10 °coslO7= cos 10"=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数代挟：在三角函数运算,求值,证明中,有时需要将常数转化为三角函数值,例如常数“1的”代换变形有 :1 = sin2 a + cos2 a = sin90" = tan45". L 基的、变挟：降気是三角变换经常用方法,对次数较高的三角函数式,一般采纳降鬲处理的方法.常用降気公式有：.O 有时需要升籌,常用升靠公式有：.如对无理式 71 +COS a常用升籌化为有理式 .畑公式变形 : 三角公式是变换的依据,应娴熟把握三角公式的顺用,逆用及变形应用.女口:cos a cos p 一 sin a sin 0=; sin a cos 0 + cosa sin J3= tan a + tan 0 =; 1 一 tan a tan 0 = tan a _ tan 0 =; 1 + tan a tan 0 = a . a asin a cosa =: 2 sin cos =.2 2cos2 a-sin2 a =. 2cos a_l =：2sin2 a-1 =. 1 + cosa =; l-cosa =;2 tan a =; 1-tan2 a = _; asn0+bcQS0 =; 其中 tanp =;6三角函数式的化简运算基本规章：复角化单角,异角化同角,见切化荻,二荻归一,商次化低次,特殊值与特殊角的三角函数互化.可编辑资料 - - - 欢迎下载