2022年二元一次不定方程的解法总结与例题 .docx

精品_精品资料_探究二元一次不定方程（ Inquires into the dual indefinite equation）冯晓梁（ XiaoLiang Feng ） （江西科技师范学院数计学院 数一班330031）【摘 要】 : 二元一次不定方程是最简洁的不定方程, 一些复杂的不定方程经常化为二元一次不定方程问题加以解决.我们争论二元一次方程的整数解.The dual indefinite equation is the simple the indefinite equation, some complex indefinite equations change into the dual indefinite equation question to solve frequently. We discuss the dual linear equation the integer solution.【关键字】： 二元一次不定方程初等数论 整数解（ Dual indefinite equationPrimary theory of numbersInteger solution）二元一次方程的概念：含有两个未知数,并且未知项的次数是1 的方程叫做二元一次方程.一个方程是二元一次方程必需同时满意以下条件.等号两边的代数式是整式.具有两个未知数.未知项的次数是1.如：2x-3y=7 是二元一次方程,而方程 4xy-3=0 中含有两个未知数,且两个未知数的次数都是 1,但是未知项 4xy 的次数是 2,所以,它是二元二次方程,而不是二元一次方程.定理 1. 形如不同时为零 的方程称为二元一次不定方程.1二元一次方程的解和解二元一次方程：能使一个二元一次方程两边的值相等的未知数的一组值叫做这个方程的一个解,但如对未知数的取值附加某些限制,方程的解可能只有有限个.通常求一个二元一次方程的解的方法是用一个未知数的代数式表示另一个未知数,如 x-2y=3 变形为 x=3+2y,然后给出一个 y 的值就能求出 x 的一个对应值, 这样得到的 x、y 的每对对应值,都是 x-2y=3 的一个解.定理 2. 方程有解的充要是.2如,且为的一个解,就方程的一切解都可以表示成：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（t 为任意整数）定理 2 的扩展.元一次不定方程, 有解的充要条件是.方法与技巧：1. 解二元一次不定方程通常先判定方程有无解.如有解,可先求一个特解,从而写出通解.当不定方程系数不大时,有时可以通过观看法求得其解,即引入变量,逐步减小系数,直到简洁得其特解为止.2. 解 元一次不定方程时,可先顺次求出,. 如,就方程无解.如|,就方程有解,作方程组：求出最终一个方程的一切解, 然后把的每一个值代入倒数其次个方程,求出它的一切解,这样下去即可得方程的一切解.对于解不定方程（组）,二元一次不定方程是最简洁的不定方程,一些复杂的不定方程（组）经常化为二元一次不定方程问题加以解决,设a,b,c,d 为整数,就不定方程 ax+by=c 有如下两个重要命题：（1） 如（ a,b）=d,且 d 不等于 c,就不定方程 ax+by=c 没有整数解.（2） 如 Xo,Yo 是方程 ax+by=c 且（ a,b）=1 的一组整数解（称特解） ,就 x=Xo+bt ,（t 为整数）y=Yo-at是方程的全部整数解（称通解）.求：方程 5x-3y=-7 的正整数解 .解: 原方程 X=3y-7/5 即 X=-2+3y+1/5 1 Y=4时,x=1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 X=1 Y=4 为原方程的一组整数解 , 因此, 原方程的全部整数解为X=1-3k k为任意整数 Y=4-5k再令 X 大于 0,y 大于 0, 即有不等式组1-3k 大于 04-5 k 大于 0解得 K 小于 1/3, 所以当 k 取 0,-1,-2, 时原方程可得到无穷多组正整数X=1-3k k=0,-1,-2, Y=4-5k题：某人家的电话号码是八位数,将前四位数组成的数和后四位组成的数相加得14405,将前三位组成的数雨后五位相加得16970,求这个人家中的电话号码.解：可将两个已知条件变为两个方程,用方程只是去解决.关键是怎么样设未知数, 不妨将 a b c d e f g h的 a b c设为 x. d 设为 y, e f g h设为 z 可以很快构造出方程组.设电话号码是 10000x+10000y+z,其中 x,y, z 均为自然数,且 100x999,0 y9,10x+y+z=14405.1000z9999,就 x=10000y+z=16970 .- 化简得 1111y-x=285 ,即 1111y=x+285.100x999, 385 x+285 1284.385/1111 y1284/1111又y 为整数 y=1,x=826, z=6144即 此电话号码为 82616144.例：（1） 求方程 15x+52y=6 的全部整数解.（2） 求不定方程 5x+7y=978 的正整数解的组数.解：对于（ 1）,通过观看或辗转相除法,先求出特解.对于2 ,先表示出方程的全部整数解,再解不等式组确定方程的正整数解的组数.【解法一】·（ 1）观看易得一个特解x=42,y=-12 ,原方程全部整数解为x=42-52t ,（ t 为整数）y=-12+15t【解法二】·（ 1） x=-4y+ 6+8y/15 , 令 6+8y/15= t1 , 得 y=2 t1-t1+6 / 8, 令 t1+6/ 8=t,得 t1=8t-6 ,化简得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x=42-52t ,（ t 为整数）y=-12+15t（2）可得原不定方程的通解为x=197-7t（t 为整数）y=-1+5t由 x0,y0 得 1 t 28 即原不定方程有 28 个正整数解.利用辗转相除法求整数解：例 求方程 407x-2816y=33 的一个整数解,并写出它的通解解：将方程化简为37x-256y=3即 37x+256（-y ） =3256=6×37+34 37=1×34+334=11×3+11=34- 11×3=（256- 6×37） - 11×37 - （256- 6×37） =256-6×37- 11×37+11×256- 66×37=37×（ -6-11-66 ）+256×（ 1+11） 即 37×（ -83 ）+256×12=1上式各项乘以 3 得 37×（ -249 ）+256×36=3原方程的一个整数解是Xo =-249Yo =-36通解为 （t 为任意整数）x=-249+256t y=-36-37t这就是用辗转相除法解的,这种方适用于全部的有整数解的方程.由于1 是全部整数的约数.辗转相除总能除到余数为1,再逆推,化为原不定方程的形式.但用辗转相除除到余数为 1,再逆推,这一过程较繁,如除到余数是常数项的约数,也可逆推,化为原不定方程的形式,这样就简便些.又如解不定方程 13x+15y=8解： 15=13+2（ 2 是常数 8 的约数）2=15-13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 8=13×（ -4 ）+15×4方程一特解Xo =-4Yo =4所以原方程的通解为x=-4+15t y=4-13t求不定方程 47x-97y=501 的整数解解： 97=47×2+3 3是 501 的约数 3=97-47×2 左右同乘 167即 501=97×167- 47×33447×-334- 97×-167=501Xo =-334方程的一个特解为Yo =-167 x=-334+97t不定方程的通解 t为整数 y=-167+47t上述用辗转相除 , 除到余数是常数的约数就逆推化为原不定方程的形式, 从而求出它的一个特解的方法 , 得出通解.参考文献：1 闵嗣鹤 严士健,初等数论【 M】,高等训练出版社, 20XX年 7 月第 3 版, P252 闵嗣鹤 严士健,初等数论【 M】,高等训练出版社, 20XX年 7 月第 3 版,P25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二元一次不定方程的解法我们知道,假如未知数的个数多于方程的个数,那么,一般来说,它的解往往是不确定的,例如方程x-2y=3,方程组等,它们的解是不确定的像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方程组不定方程 组 是数论中的一个古老分支,其内容极其丰富我国对不定方程的争论已延续了数千年, “百鸡问题” 等始终流传至今, “物不知其数” 的解法被称为中国剩余定理 近年来,不定方程的争论又有新的进展学习不定方程,不仅可以拓宽数学学问面,而且可以培育思维才能,提高数学解题的技能我们先看一个例子例 小张带了 5 角钱去买橡皮和铅笔,橡皮每块 3 分,铅笔每支 1 角 1 分,问 5 角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？解 设小张买了 x 块橡皮, y 支铅笔,于是依据题意得方程3x+11y=50这是一个二元一次不定方程从方程来看,任给一个x 值,就可以得到一个 y 值,所以它的解有很多多组但是这个问题要求的是买橡皮的块数和铅笔的支数,而橡皮的块数与铅笔的支数只能是正整数或零,所以从这个问题的要求来说,我们只要求这个方程的非负整数解由于铅笔每支 1 角 1 分,所以 5 角钱最多只能买到 4 支铅笔,因此,小张买铅笔的支数只能是 0,1,2, 3, 4 支,即 y 的取值只能是 0,1,2,3,4 这五个如 y=3,就 x=17/3 ,不是整数,不合题意. 如 y=4,就 x=2,符合题意所以,这个方程有两组正整数解,即也就是说, 5 角钱刚好能买 2 块橡皮与 4 支铅笔,或者 13 块橡皮与 1 支铅笔像这个例子, 我们把二元一次不定方程的解限制在非负整数时,那么它的解就确定了 但是否只要把解限制在非负整数时,二元一次不定方程的解就肯定能确定了了？不能；现举例说明例 求不定方程 x-y=2 的正整数解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 我们知道： 3-1=2,4-2=2,5-3=2,所以这个方程的正整数解有很多组,它们是其中 n 可以取一切自然数因此,所要解的不定方程有很多组正整数解,它的解是不确定的上面关于橡皮与铅笔的例子,我们是用逐个检验的方法来求它们的非负整数解的,但是这种方法在给出的数比较大的问题或者方程有很多组解的时候就会遇到麻烦那么能不能找到一个有效而又便利的方法来求解了？我们现在就来争论这个问题,先给出一个定理定理 假如 a,b 是互质的正整数, c 是整数,且方程ax+by=c 有一组整数解 x0, y0 就此方程的一切整数解可以表示为其中 t=0 ,± 1,± 2,± 3,证 由于 x0,y0 是方程的整数解,当然满意ax0+by0 =c, 因此ax 0 -bt+by 0+at=ax 0 +by0=c这说明 x=x0 -bt ,y=y0+at 也是方程的解设 x, y是方程的任一整数解,就有ax +bx=c.-得ax -x0 =b y -y0 由于a ,b=1 ,所以 ay-y0 ,即 y=y0+at ,其中 t 是整数将 y=y0 +at 代入,即得 x=x0-bt 因此 x, y 可以表示成 x=x0-bt , y=y0+at 的形式,所以 x=x0-bt ,y=y0+at表示方程的一切整数解,命题得证有了上述定理,求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特别解 例 1 求 11x+15y=7 的整数解解法 1 将方程变形得由于 x 是整数, 所以 7-15y 应是 11 的倍数 由观看得 x0 =2,y0=-1 是这个方程的一组整数解,所以方程的解为解法 2 先考察 11x+15y=1,通过观看易得11× -4+15× 3=1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以可取 x0=-28,y0=21从而11× -4×7+15× 3 ×7=7 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可见,二元一次不定方程在无约束条件的情形下,通常有很多组整数解,由于求出的特解不同,同一个不定方程的解的形式可以不同,但它们所包含的全部解是一样的将解中的参数 t 做适当代换,就可化为同一形式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2 求方程 6x+22y=90 的非负整数解解 由于6 , 22=2,所以方程两边同除以2 得3x+11y=45 由观看知, x1=4, y1=-1 是方程3x+11y=1 的一组整数解,从而方程的一组整数解为由定理,可得方程的一切整数解为由于要求的是原方程的非负整数解,所以必有由于 t 是整数,由,得 15t 16,所以只有 t=15 ,t=16 两种可能 当 t=15 时, x=15,y=0.当 t=16 时, x=4,y=3所以原方程的非负整数解是例 3 求方程 7x+19y=213的全部正整数解分析 这个方程的系数较大, 用观看法去求其特别解比较困难, 遇到这种情形我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小,最终再用观看法求得其解解 用方程7x+19y=213 的最小系数 7 除方程的各项,并移项得由于 x,y 是整数,故 3-5y/7=u 也是整数,于是 5y+7u=3儆 *5 除此式的两边得2u+5v=3 由观看知 u=-1,v=1 是方程的一组解 将 u=-1,v=1 代入得 y=2y=2 代入得 x=25于是方程有一组解 x0=25, y0 =2,所以它的一切解为由于要求方程的正整数解,所以解不等式,得 t 只能取 0, 1因此得原方程的正整数解为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当方程的系数较大时,我们仍可以用辗转相除法求其特解,其解法结合例题说明 例 4 求方程 37x+107y=25的整数解解 107=2 ×37+33,37=1×33+4,33=8×4+1为用 37 和 107 表示 1,我们把上述辗转相除过程回代,得1=33-8× 4=37-4-8× 4=37-9× 4=37 -9×37 -33=9 ×33-8× 37 9× 107 -2× 378 × 379×107-26×37=37× -26+107× 9由此可知 x1=-26, y1=9 是方程 37x+107y=1 的一组整数解于是x0=25× -26=-650,y0=25×9=225是方程 37x+107y=25的一组整数解 所以原方程的一切整数解为例 5 某国硬币有 5 分和 7 分两种,问用这两种硬币支付 142 分货款,有多少种不同的方法？解 设需 x 枚 7 分,y 枚 5 分恰好支付 142 分,于是7x+5y=142. 所以由于 7x142,所以 x20,并且由上式知 5 2x -1 由于5 ,2=1 ,所以 5x-1,从而 x=1, 6, 11,16,的非负整数解为所以,共有 4 种不同的支付方式说明 当方程的系数较小时, 而且是求非负整数解或者是实际问题时, 这时候的解的组数往往较少,可以用整除的性质加上枚举,也能较简洁的解出方程多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程 例 6 求方程 9x+24y-5z=1000 的整数解解 设 9x+24y=3t ,即 3x+8y=t ,于是 3t -5z=1000于是原方程可化为用前面的方法可以求得的解为的解为消去 t ,得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_大约 1500 年以前,我国古代数学家张丘建在他编写的张丘建算经里,曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个出名的数学问题,通俗的讲就是下例例 7 今有公鸡每只五个钱,母鸡每只三个钱,小鸡每个钱三只用100 个钱买 100 只鸡, 问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？解 设公鸡、母鸡、小鸡各买 x,y,z 只,由题意列方程组化简得 15x+9y+z=300 -得 14x+8y=200 , 即 7x+4y=100 解 7x+4y=1 得于是 7x+4y=100 的一个特解为由定理知 7x+4y=100 的全部整数解为由题意知, 0 x, y, z 100,所以由于 t 是整数,故 t 只能取 26,27, 28,而且 x,y,z 仍应满意x+y+z=100 t x y z26 4 18 7827 8 11 8128 12 4 84即可能有三种情形： 4 只公鸡, 18 只母鸡, 78 只小鸡.或 8 只公鸡, 11 只母鸡, 81 只小鸡.或 12 只公鸡, 4 只母鸡, 84 只小鸡练习1. 求以下不定方程的整数解：1 72x+157y=1 . 29x+21y=144 .3103x -91y 5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 求以下不定方程的正整数解： 13x -5y=19. 212x+5y=125 3. 求以下不定方程的整数解：15x+8y+19z=50 . 239x-24y+9z=784. 求不定方程 2x+5y+7z+3t=10 的整数解5. 求不定方程组的正整数解 .不定方程与整数拆分求二元一次方程与多元一次方程组的自然数解的方法,与此相关或涉及整数分拆的数论问题补充说明：对于不定方程的解法,本讲主要利用同余的性质来求解,对于同余性质读者可参考思维导引详解五年级 第 15 讲余数问题 .解不定方程的 4 个步骤：判定是否有解.化简方程.求特解.求通解本讲讲解次序：包括 1、2、3 题包括 4、5 题包括 6、7 题,其中步骤中加入百鸡问题复杂不定方程：、依次为三元不定方程、较复杂不定方程、复杂不定方程 整数分拆问题： 11、12、13、14、151 在两位数中,能被其各位数字之和整除,而且除得的商恰好是4 的数有多少个 .【分析与解】设这个两位数为 ab ,就数字和为ab ,这个数可以表达为10ab,有 10abab4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即 10ab4a4b ,亦即 b2a 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意到 a 和 b 都是 0 到 9 的整数,且 a 不能为 0,因此 a 只能为 1、2、3 或 4,相应的 b 的取值为 2、4、6、8综上分析,满意题目条件的两位数共有4 个,它们是 12、24、36 和 48可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 设 A 和 B 都是自然数,并且满意AB1711333,那么 A+B 等于多少 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【分析与解】将等式两边通分,有3A+llB=17,明显有 B=l , A=2 时满意,此时 A+B=2+1=3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 甲级铅笔 7 分钱一支, 乙级铅笔 3 分钱一支 张明用 5 角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共多少支.【分析与解】 设购买甲级铅笔 x 支,乙级铅笔 y 支有 7 x +3 y =50,这个不定方程的解法有多种, 在这里我们举荐下面这种利用余数的性质来求解的方法： 将系数与常数对 3 取模 系数 7, 3 中, 3 最小 ：得 x =2mod 3 ,所以 x 可以取 2,此时 y 取 12. x 仍可以取 2+3=5,此时 y 取 5.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2x即、y12y5,对应 xy 为 14、105可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以张明用 5 角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共14 支或 10 支4. 有纸币 60 张,其中 1 分、 l角、 1 元和 10 元各有如干张问这些纸币的总面值是否能够恰好是100元.【分析与解】设 1 分、 1 角、 1 元和 10 元纸币分别有 a 张、 b 张、 c 张和 d 张, 列方程如下：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_abcd由60 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a10b100c1000 d10000 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21得 9b99c999d9940可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意到式左边是9 的倍数, 而右边不是 9 的倍数,因此无整数解,即这些纸币的总面值不能恰好为100元5. 将一根长为 374 厘米的合金铝管截成如干根36 厘米和 24 厘米两种型号的短管, 加工损耗忽视不计 问： 剩余部分的管子最少是多少厘米.【分析与解】24 厘米与 36 厘米都是 12 的倍数,所以截成如干根这两种型号的短管,截去的总长度必是 12 的倍数,但 374 被 12 除余 2,所以截完以后必有剩余剩余管料长不小于2 厘米另一方面, 374=27×12+4×12+2,而36÷12 =3,24÷12=2,有3×9+2× 2=31即可截成9 根 36 厘米的短管与 2 根 24 厘米的短管,剩余2 厘米因此剩余部分的管子最少是2 厘米6 某单位的职工到郊外植树,其中有男职工,也有女职工,并且有寺的职工各带一个孩子参与男职工每人种 13 棵树,女职工每人种10 棵树,每个孩子种 6 棵树,他们一共种了216 棵树那么其中有多少名男职工 .【分析与解】 设男职工 x 人,孩子 y 人,就女职工 3 y - x 人 留意,为何设孩子数为y 人,而不是设女职工为 y 人 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_那么有 13x10 3 yx6 y =216,化简为 3x36 y =216,即 x12 y =72可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x12x有y5y24x36x4y3y48x60.2y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_但是,女职工人数为3 yx 必需是自然数,所以只有那么男职工数只能为12 名x12 时, 3 yxy53 满意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7 一居民要装修房屋,买来长 0.7 米和 O.8 米的两种木条各如干根假如从这些木条中取出一些接起来,可以得到很多种长度的木条,例如：O.7+O.7=1.4米, 0.7+0.8=1.5米那么在 3.6 米、 3.8 米、 3.4米、 3.9 米、 3.7 米这 5 种长度中,哪种是不行能通过这些木条的恰当拼接而实现的.【分析与解】 设 0.7 米, 0.8 米两种木条分别 x , y 根,就 0.7 x +0.8 y =3.43.6 ,即 7 x +8 y =34, 36, 37, 38, 39将系数,常数对 7 取模,有 y 6, l , 2, 3, 4mod 7 ,于是 y 最小分别取 6,1, 2, 3,4但是当 y 取 6 时, 8×6=48 超过 34, x 无法取值所以 3.4 米是不行能通过这些木条的恰当拼接而实现的8. 小萌在邮局寄了 3 种信, 平信每封 8 分, 航空信每封 1 角, 挂号信每封角, 她共用了 1 元 2 角 2 分 那么小萌寄的这 3 种信的总和最少是多少封 .【分析与解】明显,为了使3 种信的总和最少,那么小萌应当尽量寄最贵的挂号信,然后是航空信,最终才是平信但是挂号信、航空信的邮费都是整数角不会产生几分所以, 2 分, 10 n +2 分应当为平信的邮费,n 最小取 3,才是 8 的倍数,所以平信至少要寄4 封,此时剩下的邮费为 122-32=90 ,所以再寄 4 封挂号信,航空信1 封即可 于是,小萌寄的这3 种信的总和最少是4+1+4=9 封9. 有三堆砝码,第一堆中每个砝码重 3 克,其次堆中每个砝码重 5 克,第三堆中每个砝码重 7 克现在要取出最少个数的砝码,使它们的总重量为 130 克 那么共需要多少个砝码 .其中 3 克、5 克和 7 克的砝码各有几个 .【分析与解】为了使选取的砝码最少,应尽可能的取7 克的砝码 130÷7： 18 4,所以 3 克、 5 克的砝码应组合为4 克,或 4+7 k 克重设 3 克的砝码 x 个, 5 克的砝码 y 个,就 3x5 y47 k 当 k =0 时,有 3x5 y4 ,无自然数解.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 k =1 时,有 3x5 y11 ,有 x =2, y =1,此时 7 克的砝码取 17 个,所以共需 2+1+17=21 个砝码,有 3 克、 5 克和 7 克的砝码各 2、1、17 个当 k >1 时, 7 克的砝码取得较少,而3、5 克的砝码却取得较多,不是最少的取砝码情形所以共需 2+1+17=20 个砝码,有 3 克、 5 克和 7 克的砝码各 2、 1、17 个10 5 种商品的价格如表8 1,其中的单位是元现用60 元钱恰好买了10 件商品,那么有多少种不同的选购方式 .【分析与解】设 B、C、 D、E、A 商品依次买了 b、c、d、e、10-b-c-d-e件,就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2.9 10bcde4.7b7.2c10.6d14.9e =60可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_18b43c77d120e =310,明显 e 只能取 0, 1, 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有 18b43c77d =310,其中 d 可取 0, 1,2, 3, 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 当 d=0 时,有 18b43c =310,将系数,常数对6 取模得：c 4mod 6,于是 c 最小取 4,那么有 18b=310- 43×4=138, b 不为自然数所以 d=0 时.不满意.(2) 有 18b43c =233,将系数,常数对 6 取模得：c 5mod 6,于是最小, 那么有 18b=233- 43× 5=18,.(3) 有18b43c =156,将系数,常数对6 取模得：c Omod 6 ,于是 c 最小取 0,那么有 18b=156,b 不为自然数,所以d=2时,不满意.(4) 有18b43c =79,将系数、常数对6 取模得：c 1mod 6 ,于是最小那么有 18b=79 43=36(5) 当 d=4 时,有 18b43c =2,明显不满意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有18b43c77d =190,其中 d 可以取 0、1、2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 有 18b43c =190,将系数、常数对6 取模有：c 4mod 6 ,于是最小那么有 18b=190-43 × 4=18,(2) 当 d=1 时,有 18b43c =113,将系数、常数对6 取模有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_c 5mod 6 ,于是 c 最小取 5,即 18 b +215=113,明显 d=1 时,不满意.(3) 3有 18b43c =36, 明显有时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有 18b43c77d =70, d 只能取 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有 18b43c =70,将系数、常数对6 取模有：c 4rood 6,于是 c 最小取 4,那么有 18b +172=70,明显不满意最终可得到如下表的满意情形：共有 4 种不同的选购方法11 有 43 位同学,他们身上带的钱从8 分到 5 角,钱数都各不相同每个同学都把身上带的全部钱各自买了画片画片只有两种：3 分一张和 5 分一张每 11 人都尽量多买 5 分一张的画片问他们所买的3 分画片的总数是多少张 .【分析与解】钱数除以 5 余 0, 1,2, 3,4 的人,分别买0, 2,4, 1, 3 张 3 分的画片因此,可将钱 数 8 分至 5 角 2 分这 45 种分为 9 组,每连续 5 个在一组, 每组买 3 分画片 0+2+4+1+3=10 张,9 组共买 10×9=90 张,去掉 5 角 1 分钱中买的 2 张 3 分画片, 5 角 2 分中买的 4 张 3 分画片, 43 个人买的 3 分画片的总数是90-2-4=84张12 哥德巴赫猜想是说：“每个大于2 的偶数都可以表示成两个质数之和”试将168 表示成两个两位质数的和,并且其中的一个数的个位数字是1【分析与解】个位数字是 1 的两位质数有11, 31, 41, 61, 71其中 168-11=157 , 168-31=137 ,168-41=127 , 168-61=107 ,都不是两位数,只有168-71=97 是两位数,而且是质数,所以168=71+97 是惟一解13 1 将 50 分拆成 10 个质数之和,要求其中最大的质数尽可能大,那么这个最大质数是多少.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 将 60 分拆成 10 个质数之和,要求其中最大的质数尽可能小,那么这个最大的质数是多少.【分析与解】1第一确定这 10 个质数或其中的几个质数可以相等,不然10 个互不相等的质数和最小为 2+3+5+7+11+13+17+19+23+29,明显大于 50所以,其中肯定可以有某几个质数相等欲使最大的质数尽可能大,那么应使最小的质数尽可能小,最小的质数为2,且最多可有9 个 2,那么最大质数不超过 502×9=32,而不超过 32 的最大质数为 31又有 502222331 ,所以满意条件的最大质数为318 个22最大的质数必大于5,否就 10 个质数的之和将不大于50所以最大的质数最小为7,为使和为 60,所以尽可能的含有多个7可编辑资料