2022年人教版高一数学必修一-第一章-知识点与习题讲解 .docx

精品_精品资料_必修 1 第一章集合与函数根底学问点整理姓名：沈金鹏院 、 系：数学学院专业:数学与应用数学2022 年 10 月 2 日可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_必修 1 第一章集合与函数根底学问点整理第 1 讲 §1.1.1集合的含义与表示¤学习目标 ：通过实例, 明白集合的含义,体会元素与集合的 “属于关系. 能挑选自然语言、 图形语言、集合语言列举法或描述法描述不同的详细问题,感受集合语言的意义和作用.把握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特点.¤学问要点 ：1. 把一些元素组成的总体叫作集合set,其元素具有三个特点,即确定性、互异性、无序性.2. 集合的表示方法有两种：列举法,即把集合的元素一一列举出来,并用花括号“ 括起来,根本形式为 a1 ,a2, a3 , an ,适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法, 即用集合所含元素的共同特点来表可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_*示,根本形式为 xA | P x ,既要关注代表元素x,也要把握其属性P x,适用于无限集 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 通常用大写拉丁字母A, B, C,表示集合 . 要记住一些常见数集的表示,如自然数集 N ,正整数集 N 或可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_N,整数集 Z,有理数集 Q ,实数集 R .4. 元素与集合之间的关系是属于belong to 与不属于 not belong to ,分别用符号、 表示,例如 3N ,2N .¤例题精讲 ：【例 1】试分别用列举法和描述法表示以下集合：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1由方程x x22x30 的全部实数根组成的集合.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2大于 2 且小于 7 的整数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：1用描述法表示为： xR | x x22 x30 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_用列举法表示为 0,1,3 .2用描述法表示为： xZ | 2x用列举法表示为 3,4,5,6 .7 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 2】用适当的符号填空：A x | x3k2, kZ , B x | x6 m1, mZ,那么有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_17A. 5A.17B.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由 3k217 ,解得 k5Z ,所以 17A .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 3k由 6m25 ,解得 k73117 ,解得 m3Z ,所以5A . Z ,所以 17B .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 3】试挑选适当的方法表示以下集合：教材 P6 练习题 2, P13A 组题 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1一次函数 yx3 与 y2 x6 的图象的交点组成的集合.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2二次函数yx 24 的函数值组成的集合.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3反比例函数2y的自变量的值组成的集合.x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yx3解：1 x, y |1,4 .y2 x6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 y |yx24 y | y4 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 x | y2 x | x0 .x点评 ： 以上代表元素,分别是点、函数值、自变量. 在解题中不能把点的坐标混淆为1,4 ,也留意比照2与 3中的两个集合,自变量的范畴和函数值的范畴,有着本质上不同,分析时肯定要细心.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_* 【例 4】集合 Axa a |21有唯独实数解 ,试用列举法表示集合A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2解：化方程 xax221为： xxa20 应分以下三种情形：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方程有等根且不是2 ：由 =0,得 a9,此时的解为 x41,合2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方程有一解为2 ,而另一解不是2 ：将 x2 代入得 a2 ,此时另一解 x12 ,合可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方程有一解为2 ,而另一解不是2 ：将 x2 代入得 a2 ,此时另一解为x21 ,合可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上可知, A9 ,2,2 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评 ：运用分类争论思想方法,争论出根的情形,从而列举法表示.留意分式方程易造成增根的现象.第 2 讲 §1.1.2集合间的根本关系¤学习目标 ：懂得集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.在详细情境中,明白全集与空集的含义.能利用Venn 图表达集合间的关系.¤学问要点 ：1. 一般的,对于两个集合A、B,假如集合 A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素,那么说两个集合有包含 关系, 其中集合 A 是集合 B 的子集subset,记作 AB或 BA ,读作“A 含于 B或 “B 包含 A.2. 假如集合 A 是集合 B 的子集 AB ,且集合 B 是集合 A 的子集 BA ,即集合 A 与集合 B 的元素是一样的,因此集合A 与集合 B 相等,记作AB .3. 假如集合 AB ,但存在元素 xB ,且 xA ,那么称集合 A 是集合 B 的真子集 proper subset,记作 AB或 BA.4. 不含任何元素的集合叫作空集empty set,记作,并规定空集是任何集合的子集.5. 性质： AA .假设 AB , BC ,那么 AC .假设 ABA ,那么 AB .假设 ABA ,那么 BA .¤例题精讲 ：【例 1】用适当的符号填空：1 菱形 平行四边形 . 等腰三角形 等边三角形 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22 xR | x20 .00 .0 .N0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：1 ,.2= , .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 2】设集合 A x | xn , nZ, B x | xn1 , nZ ,那么以下图形能表示A 与 B 关系的是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABBAABAB.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. B CD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：简洁列举两个集合的一些元素,A,31,1 ,0, 1 ,1, 3 , , B,3 ,1 , 1 , 3 , ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_易知 BA,故答案选 A 222222 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_另解 ：由 B x | x2n1, n2Z ,易知 BA,故答案选 A 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 3】假设集合Mx | x2x60 , Nx | ax10 ,且 NM ,求实数 a 的值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x解：由 2x60x2或3 ,因此, M2,3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_i 假设 a0 时,得 N,此时, NM .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ii 假设 a0 时,得 N1 . 假设 NM ,满意a12或 1aa3 ,解得 a11或a.23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故所求实数a 的值为 0 或 1 或 1 .23点评 ： 在考察“AB 这一关系时,不要遗忘“ ,由于 A时存在 AB . 从而需要分情形争论. 题中争论的主线是依据待定的元素进行.【例 4】集合 A= a,a+ b,a+2b , B= a,ax,ax2.假设 A=B,求实数 x 的值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：假设abaxa+ ax2-2ax=0, 所以 a x-1 2=0,即 a=0 或 x=1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a2bax 2当 a=0 时,集合 B 中的元素均为 0,故舍去. 当 x=1 时,集合 B 中的元素均相同,故舍去.abax2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设a2bax2ax2-ax-a=0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 a 0,所以 2x2 -x-1=0, 即x-12 x+1=0.又 x 1,所以只有 x1 .2经检验,此时 A=B 成立 . 综上所述 x1 .2点评 ： 抓住集合相等的定义,分情形进行争论. 融入方程组思想,结合元素的互异性确定集合.第 3 讲 §1.1.3集合的根本运算一¤学习目标 ：懂得两个集合的并集与交集的含义,会求两个简洁集合的并集与交集.懂得在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.能使用Venn 图表达集合的关系及运算,体会直观图示对懂得抽象概念的作用 .¤学问要点 ：集合的根本运算有三种,即交、并、补,学习时先懂得概念,并把握符号等,再结合解题的训练,而到达把握的层次 . 下面以表格的形式归纳三种根本运算如下.并集交集补集可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由全部属于集合A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,概念称 为 集 合 A与 B的 并 集 union set 由属于集合 A 且属于集合 B的元素所组成的集合,称为集 合A与B的 交 集intersection set 对于集合 A,由全集 U 中不属于集合A 的全部元素组成的集合,称为集合A 相对于全集 U 的补集 complementary set 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_记号AB 读作“ A 并 BAB 读作“ A 交 BU A 读作“ A 的补集可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_符号AB图形表示 x | xA,或xBAB x | xA,且xBU A x | xU ,且xAUA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_¤例题精讲 ：【例 1】设集合UR, A x |1x5, B x | 3x9, 求AB,U AB .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：在数轴上表示出集合A、B,如右图所示：B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB x |3x5 ,AAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_CU AB x | x1,或 x9 ,-1359x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 2】设 A xZ | | x |6 , B1,2,3, C3,4,5,6,求：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 ABC .2 AA BC .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：A6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6.1又BC3 , ABC 3.2又BC1,2,3,4,5,6,得 CA BC6,5,4,3,2,1,0.ACA BC6,5,4,3, 2,1,0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 3】集合 A x|2x4 , B x | xm ,且 ABA,求实数 m 的取值范畴 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由 ABA ,可得 AB .在数轴上表示集合A 与集合 B,如右图所示：BA由图形可知, m4 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评 ： 争论不等式所表示的集合问题,经常由集合之间的关系,-24mx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_*得到各端点之间的关系,特殊要留意是否含端点的问题.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 4】全集 U x | x10,且xN , A2,4,5,8, B1,3,5,8 ,求CU AB, CU AB ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ CU ACU B , CU ACU B ,并比拟它们的关系.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由 AB1,2,3,4,5,8,那么CU AB6,7,9.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 AB5,8,那么CU AB1,2,3,4,6,7,9可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由 CU A1,3,6,7,9, CU B2,4,6,7,9,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_那么 CU ACU B6,7,9 ,CU A CU B 1,2,3,4,6,7,9.由运算结果可以知道, CU ACU BCU AB ,CU ACU BCU AB .另解：作出 Venn 图,如右图所示,由图形可以直接观看出来结果.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评 ： 可用 Venn 图争论 CU ACU B此结论,有助于今后快速解决一些集合问题.CU AB 与 CU A CU BCU AB,在懂得的根底记住可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第 4 讲 §1.1.3集合的根本运算二¤学习目标 ：把握集合、交集、并集、补集的有关性质,运行性质解决一些简洁的问题.把握集合运算中的一些数学思想方法.¤学问要点 ：1. 含两个集合的 Venn 图有四个区域, 分别对应着这两个集合运算的结果. 我们需通过Venn 图懂得和把握各区域的集合运算表示,解决一类可用列举法表示的集合运算. 通过图形,我们仍可以发觉一些集合性质：CU ABCU A CU B , CU ABCU ACU B .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 集合元素个数公式：n ABn An Bn AB .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 在争论集合问题时,经常用到分类争论思想、数形结合思想等. 也常由新的定义考查创新思维.2¤例题精讲 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 1】设集合 A4,2a1, a, B9,a5,1a ,假设 AB9,求实数 a 的值 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：由于 A4,2a1, a2 , B9,a5,1a ,且 AB9,那么有：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 2a19时,解得 a5,此时2A= 4, 9, 25 , B=9, 0,4,不合题意,故舍去.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a 9 时,解得 a3或 3 .a3时,A= 4,5,9 ,B=9, 2,2 ,不合题意,故舍去.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 3, A=4, 7,9 ,B =9,8, 4 ,合题意 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以,a3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 2】设集合 AB 组题 2 x | x3 xa0, aR , B x | x4 x10 ,求 AB ,AB .教材 P14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： B1,4 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a3 时, A3,那么 AB 1,3,4 , AB.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a1时, A1,3,那么 AB1,3,4 , AB1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a4 时, A3,4,那么 AB1,3,4 , AB4 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a3 且 a1且 a4时, A3, a ,那么 AB 1,3,4, a, AB.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评 ： 集合 A 含有参数 a,需要对参数 a 进行分情形争论. 排列参数 a 的各种情形时,需依据集合的性质和影响运算结果的可能而进行分析,不多不少是分类的原那么.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 3】设集合 A = x | x24xa 的值0 , B = x | x 22a1xa 210 , aR ,假设 AB=B,求实数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：先化简集合 A= 4,0 . 由 AB= B,那么 BA,可知集合 B 可为,或为 0 ,或 4 ,或 4,0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(i) 假设 B=,那么4 a124a210 ,解得 a 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 ii 假设 0B,代入得 a1=0a =1 或 a =1,当 a =1 时, B=A,符合题意.当 a =1时, B=0A,也符合题意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ iii 假设 4B,代入得a8a70a =7 或 a =1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2当 a =1 时,已经争论,符合题意.当 a =7 时, B= 12, 4 ,不符合题意 综上可得,a =1 或 a 1 点评 ： 此题考查分类争论的思想,以及集合间的关系的应用. 通过深刻懂得集合表示法的转换,及集合之间的关系,可以把相关问题化归为解方程的问题,这是数学中的化归思想,是重要数学思想方法解该题时,*特殊简洁显现的错误是遗漏了A=B 和 B=的情形,从而造成错误这需要在解题过程中要全方位、多角度注视问题 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 4 】对集合A 与 B ,假设定义AB x | xA,且xB,当集合A x | x8, xN ,集合可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B x | x x2 x5 x60时,有 AB =. 由教材P12 补集定义“集合A 相对于全集 U 的补可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_集为 CU A x | x,且xA 而拓展可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：依据题意可知,A1,2,3,4,5,6,7,8, B0,2,5,6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由定义 AB x | xA,且xB ,那么AB 1,3,4,7,8 .点评 ：运用新定义解题是学习才能的开展,也是一种创新思维的训练,关键是懂得定义的实质性内涵,这里新定义的含义是从A 中排除 B 的元素 . 假如再给定全集U ,那么 AB 也相当于 ACU B .第 5 讲 §1.2.1函数的概念¤学习目标 ：通过丰富实例, 进一步体会函数是描述变量之间的依靠关系的重要数学模型,在此根底上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用.明白构成函数的要素,会求一些简洁函数的定义域和值域.¤学问要点 ：1. 设 A、B 是非空的数集,假如按某个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合 B中都有唯独确定的数y 和它对应, 那么就称 f ：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数function ,记作 y = f x ,xA 其中, x 叫自变量, x 的取值范畴 A 叫作定义域 domain ,与 x 的值对应的y 值叫函数值,函数值的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_集合 f x | xA叫值域 range .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 设 a、 b 是两个实数,且a<b,那么： x|ax b a,b叫闭区间. x|a< x<b a,b 叫开区间. x|a x<b a, b , x|a< x b a, b ,都叫半开半闭区间 .符号：“读“无穷大. “读“负无穷大. “ + 读“正无穷大. 那么可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x | xaa, x | xa a, x | xb, b, x | xb,b , R, .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 打算函数的三个要素是定义域、值域和对应法那么. 当且仅当函数定义域、对应法那么分别相同时,函数才是同一函数 .¤例题精讲 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 1】求以下函数的定义域：1 y1x21. 2 yx3.3 x12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：1由 x2 10 ,解得 x1且 x3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以原函数定义域为,3 3,1 1, .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2由x303 x120,解得 x3 且 x9 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以原函数定义域为3,99, .【例 2】求以下函数的定义域与值域：1 y3x254 x. 2yx 2x2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：1要使函数有意义,那么54x0 ,解得 x5. 所以原函数的定义域是45 x | x .4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y3x2112x8134 x523323303 ,所以值域为 y | y3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_54 x454 x454x454 x444可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 yx2x2x1 29 .所以原函数的定义域是R,值域是 , 9 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_244可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 3】函数f 1x 1xx . 求：1f 2 的值.2f x 的表达式可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：1由 1x1x2 ,解得 x1,所以3f 21 .3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2设 11xt ,解得 x x1t ,所以1tf t 1t ,即1tf x1x .1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点评 ： 此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有直接给出,称为抽象函数的争论,经常需要结合换元法、特值代入、方程思想等.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例 4】函数f xx, xR .ff f 21x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1求f x1的值.2运算：f 1f 2f 3f 4111.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x1x 212x 2x 211x2234可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：1由f xf x1x111x2x1 .2221x1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2原式f 1f 21f f 31f f 4117 f 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23422点评 ： 对规律的发觉,能使我们实施巧算. 正确探究出前一问的结论,是解答后一问的关键.第 6 讲 §1.2.2函数的表示法¤学习目标 ：在实际情境中,会依据不同的需要挑选恰当的方法图象法、列表法、解析法表示函数. 通过详细实例,明白简洁的分段函数,并能简洁应用.明白映射的概念.¤学问要点 ：1. 函数有三种表示方法：解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系,优点：简明,给自变量可求函数值 .图象法用图象表示两个变量的对应关系,优点：直观形象,反响变化趋势.列表法列出表格表示两个变量之间的对应关系,优点：不需运算就可看出函数值.2. 分段函数的表示法与意义一个函数,不同范畴的x,对应法那么不同.3. 一般的,设 A、B 是两个非空的集合,假如按某一个确定的对应法那么f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯独确定的元素y 与之对应,那么就称对应f : AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射 mapping 记作“f : AB .判别一个对应是否映射的关键：A 中任意, B 中唯独.对应法那么f.¤例题精讲 ：【例 1】如图,有一块边长为a 的正方形铁皮,将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形,然后折成一个无盖的盒子,写出体积V 以 x 为自变量的函数式是 ,这个函数的定义域为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：盒子的高为 x,长、宽为a2x ,所以体积为 Vxa 2x2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又由 a2x0 ,解得 xa .2可编辑资料 - -