2022年以一次函数为背景的中考压轴题 .docx
精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -以一次函数为背景的中考压轴题刘久红一次函数是中学数学的重点内容之一,也是中考的主要考点. 现举几例以一次函数为背景的中考压轴题供同学们在中考复习时参考.一、一次函数图象上的动点【例 1】如图,已知直线的函数表达式为,且轴、y 轴分别交于 A、B 两点,动点 Q从 B 点开头在线段 BA上以每秒 2 个单位长度的速度向点A移动,同时动点P 从 A 点开头在线段 AO上以每秒 1 上单位长度的速度向点O移动,设点 Q、P 移动的时间为秒.（ 1）求出点 A、B 的坐标.（ 2）当为何值时, APQ与 AOB相像？（ 3）求出（ 2）中当 APQ与 AOB相像时,线段 PQ所在直线的关系式.分析 要求点 A、点 B 的坐标时,分别令即可.由于 APQ与 AOB相似的对应关系未确定,因此要分类争论.对于第（3）小问可依据（ 2）中的争论分别求出直线 PQ的函数表达式.解 （ 1）由,令,得.令,得.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - - A、B 的坐标分别是（ 6, 0）,（ 0,8）.（ 2）由 BO=8,AO=6,得 AB=10.当移动的时间为时, AP= ,AQ=. QAP=BAO,当时, APQ AOB,就（秒）. QAP=BAO,当是, AQP AOB,就,（秒）.经检验,它们都符合题意.秒或秒,此时 AQP与 AOB相像.（ 3）当秒时, PQOB, PQOA,PA=, OP=,就 P（,0）.线段 PQ所在直线的关系式为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -当时, PA=,BQ=, OP=, P（,0）设 Q点的坐标为（ x, y）,就有,.当时, Q的坐标为（,） 设 PQ的表达式为,就 PQ的表达式为.综上所述：线段PQ所在直线的关系式为或.评注这是一道以一次函数为背景的动态几何问题,这类压轴题一直是中考的热点问题, 第 2 小题要求同学动中求静, 将动态问题转化为静态的几何问题,再运用相像的有关学问解决问题,同时要留意分类争论.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -二、一次函数图象上的动线【例 2】如图,在平面直角坐标系中,两个函数,的图象交于点 A.动点 P 从点 O开头沿 OA方向以每秒 1 个单位的速度运动,作 PQ x 轴交直线 BC于点 Q,以 PQ为一边向下作正方形 PQM,N 设它与 OAB重叠部分的面积为 S .（ 1）求点 A 的坐标.（ 2）试求出点 P 在线段 OA上运动时, S 与运动时间（秒）的关系式.（ 3）在（ 2）的条件下, S 是否有最大值？如有,求出为何值时, S 有最大值,并求出最大值.如没有,请说明理由.（ 4）如点 P 经过点 A 后连续按原方向、原速度运动,当正方形PQMN与 OAB重叠部分面积最大时,运动时间满意的条件是 .分析 要求点 A 的坐标只需求出方程组的解即可.在求（2）中 S 与 的关系式时 要先依据所作的正方形PQMN求出此时的值,再分类争论.如（ 2）解答正确对 解决第（ 3）小问应无障碍.第（ 4）小问只需知道点P 连续运动,当正方形PQMN 与 OAB重叠部分面积最大时,点P 的位置即可.解 （ 1）由,可得 A（ 4, 4）（ 2）点 P 在上, OP= ,就点 P 坐标为（,）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -点 Q的纵坐标为,并且点 Q在上,.即点 Q坐标为,就 PQ=.当时,.当时,.当点 P 到达 A 点时,当时,.（ 3）有最大值,最大值应在中,当时, S 的最大值为 12.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -（ 4）.评注这是一道以两个一次函数为背景的数学问题,主要考查方程、代数式、 二次函数等学问, 试题中贯穿了方程思想和分类争论的思想,同时仍有运动变化的过程.三、一次函数图象上的动圆【例 3】在平面直角坐标系中,已知直线经过点 A（,0）和点 B,直线的函数表达式,与相交于点 P, C 是一个动圆,圆心 C 在直线上运动,设圆心 C 的横坐标是 a,过点 C作 CMx 轴,垂足是点 M.（ 1）填空：直线的函数表达式是 ,交点 P 的坐标是 , FPB的度数是 .（ 2）当 C和直线相切时,请证明点P 到直线 CM的距离等于 C的半径 R,并写出时 a 的值.（ 3）当 C和直线不相离时,已知 C的半径 R=,记四边形 NMOB的面积为 S（其中点 N 是直线 CM与的交点）.S 是否存在最大值？如存在,求出这个最大值及此时a 的值.如不存在,请说明理由.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -分 析 直线经过点 A（,0）和点 B（,）.就建立方程组求解.P 点为两直线的交点, 建立方程组求解即可. 由 P 点坐标可知 PA=PE,且 PAO=3°0 .第（ 2）小问先作出图形,通过构造Rt CDPRtPGC发觉 PG=CD=.R第（ 3）小问可依据第（ 2）小问进行分类争论分别求S 的最大值.解 （ 1）,P（ 1,）, 60°（ 2）设 C和直线相切时的一种情形如图甲所示,D是切点,连接 CD,就 CD PD.过点 P作 CM的垂线 PG,垂足为 G,就 Rt CDPRt PG（CPCD= CPG=3°0 ,CP=PC）,所以 PG=CD=.R图甲当点 C 在射线 PA上, C和直线相切时,同理可证.取时,或.（ 3）当 C和直线不相离时,由（ 2）知,分两种情形争论：如图乙,当时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -当（满意）时, S 有最大值.此时.图乙当时,明显 C和直线相切时 S 最大.即时, S 最大,此时,.综合以上和, 当或时,存在 S 的最大值,其最大面积为.评注此题较为新奇,符合新课标的理念,揭示了求最值的一般方法,此题的难度设置也较为合适,使同学们都能有发挥自己才能的空间.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 8 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载
