2022年代数关于奥赛部分知识点的讲解及习题讲解.docx
精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点代数关于奥赛部分学问点的讲解及习题讲解函数迭代定义和符号设 fx 是定义在集合M 上并在 M 上取值的函数,归纳的定义函数迭代如下：f 1x=fx x Mf nx=ff n-1x x M n 2f nx 称为函数fx 的 n 次迭代.有时仍规定f 0x=fx x Mn*函数迭代中的”穿脱”技巧：设函数 y=fx,并记 f x=ffffx, 其中 n 是正整数, f nx 叫做函数 fx的 n 次迭代 , 函数迭代是一种特别的函数复合形式, 由 fx或nnf x 的表达式”穿上”或”脱去”n-1 个函数符号得出f x或 fx的函数迭代问题, 这里我们对数学竞赛中穿脱问题的解题技巧作简洁介绍和粗浅的探究.1 程序化穿脱：“穿” , ”脱”函数符号是一种有序的过程, 由内至外一层层穿上f , 或从外至内一层层脱去f , 往往是一种程序化的模式,2. 周期性穿脱 ：在求解函数迭代问题时我们常常要借助于函数的周期性, 利用周期性穿脱要能达到进退自如, 做到需穿插就穿, 需脱就脱 , 从而优化解题过程.例题1 设 fx=x 2+px+q, A=x|x=fx, B=x|ffx=x.求证： AB.假如A= 1,3 ,求 B.解析：设x 0 是集合 A 中的任一元素,即有x0 AA=x|x=fxx 0=fx 0ffx 0=fx 0=x 0x 0 BAB A= 1,3=x|x 2+px+q=x=x|x2+p-1x+q=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1313 p1qp1fx= x 2-x-3q3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ffx=xx4-2x3-6x2+6x+9=0x 2-2x-3x 2-3=0x=-1 或 3 或3 或-3B=-1,3,-3 ,3 .2已知 fx 是定义在R 上的函数,且f1=1 ,对任意x R 都有以下两式成立：fx+5 fx+5 . fx+1 fx+1 .如 gx=fx+1 x ,求 g6的值.解析：反复利用fx+5 fx+4+1 fx+3+2 fx+2+3 fx+1+4 fx+5*fx+5=fx+5由 * 可以得到fx+1=fx+1g6=f6+1-6=f1+5-5=f1=1函数的周期性：对于函数 fx ,假如存在一个不为零的常数T,使得当 x 取定义域内的每一个值时,fx+T=fx 都成立,那么就把函数 y=fx 叫做周期函数.不为零的常数T 叫做这个函数的周期.3争论函数fx=1 sinx+1 sinx 的定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性等性质,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点并在此基础上,作出其在, 的草图可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：1sin x1sin x0, fx 的定义域为R.0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ fx1sinx1sinx1sin x1sin xfx,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f x 为偶函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f xf x ,f x是周期为的周期函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 当 x0, 时,2f x =1sin x1sin x 222 | cosx |2cos x,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x0, 时2f x 单调递减.当x, 时, 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x =1sin x1sin x 222 | cosx |22cos x2sin x ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x单调递增.又f x是周期为的偶函数,f x在 k, k2 上单可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_调递增,在k, k 上单调递减（kZ ）.2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 当 x0, 时 fx22cos x22,2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x,2 时 fx2sin x22,2 fx的值域为 2,2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由以上性质可得：f x 在,上的图象如下列图：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解方程例 1 设 mR,关于 x 的方程根？证明你的结论【解】设 y ax,就 y 0,且y + my2+my+1 = 0a3 x2 ma2x（ m21） a xm0a 0 且 a 1 有几个实可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ y = m或 y2+my+1=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点m240可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_令m0, 就 m 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 当 m 2 时,有正实根,有两个不等正实根原方程有三个实根.2 当 m 2 时,有正实根,有一个正实根原方程有两个实根.3 当 2 m 0 时,有正实根,无实根原方程有一个实根.4 当 m 0 时, 只有负根,而无实根或实根为负 原方程无实根 综上所述,知m 的值m 2 2 2 m 0m 0方程实根个数3210例 2.解方程： lg2x-lgx-2=0 其中 x 表示不大于实数x 的最大整数 解： 由x 的定义知, x x ,故原方程可变为不等式： lg2x-lgx-2 0 即-1 lgx 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当1lg x0 时,lgx11,于是原方程为lg 2 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lg x1,x10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 0 lgx<1 时, lg x0 ,原方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_lg 2 x2, lg x2,不符合 lg x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 1 lgx<2 时,lgxlg2x=3 ,所以1 ,原方程为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 lgx=2 时, x100可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以原方程的解为周期函数的判定定理 1如 fX 是在集 M 上以 T 为最小正周期的周期函数就K*fX+C（ K 0）和 1/fX分别是集M 和集 X/ fX 0, X 上的以T 为最小正周期的周期函数.证： T 是 fX 的周期,对于 X ± T 且 fX+T= fX, K*fX+C=K*fX+T+C, K*fX+C可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师整理精华学问点也是 M 上以 T 为周期的周期函数.假设 T 不是 K*fX+C的最小正周期,就必存在T （ 0T T）是 K*fX+C的周期,就对,有 K*fX+T +C=K*fX +C KfX+T- fX=0 , K 0, fX+T - fX=0 ,fX+T = fX , T是 fX 的周期, 与 T 是 fX 的最小正周期冲突, T 也是 K*fX+C的最小正周期.同理可证1/ fX 是集 X/ fX 0,X 上的以T 为最小正周期的周期函数.定理 2：如 fX 是集 M 上以 T 为最小正周期的周期函数,就faX+n 是集 X/aX+b 上的以 T/为最小正周期的周期函数,（其中 a、b 为常数）.证：（先证T/ 是 fax+b 的周期）,T 是 fX 的周期, ,有 X ±T M , a（X ±T ）+b=ax+b±T M ,且 fa （XT ） +b=f （ ax+b± T ）=f （ ax+b ）T/ 是 f（ ax+b）的周期.再证T/ 是 f （ax+b ）的最小正周期可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设存在 T （ 0 T T/ ）是 （fax+b）的周期, 就 f（ a（x+T ）+b ）=f（ax+b）,即 （fax+b+aT ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_=f（ ax+b）,因当 X 取遍 X/X M,ax+b M 的各数时 ,ax+b 就取遍 M 全部的各数,aT是 fX 的周期,但aT T* 这与 T* 是 fX 的最小正周期冲突.定理 3：设 fu 是定义在集 M 上的函数 u=g （ x ）是集 M1 上的周期函数,且当 X M1 时,gx M ,就复合函数 fgx 是 M1 上的周期函数.证：设 T 是 u=gx 的周期, 就 1 有（ x ± T） M1 且 g（ x+T ）=gx fgx+T=fgx =fgx 是 M1 上的周期函数.非周期函数的判定（ 1）如 fX 的定义域有界（ 2）依据定义争论函数的周期性可知非零实数 T 在关系式 fX+T= fX 中是与 X 无关的, 故争论时可通过解关于 T 的方程 fX+T- fX=0 ,如能解出与 X 无关的非零常数 T 便可肯定函数 fX 是周期函数,如这样的 T 不存在就 fX 为非周期函数,如例, fX=cos 是非周期函数（例 5）.（ 3）一般用反证法证明. （如 fX 是周期函数,推出冲突,从而得出 fX 是非周期函数） .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载
