2022年函数复习主要知识点.docx

函数复习主要知识点一、函数的概念与表示1映射（1）映射：设A、B是两个集合,如果按照某种映射法则f,对于集合A中的任一个元素,在集合B中都有唯一的元素和它对应,则这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A到集合B的映射,记作f：AB.注意点：（1）对映射定义的理解.（2）判断一个对应是映射的方法.一对多不是映射,多对一是映射2函数构成函数概念的三要素定义域对应法则值域两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同1下列各对函数中,相同的是( )A、f(x)lgx,g(x)2lgxB、f(x)lgC、f(u)2x1,g(x)lg(x1)lg(x1)x11u1vD、f（x）=x,f(x)x2,g(v)1u1v2Mx|0£x£2,Ny|0£y£3给出下列四个图片在页面最后形,其中能表示从集合M到集合N的函数关系的有( )A、0个B、1个C、2个D、3个y21Oy2112xOy3212112xOy12xO12x二、函数的解析式与定义域1求函数定义域的主要依据：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零,零取零次方没有意义；（3）对数函数的真数必须大于零；（4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；1（05江苏卷）函数y2求函数定义域的难点问题：复合的观点1已知f(x)的定义域是-2,5,求f(2x+3)的定义域.log0.5(4x23x)的定义域为1)的定义域是-1,3,求f(x)的定义域2已知f(2x3设f(x)lg变式练习：f(2x)2xx2,则f( )f( )的定义域为_2x2x4x2,求f(x)的定义域.三、函数的值域1求函数值域的方法直接法：从自变量x的范围出发,推出y=f(x)的取值范围,适合于简单的复合函数；换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域,适合根式内外皆为一次式；判别式法：运用方程思想,依据二次方程有根,求出y的取值范围；适合分母为二次且xR的分式；分离常数：适合分子分母皆为一次式（x有范围限制时要画图片在页面最后）；单调性法：利用函数的单调性求值域；图片在页面最后象法：二次函数必画草图片在页面最后求其值域；利用对号函数几何意义法：由数形结合,转化距离等求值域.主要是含绝对值函数1（直接法）y2f(x)2242xx23（换元法）yx4（法）y1x22x32x13x2x45y6(分离常数法)y7(单调性)yx8y9(图片在页面最后象法)y32xx(1x£2)10(对号函数)y2x11(几何意义)yx2x12x21x12x3x1y(2£x£4)x12x13(xÎ1,3)2x1,yx1x1(结合分子/分母有理化的数学方法)x1x18(x³4)x四、函数的奇偶性1定义：设y=f(x),xA,如果对于任意xA,都有f(x)f(x),则称y=f(x)为偶函数.如果对于任意xA,都有f(x)f(x),则称y=f(x)为奇函数.2性质：y=f(x)是偶函数Ûy=f(x)的图片在页面最后象关于y轴对称,y=f(x)是奇函数Ûy=f(x)的图片在页面最后象关于原点对称,若函数f(x)的定义域关于原点对称,则f（0）=0奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇两函数的定义域D1,D2,D1D2要关于原点对称3奇偶性的判断看定义域是否关于原点对称看f(x)与f(-x)的关系1已知函数f(x)是定义在(¥,¥)上的偶函数.当xÎ(¥,0)时,f(x)xx4,则当xÎ(0,¥)时,f(x).2xb2已知定义域为R的函数f(x)x1是奇函数.2a（）求a,b的值；（）若对任意的tÎR,不等式f(t2t)f(2tk)0恒成立,求k的取值范围；3已知f(x)在（1,1）上有定义,且满足x,yÎ(1,1)有f(x)f(y)f(22xy),1xy证明：f(x)在（1,1）上为奇函数；4若奇函数f(x)(xÎR)满足f（2）1,f(x2)f(x)f（2）,则f（5）_五、函数的单调性1函数单调性的定义：2设yfgx是定义在M上的函数,若f(x)与g(x)的单调性相反,则yfgx在M上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同,则yfgx在M上是增函数.1判断函数f(x)x(xÎR)的单调性.2函数f(x)对任意的m,nÎR,都有f(mn)f(m)f(n)1,并且当x0时,f(x)1,求证：f(x)在R上是增函数；若f（3）4,解不等式f(aa5)223函数ylog0.1(6x2x)的单调增区间是_324已知f(x)(3a1)x4a,x1是(¥,¥)上的减函数,那么a的取值范围是( )logax,x113（A）(0,1)（B）(0,)（C）,)1173（D）,1)17六、函数的周期性：1（定义）若f(xT)f(x)(T¹0)Ûf(x)是周期函数,T是它的一个周期.说明：nT也是f(x)的周期（推广）若f(xa)f(xb),则f(x)是周期函数,ba是它的一个周期对照记忆f(xa)f(xa)说明：f(ax)f(ax)说明：2若f(xa)f(x)；f(xa)11；f(xa)；则f(x)周期是2af(x)f(x)1已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),则,f（6）的值为(A)1(B)0(C)1(D)22定义在R上的偶函数f(x),满足f(2x)f(2x),在区间-2,0上单调递减,设af(15),bf（2）,cf（5）,则a,b,c的大小顺序为_3已知f(x)是定义在实数集上的函数,且f(x2)f(2022)=.1f(x),若f（1）23,则1f(x)4已知f(x)是(-¥,当0£x£1时,f(x)=x,则f(75)=_¥)上的奇函数,f(2x)f(x),例11设f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x恒满足f(2x)f(x),当xÎ0,2时f(x)2xx2求证：f(x)是周期函数；当xÎ2,4时,求f(x)的解析式；计算：七、反函数1只有单调的函数才有反函数；反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域；2求反函数的步骤（1）解（2）换（3）写定义域.3关于反函数的性质（1）y=f(x)和y=f-1(x)的图片在页面最后象关于直线y=x对称；（2）y=f(x)和y=f-1(x)具有相同的单调性；（3）已知y=f(x),求f-1(a),可利用f(x)=a,从中求出x,即是f-1(a)；（4）f-1f(x)=x;（5）若点(a,b)在y=f(x)的图片在页面最后象上,则(b,a)在y=f-1(x)的图片在页面最后象上；（6）y=f(x)的图片在页面最后象与其反函数y=f-1(x)的图片在页面最后象的交点一定在直线y=x上;1设函数yf(x)的反函数为yf像必过11(x),且yf(2x1)的图片在页面最后像过点(,1),则yf1(x)的图片在页面最后2（A）(,1)（B）(1,)（C）(1,0)（D）(0,1)1212八、二次函数(涉及二次函数问题必画图片在页面最后分析)21二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)的图片在页面最后象是一条抛物线,对称轴xb,顶点坐标(b,4acb)2a2a4a2二次函数与一元二次方程关系一元二次方程axbxc0(a¹0)的根为二次函数f(x)=ax2+bx+c(a0)y0的x的取值.一元二次不等式axbxc0（0）的解集(a>0)二次函数Y=ax+bx+c(a>0)222情况=b-4ac2一元二次不等式解集ax2+bx+c>0(a>0)ax2+bx+c<0(a>0)>0图片在页面最后象与解xxx或xx12xx1xx2=0xx¹x0F<0RF1已知函数f(x)4xmx5在区间2,¥)上是增函数,则f（1）的范围是( )（A）f（1）³25(B)f（1）25(C)f（1）£25(D)f（1）252方程mx2mx10有一根大于1,另一根小于1,则实根m的取值范围是_22九、指数式与对数式1幂的有关概念（1）零指数幂a1(a¹0)0（2）负整数指数幂an1*a¹0,nÎNnan（3）正分数指数幂a（5）负分数指数幂amnmnama0,m,nÎN*,n1；1amn1nama0,m,nÎN,n1*（6）0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义.2有理数指数幂的性质1arasarsa0,r,sÎQ2ar3根式sarsa0,r,sÎQ3abarbra0,b0,rÎQr根式的性质:当n是奇数,则nana；当n是偶数,则nana4对数aaa³0a0b（1）对数的概念:如果aN(a0,a¹1),那么b叫做以a为底N的对数,记blogaN(a0,a¹1)（2）对数的性质：零与负数没有对数loga10logaa1（3）对数的运算性质logMN=logM+logN对数换底公式：logaNlogmN(N0,a0且a¹1,m0且m¹1)logman对数的降幂公式：logamNnlogaN(N0,a0且a¹1)m12（1）( )41(4ab1)3(0.1)2(a3b)132（2）lg8lg125lg2lg5lg10lg0.1十、指数函数与对数函数1指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0,a1)互为反函数名称一般形式定义域值域过定点指数函数Y=ax(a>0且a1)(-,+)(0,+)（,1）对数函数y=logax(a>0,a1)(0,+)(-,+)（1,）指数函数y=ax与对数函数y=logax(a>0,a1)图片在页面最后象关于y=x对称图片在页面最后象单调性a>1,在(-,+)上为增函数a>1,在(0,+)上为增函数a<1,在(-,+)上为减函数值分布y>1?y<1?a<1,在(0,+)上为减函数y>0?y<0?2比较两个幂值的大小,是一类易错题,解决这类问题,首先要分清底数相同还是指数相同,如果底数相同,可利用指数函数的单调性；指数相同,可以利用指数函数的底数与图片在页面最后象关系（对数式比较大小同理）记住下列特殊值为底数的函数图片在页面最后象：3研究指数,对数函数问题,尽量化为同底,并注意对数问题中的定义域限制4指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的复合问题,讨论复合函数的单调性是解决问题的重要途径.1（1）ylgxlg(53x)的定义域为_；（2）y21x3的值域为_；_,值域为_（3）ylg(x2x)的递增区间为_12log21x£0,则xÎ_423要使函数y12x4xa在xÎ¥,1上y0恒成立.求a的取值范围.4若a2x+十、函数的图片在页面最后象变换1平移变换：（左+右-,上+下-）即0,右移;h0,左移yf(x)hyf(xh)11·ax0（a0且a1）,求y=2a2x3·ax+4的值域.22yf(x)yf(x)k2对称变换：（对称谁,谁不变,对称原点都要变）x轴yf(x)yf(x)y轴yf(x)yf(x)k0,下移;k0,上移yf(x)原点yf(x)yxyf(x)yf1(x)y轴右边不变,左边为右边部分的对称图片在页面最后yf(x)yf(x)x轴上方图片在页面最后,将x轴下方图片在页面最后上翻yf(x)保留yf(x)1f(x)的图片在页面最后象过点(0,1),则f(4-x)的反函数的图片在页面最后象过点( )A.(3,0)B.(0,3)C.(4,1)D.(1,4)2作出下列函数的简图片在页面最后：（1）y=|log2|；（2）y=|2x-1|；（3）y=2|x|；x十、函数的其他性质1函数的单调性通常也可以以下列形式表达：f(x1)f(x2)0单调递增x1x2f(x1)f(x2)0单调递减x1x22函数的奇偶性也可以通过下面方法证明：f(x)f(x)0奇函数f(x)f(x)0偶函数3函数的凸凹性：x1x2f(x1)f(x2)凹函数（图片在页面最后象“下凹”,如：指数函数）22xxf(x1)f(x2)f（12）凸函数（图片在页面最后象“上凸”,如：对数函数）22f(