2022年函数模型及其应用知识点与题型归纳.docx

精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -高考明方向1. 明白指数函数、对数函数、幂函数的增长特点,结合详细实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类 型增长的含义2. 明白函数模型 如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型 的广泛应用 .备考知考情1. 利用函数图象刻画实际问题及建立函数模型解决实际问题,是高考命题的热点2. 常与函数的图象、单调性、最值以及基本不等式、导数的应用交汇命题,考查建模才能及分析问题和解决问题的才能3. 挑选题、填空题、解答题三种题型都有考查,但以解答题为主 .一、学问梳理 名师一号 P35学问点一几类函数模型函数解析式一次函数模型fx ax ba,b 为常数, a 0二次函数fx ax2 bxca,b,c 为常数, a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_模型指数型 函数模型对数型 函数模型幂函数型函数模型fx bax ca, b, c 为常数, a0,且 a1 fx blogaxca, b, c 为常数, a0,且 a 1fx axn ba, b 为常数, a0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学问点二三种增长型函数之间增长速度的比较1.指数函数 yaxa1与幂函数 y xnn 0：在区间 0, 上,无论 n 比 a 大多少,尽管在 x 的肯定范畴内 ax 会小于 xn,但由于 ax 的增长 快于 xn 的增长, 因而总存在一个 x0,当 xx0 时,有 axxn.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2对数函数 ylogaxa1与幂函数 y xnn0：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对数函数 y logaxa 1的增长速度,不论a 与 n 值的大小如何, 总会慢于 yxn 的增长速度, 因而在定义域内总存在一个实数x0,当 x x0 时,有 logaxxn由 1、2 可以看出 三种增长型的函数尽管均为增函数, 但它们的增长速度不同,且不在同一个档次上,因此在 0, 上,总会存在一个x0,当 xx0 时, 有 ax xn logax.留意：名师一号 P36问题探究问题 1、2问题 1解决实际应用问题的一般步骤是什么？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -1审题：弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系, 初步挑选数学模型.2建模：将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学学问,建立相应的数学模型.3求模：求解数学模型,得出数学结论.4仍原：将数学问题仍原为实际问题 以上过程用框图表示如下：问题 2在解决实际应用问题时应留意哪些易错的问题？1函数模型应用不当 ,是常见的解题错误所以,要懂得题意,挑选适当的函数模型2要特殊 关注实际问题的自变量的取值范畴,合理确定函数的定义域3留意 问题反馈 ,在解决函数模型后,必需验证这个数学解对实际问题的合理性二、例题分析：（一）三种函数模型增长速度的比较例 1. 名师一号 P36对点自测 5、6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -5.判定下面结论是否正确请在括号中打“”或“×”1函数 2x 的函数值比 y x2 的函数值大 2幂函数增长比直线增长更快03不存在 x0,使 ax0<xn<logax0. 4fxx2, gx 2x、hx log2x,当 x4, 时,恒有 hx<fx<gx 答案1×2×3×4摸索： 如何证明：任意x4, , x2<2x 恒成立.6在某种新型材料的研制中,试验人员获得了以下一组试验数据现预备用以下四个函数中的一个近似的表示这些数据的规律,其中最接近的一个是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1.953.003.945.106.12y0.971.591.982.352.61x12A.y 2Bylog2xCy2x1Dy2.61cosx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析由表格知当 x3 时,y 1.59,而 A 中 y23 8,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_不合要求, B 中 y log231,2接近, C 中 y2314,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_不合要求, D 中 y 2.61cos3<0,不合要求,应选B.（二）函数模型应用题例 1. 名师一号 P36对点自测 11.一根蜡烛长 20 cm,点燃后每小时燃烧5 cm,燃烧时剩下的高度 hcm与燃烧时间 th的函数关系用图象表示为图中的ABCD解析由题意知 h 205t0 t4,应选 B.例 2. 名师一号 P36高频考点例 12022 ·武汉调研 在经济学中,函数 fx的边际函数 Mf x 定义为：Mf x fx 1 fx某公司每月生产x 台某种产品的收入为 Rx元,成本为 Cx元,且 Rx3 000x 20x2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 5 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -Cx500x4 000x N* 现已知该公司每月生产该产品不超过 100 台1求利润函数 Px以及它的边际利润函数MP x.2求利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差解析： 1由题意,得 x 1,100,且 xN* . Px RxCx 3 000x20x2 500x4 000 20x22 500x4 000,MP xPx1 Px 20x 122 500x1 4 000 20x22 500x4 0002 48040x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22Px 20 x1252 74 125,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x 62 或 x63 时,Px取得最大值 74 120 元. 由于 MP x2 480 40x 是减函数,所以当x1 时, MP x取得最大值 2 440 元故利润函数的最大值与边际利润函数的最大值之差为 71 680 元留意:名师一号 P36高频考点例 1 规律方法 二次函数是我们比较熟识的基本函数,建立二次函数模型可以求出函数的最值,解决实际中的最优化问题, 值得留意的是：肯定要留意自变量的取值范畴,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -依据图象的对称轴与定义域在数轴上表示的区间之间的位置关系争论求解例 3. 名师一号 P36高频考点例 2一片森林 原先面积为 a,方案每年砍伐一些树, 且每年砍伐面积的百分比相等 ,当 砍伐到面积的一半 时,所 用时间是 10 年,为爱护生态环境,森林面积至少要保留原面积.12的 ,已知到今年为止,森林剩余面积为原先的421求每年砍伐面积的百分比.2到今年为止,该森林已砍伐了多少年？解析：1设每年降低的百分比为x0<x<1,就 a1 x101 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即1 x101,解得22a12x1 110 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2设经过 m 年剩余面积为原先的2 ,就 a1xm2 ,即2 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m1 1012 212m1, ,解得 m5,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_102故到今年为止,该森林已砍伐了5 年留意:名师一号 P37高频考点例 2 规律方法1指数函数模型常与增长率相结合 进行考查, 在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题 可以利用指数函数模型来表示2应用指数函数模型时,关键是对模型的判定,先设定模型将有关已知数据代入验证,确定参数,从而确定函数模型3ya1xn 通常利用指数运算与对数函数的性质求解 例 4. 名师一号 P37高频考点例 3某旅行景点估计2022 年 1 月份起 前 x 个月的旅行人数1的和 px单位：万人 与 x 的关系近似的满意 px2xx139 2xx N* ,且 x12已知 第 x 个月的人均消费额qx单位：元 与 x 的近似关系是 qx1写出 2022 年第 x 个月的旅行人数 fx单位：人 与 x 的函数关系式.2试问 2022 年第几个月旅行消费总额最大,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -最大月旅行消费总额为多少元？解析： 1当 x1 时, f1p1 37, 当 2 x 12, 且 xN* 时 , fxpx px111 2xx 139 2x 2x 1x41 2x 3x240x,验证 x1 也满意此式 ,所以 fx 3x240xxN* ,且 1 x 122第 x 个月旅行消费总额为gx即 gx9 当 1x6, 且 x N* 时 , gx18x2 370x 1 400,令 gx0, 解得 x5 或 x 140 舍去当 1 x<5 时, g x>0,当 5<x6 时, g x<0,当 x5 时, gxmax g53 125万元当 7x12,且 xN* 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -gx 480x 6 400 是减函数,当 x7 时, gxmax g73 040万元综上, 2022 年 5 月份的旅行消费总额最大,最大旅行消费总额为 3 125 万元留意:名师一号 P37高频考点例 3 规律方法(1) 许多实际问题中,变量间的关系不能用一个关系式给出,这时就需要构建分段函数模型,如出租车的票价与路程的函数就是分段函数(2) 求函数最值常利用基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法 在求分段函数的最值时,应先求每一段上的最值,然后比较得最大值、最小值练习：温故知新P32第 6 题某辆汽车 购买时的费用是15 万元,每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为1.5万元, 年修理保养费用第一年3000 元,以后逐年递增 3000 元,就这辆汽车报废的正确年限（即年平均费用最少）是答案： 10 年可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 10 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -函数模型应用题专项突破从近三年的高考试题来看,建立函数模型解决实际问题是高考的热点,题型主要以解答题为主,难度中等偏高,常与导数、最值交汇,主要考查建模才能,同时考查分析 问题、解决问题的才能【典例】某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池不计厚度 设该蓄水池的底面半径为r 米,高为 h 米,体积为 V 立方米假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为 100 元/平方米,底面的建造成本为160 元/平方米,该蓄水池的总建造成本为12 000 元 为圆周率 1将 V 表示成 r 的函数 Vr,并求该函数的定义域. 2争论函数 Vr的单调性,并确定r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大课后作业计时双基练 P231 基础 1-9 、培优 1、2课本 P37变式摸索 1、2、3.课本 P38 对应训练预习 其次章第十一节变化率与导数、导数的运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 11 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -6 月 1 日 18 班计时双基练 P231 基础 1-9 、培优 1、2课本 P37变式摸索 1、2、3.预习 其次章第十一节变化率与导数、导数的运算6 月 1 日 15 班一元二次方程根分布补充作业5-7计时双基练 P231 基础 1-9预习 其次章第十一节变化率与导数、导数的运算可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 12 页,共 12 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载