2022年初中圆的定理和公式汇总.docx

初中圆的定理和公式汇总1不在同一直线上的三点确定一个圆.圆：由定点到定长点的集合叫做圆.符号0弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦.弦：经过圆心的弦叫直径半径不同,圆心相同的两个圆叫做同心圆同圆、等圆或半径相同的叫做等圆两个完全重合的弧叫等弧经过平面上一点可画无数个圆；经平面上二点可画无数个圆；在三角形外画一个圆的圆心叫做此三角形的外心,此圆为三角形的外接圆.外心：三角形三条中垂线的交点.三角形三个顶点在圆上,这个三角形叫圆的内接三角形.2垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧推论1平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧推论2圆的两条平行弦所夹的弧相等3圆是以圆心为对称中心的中心对称图片在页面最后形AB4圆是定点的距离等于定长的点的集合5圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合6圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合7同圆或等圆的半径相等8到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆9定理在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等10推论在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等11定理圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角12直线L和O相交dr直线L和O相切d=r直线L和O相离dr13切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线14切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径15推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点16推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心17切线长定理从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角18圆的外切四边形的两组对边的和相等19弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角20推论如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等30相交弦定理圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等31推论如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项32切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项33推论从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等34如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上35两圆外离dR+r两圆外切d=R+r两圆相交R-rdR+r(Rr)两圆内切d=R-r(Rr)两圆内含dR-r(Rr)36定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦37定理把圆分成n(n3):依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形经过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形38定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆39正n边形的每个内角都等于（n-2）×180°n40定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形41正n边形的面积Sn=pnrn2p表示正n边形的周长42正三角形面积3a4a表示边长43如果在一个顶点周围有k个正n边形的角,由于这些角的和应为360°,因此k×(n-2)180°n=360°化为（n-2）(k-2)=444弧长计算公式：L=n兀R18045扇形面积公式：S扇形=n兀R2360=LR246内公切线长=d-(R-r)外公切线长=d-(R+r)47定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半48推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等49推论2半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理以及与圆有关的比例线段1切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长度,“切线长”是切线上一条线段的长,具有数量的特征,而“切线”是一条直线,它不可以度量长度.2切线长定理如图片在页面最后1对于切线长定理,应明确（1）若已知圆的两条切线相交,则切线长相等；（2）若已知两条切线平行,则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线,连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线,切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线,平分过这点向圆引的两条切线所夹的角.3弦切角（如图片在页面最后2）：顶点在圆上,一边和圆相交,另一边和圆相切的角.图片在页面最后1图片在页面最后2直线AB切O于P,PC、PD为弦,图片在页面最后中几个弦切角呢？（四个）ÐAPC,ÐAPD,ÐBPD,ÐBPC4弦切角定理：弦切角等于其所夹的弧所对的圆周角.即如上图片在页面最后中ÐAPC=ÐCDP等证明：如图片在页面最后2,连接CD、OC、OP,因为ÐCPO=ÐPCO,所以ÐCOP=180°-2ÐCPO而ÐCPO=90°-ÐAPC,故ÐCOP=2ÐAPC,即ÐCDP=ÐAPC.5弄清和圆有关的角：圆周角,圆心角,弦切角,圆内角,圆外角.6遇到圆的切线,可联想“角”弦切角,“线”切线的性质定理及切线长定理.7与圆有关的比例线段定理图片在页面最后形已知结论证法O中,连结AC、BD,ÐC=ÐB,ÐA=ÐD,AB、CD所以APCDPB相交为弦,交弦定PA·PBPC·PD于P.理O中,用相交弦定理.AB为直相交径,弦定PC2PA·PBCDAB理的于P.推论O中,连结TA、TB,则PTA=B（弦PT切O切角等于同弧圆周角）所以切割于T,割PTAPBT,所以线定PT2PA·PB线PB交PT2PA·PB理O于A切割线定理推论PB、PD为O的两条割线,交PA·PBPC·PDO于A、CO中,割线PB交O于P'C·P'Dr2OP'2A,CD为PA·PBOP2r2弦r为O的半径过P作PT切O于T,用两次切割线定理圆幂定理延长P'O交O于M,延长OP'交O于N,用相交弦定理证；过P作切线用切割线定理勾股定理证8圆幂定理：过一定点P向O作任一直线,交O于两点,则自定点P到两交点的两条线段之积为常数|（R为圆半径）,因为叫做点对于O的幂,所以将上述定理统称为圆幂定理.例1如图片在页面最后1,正方形ABCD的边长为1,以BC为直径.在正方形内作半圆O,过A作半圆切线,切点为F,交CD于E,求DE：AE的值.图片在页面最后1例2O中的两条弦AB与CD相交于E,若AE6cm,BE2cm,CD7cm,求CE.图片在页面最后222例3已知PA是圆的切线,PCB是圆的割线,则AB:ACPB:_.例4如图片在页面最后3,P是O外一点,PC切O于点C,PAB是O的割线,交O于A、B两点,如果PA：PB1：4,PC12cm,O的半径为10cm,则圆心O到AB的距离是_cm.图片在页面最后3例5如图片在页面最后4,AB为O的直径,过B点作O的切线BC,OC交O于点E,AE的延长线交BC于点D,求证：（1）CECDCB；（2）若ABBC2厘米,求CE、CD的长.2图片在页面最后4例6如图片在页面最后5,AB为O的直径,弦CDAB,AE切O于A,交CD的延长线于E.求证：BC2ABDE图片在页面最后5例7如图片在页面最后6,PA、PC切O于A、C,PDB为割线.求证：AD·BCCD·AB图片在页面最后6例8如图片在页面最后7,在直角三角形ABC中,A90°,以AB边为直径作O,交斜边BC于点D,过D点作O的切线交AC于E.求证：BC2OE.图片在页面最后7例9如图片在页面最后8,在正方形ABCD中,AB1,AC是以点B为圆心,AB长为半径的圆的一段弧.点E是边AD上的任意一点（点E与点A、D不重合）,过E作AC所在圆的切线,交边DC于点F,G为切点.当DEF45°时,求证:点G为线段EF的中点；ÇÇ图片在页面最后8【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、选择题1已知：PA、PB切O于点A、B,连结AB,若AB8,弦AB的弦心距3,则PA( )A.20/3B.25/3C.5D.82下列图片在页面最后形一定有内切圆的是( )A.平行四边形B.矩形C.菱形D.梯形3已知：如图片在页面最后1直线MN与O相切于C,AB为直径,CAB40°,则MCA的度数( )图片在页面最后1A.50°B.40°C.60°D.55°4圆内两弦相交,一弦长8cm且被交点平分,另一弦被交点分为1：4,则另一弦长为( )A.8cmB.10cmC.12cmD.16cm5在ABC中,D是BC边上的点,AD=22cm,BD3cm,DC4cm,如果E是AD的延长线与ABC的外接圆的交点,那么DE长等于( )A.23cmB.32cmC.22cmD.33cm6PT切O于T,CT为直径,D为OC上一点,直线PD交O于B和A,B在线段PD上,若CD2,AD3,BD4,则PB等于( )A.20B.10C.5D.二、填空题7AB、CD是O切线,ABCD,EF是O的切线,它和AB、CD分别交于E、F,则EOF_度.8已知：O和不在O上的一点P,过P的直线交O于A、B两点,若PA·PB24,OP5,则O的半径长为_.9若PA为O的切线,A为切点,PBC割线交O于B、C,若BC20,PA=103,则PC的长为_.10正ABC内接于O,M、N分别为AB、AC中点,延长MN交O于点D,连结BD交AC于P,则PC=_.PA三、解答题11如图片在页面最后2,ABC中,AC2cm,周长为8cm,F、K、N是ABC与内切圆的切点,DE切O于点M,且DEAC,求DE的长.图片在页面最后212如图片在页面最后3,已知P为O的直径AB延长线上一点,PC切O于C,CDAB于D,求证：CB平分DCP.图片在页面最后313如图片在页面最后4,已知AD为O的直径,AB是O的切线,过B的割线BMN交AD的延长线于C,且BMMNNC,若AB=22cm,求O的半径.图片在页面最后4