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-生活中的数学-第 27 页和银行业e跟我们日常的事情有什么关系呢？事实上它在我们日常生活中用的跟任何一个特定的整数一样多，尽管人们并不总能察觉到它的出现。只有的人知道是一个实际的数，如果问大家，可能多数人会说是英语字母表里的第5个字母。大家知道它是一个奇怪的数，这是我们通过数学课了解到的。只有少数人知道它是一个无理数和一个超越数。 在今天的银行业里，是对银行家最有帮助的一个数。人们可能会问，像这样的数是怎样又以何种方式与银行业发生关系呢？要知道后者是专门跟“元”和“分”打交道的!假如没有的发现，银行家要计算今天的利息就要花费极其大量的时间，无论是逐日逐日地算复利，还是持续地算复利都无法避免。有幸的是，的出现助了一臂之力。的定义是作为数列的极限。我们通常写为。在利息计算中怎样借助于这个公式呢？实际的计算公式是：本利和，。这里本金，年利率，一年之内计算利息的次数，存钱的年数。上述公式可以变形为对于的公式。当人们投资1美元年利率为100时，一年的本利和可达美元。开头可能会有人以为总计会是一个天文数字，但看了下面的估计后就会知道它接近于的值。于是，我们看到：如果我们投资1美元，年利率为100，那么收益决不会超过2.72美元。事实上的小数点后头22位数是下一个问题是怎样对进行工作。最好先通过尝试来确定看。比如说我们从1000美元开始以年利8存入银行，让我们看看当按一年期计算，然后按每半年期计算，再按每三个月期计算复利时会出现什么。如果逐日计算复利，可用公式。这个公式如果用手算则要花好多时间，但今天用电子计算器和专门的计算机顷刻间便能得出结果。Music 与数学动人的音乐常给人以美妙的感受。古人云：余音绕梁，三日不绝，这说的是唱得好，也有的人五音不全，唱不成调，这就是唱得不好了。同样是唱歌，甚至是唱同样的歌，给人的感觉却是迥然不同。其重要原因在于歌唱者发声振动频率不同。人类很早就在实践中对声音是否和谐有了感受，但对谐和音的比较深入的了解只是在弦乐器出现以后，这是因为弦振动频率和弦的长度存在着简单的比例关系。近代数学已经得出弦振动的频率公式是 W =，这里，P是弦的材料的线密度；T是弦的张力，也就是张紧程度；L是弦长；W是频率，通常以每秒一次即赫兹为单位。那么，决定音乐和谐的因素又是什么呢？人类经过长期的研究，发现它决定于两音的频率之比。两音频率之比越简单，两音的感觉效果越纯净、愉快与和谐。首先，最简单之比是：。例如，一个音的频率是160、7赫兹，那么，与它相邻的协和音的频率应该是2×260、7赫兹，这就是高八度音。而与频率为2×260、7赫兹的音和谐的次一个音是4×260、7赫兹。这样推导下去，我们可以得到下面一列和谐的音乐：260、7，2×260、7，22×260、7我们把它简记为C0，C1，C2，称为音名。由于我们讨论的是音的比较，可暂时不管音的绝对高度（频率），因此又可将音乐简写为：C0C1C2C320212223需要说明的是，在上面的音列中，不仅相邻的音是和谐的，而且C与C2，C与C3等等也都是和谐的。一般说来这些协和音频率之比是2M。（其中M是自然数）导航的双曲线 我们小时侯都曾梦想,长大以后要当上船长就好了. 在茫茫的大海上,惊涛骇浪,你能顺利地指挥着船队驶向前方吗?好,让我们的双曲线来帮助你吧.它是大海的导航员.先来看一看原理.假如你站在广场上,广场的东西两侧各装有一只喇叭,并且放着欢快的音乐: 北京的京山上光芒照四方,毛主席就是那金色的太阳,多么温暖我站在广场上,听见第一只喇叭把“金色的太阳”传到耳朵后的半秒钟,又听到了第二声“金色的太阳”.由于两个喇叭离耳朵的远近不同,所以产生了听觉上的时间差.再换一个地方,是否还有这样歌声相差半秒的情形呢?实际上,只要人站的位置与两只喇叭的距离差与第一次一样就可以了 .因此可以找到很多这样的点.这些点就构成了双曲线的一支.轮船航行在海上时,它就处于人的位置.岸上有两个无线电发射台,用电波代替了喇叭里传出的音乐.轮船行驶在某一位置时,就可以从接收的电波的相位差,测出轮船与电台的距离差,由此确定了一条以两个电台为焦点的双曲线.若再和另一对电台联系,可以确定出另一条双曲线,两条双曲线有一个交点,船就处于这一点上.这一切都是在一瞬间完成的,因为有很多现代化的工具来帮助我们,你明白了吗?船长们就是这样来导航的.电冰箱温控器的调节如何使电冰箱使用时间更长中国自从1978年改革开放之后，人民生活水平日益提高，许多家庭都购买了电冰箱等家用电器。但是也有许多家庭并不了解电冰箱的工作原理，更不了解电冰箱温控器的工作原理及其调节方法。人民生活水平固然提高了许多，但是现在也并不是都十分富裕。不正确的使用电冰箱势必会缩短其使用寿命，带来了不必要的麻烦，同时也浪费了自然资源和财力。有一次，我们家中的一台电冰箱工作了很长时间，却一直不停机。我们吓了一跳，以为电冰箱坏了。我们给维修单位打电话咨询，但是上上下下仔细查看了整个电冰箱后，才发现只是温控器调节的不正确。这使我们认识到了冰箱温控器对于电冰箱的重要性。因此，我们来研究一下电冰箱温控器的正确使用方法，即如何使电冰箱的使用寿命更长。问题：如何正确调节电冰箱温控器，使电冰箱使用寿命更长。电冰箱制冷是靠中温低压的液态制冷剂进入蒸发器吸收热量汽化为低温低压的气态制冷剂，达到蒸发器周围降温使冰箱内部冷却的目的。压缩机、冷凝器、干燥过滤器、毛细管则是帮助并保证在蒸发器中已使用过的制冷剂回复到中温低压的液体，能再一次送回蒸发器吸热汽化，实现单向连续循环制冷。蒸发器是电冰箱中唯一制冷的器件。压缩机把蒸发器出来的低温低压的汽态制冷剂经回气管由压缩机吸入气缸，被压缩为高温高压的气态进入冷凝器，把蒸发器中吸收的热量和压缩机在压缩做功时转换的热量，利用制冷剂与周围介质之间有较大的温差，通过冷凝器全部散发到空气中。制冷剂在冷凝器中因放热而被液化。这高压中温液态制冷剂经干燥过滤器吸收其中的水分，滤除其中的杂质，进入毛细管节流降压，使高压液态制冷剂降为低压而能回到蒸发器重复使用。电冰箱就是这样由各种制冷剂作工质，在封闭系统中作单向连续循环，把冰箱内热量不断的转移到箱外而达到制冷目的。电冰箱压缩机是开开停停间歇工作的。电冰箱达到箱内的设定温度是通过温度控制器控制压缩机的开、停机来完成的。压缩机运转时间长，即制冷时间长，则箱内温低；反之箱温就高。温度控制器二个触点串联在压缩机电路中，当箱内温度低到某一设定温度时则温控器触点跳开，压缩机停转，暂停制冷，随后箱内温度逐渐提高，在箱内温度高到另一设定温度时则温控器触点闭合， 压缩机又运转制冷如此循环。使箱内温度保持在一定范围内。电冰箱温控器中的感温包感受蒸发器的温度，当温度升高或降低时，感温元件中感温剂膨胀或收缩，使非刚性元件感温腔（波纹管或膜盒）推进或退缩，从而改变感温元件与弹簧片之间的作用力通过温控器中机械传力放大，使感温腔微小形变产生的微小位移放大，控制电触点，使其闭合或断开电路。温控器指向的数字，并不表示确切的温度，而是表示控制温度高低的程度趋向，数字小表示控制在较高温度，数字大则表示控制在较低温度。我们认为，压缩机的使用寿命在很大程度上决定了电冰箱的使用寿命。而影响压缩机工作时间的因素主要有：外界温度、温控器档位、冷冻室食品量、开关冰箱门习惯。当电冰箱工作稳定后，冷冻室食品量对其影响十分微小，但不可以忽略不计。无论是在寒冷的冬季，还是在炎热的夏季，冰箱中的食品都是在不断的吸热和放热。当冰箱内冷汽散失时，食品吸热；当电冰箱制冷吸热时，食品放热。这在夏季时最为明显：当电冰箱停机时，冰箱内食品越多其停机时间越长，因为如果假设食品的平均比热容不变，那么根据物理学关于热能的公式 Q=M×C×T可知食品量与停机时间成反比。其中 Q 为食品热量变化，C 为食品平均比热，T食品温度变化量。因此，冰箱内食品量的多少也是十分重要的。实际上，外界温度随季节变化而变化，温控器档位靠人工调节，冰箱内的食品量和如何开关门对于一个家庭来讲变化不会很大，因为已经形成了习惯。但是，使用时如果压缩机长时间连续工作，压缩机温度就会升高，就会造成热冲击。过多的热冲击会缩短压缩机的使用寿命。因此，我们只要调节温控器档位，使电冰箱冷冻室温度不低于某一温度，而且压缩机在非长时间连续工作的条件下（不超过一个小时），工作时间与工作、停机的时间和的比值最小（如工作10分钟，停机10分钟，则比值为0.5)，即压缩机的使用寿命更长，就可以使电冰箱的使用寿命更长。同时，电冰箱的耗电量也降低了。这样，一台电冰箱在使用过程中既省电，又可以延长使用寿命，当然十分经济。通过电冰箱生产厂家的电话咨询，专业技术人员肯定了我们的上述看法。于是我们就此进行了一些实验，并通过电话咨询得到了一些准确的数据。 在北京等中国北方城市，冬季的供暖由市区县的各供暖单位负责保证。政府规定，冬季居民室内的温度不得低于16摄氏度。北京市的供暖单位现在一般能够保证这个温度在18摄氏度左右，最高温可达20摄氏度，最低温绝不低于16摄氏度。因此，可以认为我国北方冬季家庭室内温度在18摄氏度左右。又因为，我国北方春秋季节家庭室内温度也在18摄氏度左右，偏冷的地区依然有暖汽等供暖，甚至常年不断。所以，可以认为，我国北方春秋冬三季的家庭室内 温度均在18摄氏度左右。就一般家庭而言，熟食一般现吃现买，生食一般只放几个星期。电冰箱冷冻室的食品量一般占冷冻室容积的五分之三左右，且一般变化不是很大。就是说，一般家庭的食品量对冰箱的影响基本相同。综上所述，我们理想化的实验条件是我国北方春秋冬三季一般家庭的电冰箱。在研究这个问题时可以把食品量和室内温度作为常数来考虑。由于每次开冰箱门时都会使冰箱内食品吸热升温，所以不同人的开门习惯和速度会影响到冰箱的制冷效果。比如说：老人可能手脚不是很利落，而且拿一件东西要想一下；年轻人可能一只手开门，另一只手就把东西拿出来了。为了简便计算，我们可以认为，在一个家庭中不考虑老人与青年人的分别，只考虑平均到每个家庭成员的使用效果，那么各个家庭的情况基本相同。结果是，我们在计算过程中可以忽略这一因素的影响。我们想利用家用电冰箱来进行一次实验。于是我们选用了长岭阿里斯顿 BCD 208 型电冰箱，在保持室温为 18 摄氏度且食品量始终占冷冻室有效容积五分之三不变的情况下，测定了一些数据。这种电冰箱属于中等档次的家用电器，制冷效果属于一般水平。目前许多家庭使用的电冰箱的制冷效果和保温能力都与其相差无几。这些满足了本论文前面交代的实验条件，可以作为该条件下的一个例子，来解决这个问题。于是我们开始了实验。实验进行了一个多星期，每组数据（既一个档位）间间隔二个小时，让电冰箱进行调节，以保证数据的准确性。这台冰箱的温控器旋钮有六个档位，分别是从零到五。第零档为停机档，既电冰箱压缩机停止工作，不会启动；第五档为速冻档，即压缩机一直启动，不会停机。因此，我们不能选第零档，因为冰箱不会制冷；不能选第五档，因为冰箱持续工作，即浪费电能，又会造成热冲击，还有可能冻坏食品。我们设工作时间与工作、停机的时间和的比值为 y ，设电冰箱温控器档位为 x 。则自变量 x 的取值范围为（0，5）。在平面直角坐标系中描点作图，为了便于计算，且不影响结果的正确，我们在计算时把原值扩大了100倍。这样可以方便计算，也能方便作图。观察散点的分布，我们认为这些点极有可能是在一条抛物线上，因此设 y 关于 x 的函数为。我们在后面附有实验数据列表和用绘图工具几何画板作出的函数图象。其中，表格包含五组数据，在测定时每组数据之间至少间隔两个小时，因为电冰箱需要约一个小时来调整。函数图象有一个大致的轮廓。图中的空心圆点表示描点，实心圆点表示当 x 为时函数图象上的点。我们分别以三组数据为一组，把五组数据分成了十组。设五组数据对应函数图象上的点从左至右依次为A、B、C、D、E，则将五组数据分组为：ABC、 ABD、ABE、ACDBDE、CDE。每组可分别解出一个函数，但都有一定误差。其中，凡是包含数据组 E 的组误差都十分大，且不太正常。我们认为是由于压缩机升温且冷凝器温度升高散热变慢，导致电冰箱工作异常。这种可能性十分大，属于正常现象。通过电话咨询，冰箱厂家的技术人员肯定了我们的想法，并告诉我们：目前一些高级的冷凝管可以大大提高散热效率，但造价颇高，且调节温控器就可解决问题，没必要多花钱去生产。于是把数据组 E 舍去，只计算前四组，又可以分为四组：ABC、ABD、ACD、BCD。以这四组数据分别解出一个函数，这四组函数中也存在误差，但是应该保留数据组 A 存在误差的那一分组。因为，温控器调得过低后也会造成冰箱本身的问题。由于档位越低，要求达到的温度越高（不一定始终在设定温度以下），所以要工作的时间就比较短，但停机时间缩短得更多。就是说，冰箱内的食品在较长时间内放出了热量，在较短的时间内又吸入了大致相同的热量。冰箱在这时需要适度调低要求达到的温度。这就是为什么要注意温控器的调节。就是说，由 BCD 解得的函数对于点 A、D 的误差属于合理误差。最后，只有 BCD 这一组的不合理误差最小(此时A点误差为-0.36),最后解得的函数即为所求的函数y=f(x)。由数据组 BCD 解函数：当 x = 2.574 时,函数有最小值；所以,温控器旋钮应指在 2.574 的位置。可是由于实验中不可能消除误差，所以应指在 2、3 之间的一个位置，室温稍低时就调低一点儿，反之就高一点儿，一般家庭不用经常调，温度差 2到3 度不会有大影响。但是不同的电冰箱性能不同，具体的食品量在变化，外界温度也会上下浮动，每个人每一次开门造成的影响都不相同，不同品牌电冰箱温控器控制面板也不相同。所以忽略绝大多数家庭相同的因素，只须再考虑不同的电冰箱性能不同、电冰箱温控器控制面板也不相同。尽管不同的电冰箱性能不同，但是它们的工作原理相同，都是在不断的吸热、放热。就是说，它们在那个档位基本上都是最佳的。虽然电冰箱温控器控制面板不相同，但是内部旋转多少角度能调节多少温度，却是同样基本相同的。目前市场上比较多的样式主要有：“0”到“5”，“1”到“7”和“弱”、“中”、“强”。由于我们实验用的电冰箱配备的是第一种样式的温控器，所以对应到其它两种样式分别是“3”、“4”档之间和“中”略偏“弱”。问题解决了，是在中国北方春秋冬三季，一般家庭家用电冰箱温控器的调节。目的是如何更经济的使用好电冰箱。答案就是上一段最后的几句话。问题虽然很小，而且用的就是解方程的方法，但却能培养我们从生活中寻找数学问题、运用数学知识的好习惯。这对于推行素质教育是一个极佳的方法，它使学生因为自己的兴趣而学习，知识也就更加牢固。另外，这个问题可以扩展到其它方面。如下水道的清理问题，你必须知道什么时候清理最合理：时间早了浪费物资，晚了又极难工作。当然牵扯的量也是相当多的。我们相信，通过我们不断的学习，我们将解决更多的生活中的问题。赌马中的数学问题 随着中国的改革开放，境外许多事物渐渐被生活在大陆的人知晓诸如赌马、六合彩等常在媒体中提及。对我们来说，了解一些原来不熟悉的东西也是必要的。其实，一些博彩游戏和古老的赌博有许多相似之处，我们可以用初等概率知识对其中的现象作一定的分析。 我们以赌马问题为例。为简便起见，假设只有两匹马参加比赛。通过对决定马匹胜负的各因素的研究以及对以往赛事胜负情况的统计分析，我们可得出两匹马各自胜出的实际概率。不失一般性，设其中一匹马胜出的实际概率为，则另一匹马胜出的实际概率为。那么，参赌者该如何下注以最大的限度确保他们能赢得钱呢？ 要解决这个问题必须先弄明白庄家的赔率是如何设定的。所谓赔率，是指押注一元钱于胜方所获得的总金额。举例来说，若赔率为1.65元，则如押注一元的一方恰好胜出，可得收益0.65元，加上本金，一共可得1.65元。若押注负方，则会失去所押注的1元，但不须另外再输钱。现在，我们知道了马匹胜出的实际概率，知道了庄家设定的赔率，就可以分析参赌者该如何下注。这里，设总金额为1元，并设在第一匹马上押注元，则在第二匹马上押注。至于具体押注多少，参赌者可以将总金额按该比例分配给这两匹马。于是，可得下表：马匹第一匹第二匹胜出的实际概率庄家设定赔率（元）押注（元） 如果第一匹马赢，参赌者可得到元，再减去付出的1元，参赌者的收益为元；同理，如果第二匹马赢，参赌者收益为元。考虑到两匹马胜出的实际概率分别为和，参赌者的期望收益为，其中。另外，若参赌者把所有钱都押注于第一匹马时期望收益为；若参赌者把所有的钱都押注于第二匹马时，期望收益为。 自然，参赌者希望收益，这样，他们才能以一个正的概率赢利。所以要求：。 1）当，且，即当且时，不论取何值，恒大于0，且当趋向1时，趋向于极大值。实际上，当，即参赌者把钱全押注于第一匹马上时，有收益，所以参赌者应当把钱全部押注于第一匹马上。 2）当且，即当且时，收益随着的变大而变小，且当趋于0时，趋于极大值。实际上，当，即参赌者把钱全押注于第二匹马上时，有收益。所以参赌者应当把钱全押在第二匹马上。 3）当，时，为使，应满足： 。又，即。即当，且时，参赌者按分配赌注可期望赢利。且当趋向于1时，收益趋于极大值。同1）情况可知，这时，参赌者应把钱全押注于第一匹马上，有收益。 4）当，且时。 这时不论赌注如何分配，参赌者的期望收益恒为负。在这情况下，参赌者介入其中是不理智的行为。 以上是参赌者在已知胜出概率及赔率时选择的策略。同样，庄家在设置赔率时，一定会对实际各匹马胜出的概率作一番认真研究，由此设定相应赔率。这样，他才有可能不赔本。由此当庄家设置一个赔率时，我们也可以反推庄家所估计的各匹马胜出的概率。例如，庄家赔率设定为15，则我们大致可以知道该马匹胜出概率大致应小于。 其实，在其它涉及赔率、押注的简单模型中，我们也可以用相应的方法进行分析。当然，这只是对实际情况的一种简化。现实生活中的赌马不会仅有两匹，并且要求出各马匹实际胜出的概率是件非常困难的事，在一般情况下，只能求得近似解。黄金分割造就了美 和谐的音乐关键在于它的频率，舞台的设计关键在于它的中心把二胡的千斤放在哪里，才会拉出最美妙的音乐呢，把舞台的中心放在何处，才会达到最佳的效果呢?艺术家这是艺术家们常考虑的问题但是，数学家们告诉我们，只要你把放在黄金分割点，就会达到你的目的了。真是太奇妙了，很多事情只要用到黄金分割就迎刃而解了。在建筑上，在美术上甚至在音乐上，它都体现了它的美妙之处。早在100多年以前，德国的心理学家弗希纳曾精心制作了各种比例的矩形，并且举行了一个“矩形展览”，邀请了许多朋友来参加，参观完了之后，让大家投票选出最美的矩形最后被选出的四个矩形的比例分别是:5×8，8×13，13×21，21×34。“黄金数”，这就是黄金数的来历正如前面所说，这个数是个奇妙的数，正等着你们去探索它的奥妙。需要多少保安人员 Panot公司的董事会正在召开每月一度的例会。当会议主席宣布讨论议程中的最后一项Warthog美术收藏品时，董事长Boss Parrot满意地点了点头。这些美术收藏品将要陈列在一个高技术的美术馆中(Parrot喜欢将它称为“现代化的”美术馆)，该馆用来展出无与伦比的艺术家Sandy Warthog的全部作品。Parrot是Warthog的花哨而怪异的作品风格的早期崇拜者之一，他拥有Warthog创作出的每一幅画。 “安全问题是非常重要的”，财务部门的负责人指出。 “当然，Warthog美术收藏品将配备一切最新的电子监视设备”，保卫部门的头头Harry Sams说，“每幅画都将有一台单独的微型摄像机对着” “不，我希望对Warthog美术收藏品采取点特殊的安全手段”，Paorrot打断了他的话。 “晤要多特殊呢?” “真正地特殊，Harry。我希望用看守。就是保安人员。” “嘿，老板，我看我们还是不要要求太高了吧?你知道单是安全审查就得花多少钱吗?更不用说还有医疗保险、解聘费、咖啡费等等开支了。用活人就得多花钱，老板。这样不行。我建议是采用Notsobitchi公司生产的最新式嗅探机器人，或许还有一些” “我希望用保安人员，Harry。” “是，老板。保安人员。晤要多少呢?” “保安人员的人数，要足以保证美术馆的每一平方英寸都至少在一名保安人员的监视之下。我希望每个保安人员都坐在一张旋转坐椅上，这样他们就有全方位的视界。聘请的保安人员的人数应满足保卫工作的需要但多一个也不行，懂吗?你知道，活人就得多花钱。 “是的，老板先生。晤美术馆的平面图已定稿了吧”? “还没有。” “既然这样，那就不好确定需要多少保安人员了。” “建筑师已经决定，美术馆只有一层，且有24面笔直的墙每一面墙代表Warthog的某一时期的作品风格。我的任务是：既然你手头没有完备的资料，我授权你聘用一定数量的保安人员，其人数要不多不少，刚好足以保证任何一个有24面直墙的房间处于保安人员的监视之下，每个保安人员的位置固定，且其视界为全方位的。但我希望你聘请的人数不要超过你的实际需要。如果事实证明Warthog美术收藏品需要的保安人员人数少于理论极大值，我将承担责任，但如果美术馆的任何一种设计方案都不需要你聘请的那么多保安人员，或者你聘请的保安人员不敷需要，那么你只得另找老板了，Harry。” 如果你是一位权力很大的经理；而你的饭碗又面临被打碎的危险，你自然不会安然自得地混日子了。你会花公司的很大一笔钱去聘请用这笔钱能够请到的最好的咨询专家，并要他们来解决这个问题。 Harry从电话簿上找到了这些专家：一个称为“月光数学家”的团体。专家名为Alf Moon和Dee Light。 “这是个棘手的问题，Sams先生”，Moon说。 “的确棘手”，Light说道。他已经知道答案。但是告诉客户这类事情是不会赚到钱的。 “问题在于”，Moon继续说下去，“排布24条直线的方法多得数不胜数。”这两位专家有轮流发言的习惯。 “而你需要的保安人员的数目又与你采用何种布置方式有关。” “幸运的是，我们有一些好方法可用。这些方法属于我们这行所谓的美术馆定理。” “是的，完全正确。比如说，如果一个房间只需一名保安人员，那它必定是我们称之为星形的房间。” “这就意味着存在着某个内点或边界点，使得房间中的任何一点均可用一条完全在房间内的直线与该点连接起来。” “现在，想象你用任何一种老办法把一定数量的保安人员布置在一个房间内。这样每个保安人员都守在一个星形区域中也就是他或她能够监视到的那部分房间。而你问的问题就是” “任何一个有24面墙壁的房间所能分解成的星形区域最少有多少个”，Moon说道，同时很快地在他的笔记本上画出了草图。 “不见得吧”，Harry说。 “那么在这个具体的房间中，采用这种具体的保安人员布置方案”，Moon继续说道，“你可以看出我已经画出来的三个保安人员能够监视除了6个孤立区域之外的整个房间。” “而这6个区域是凸的”，Light指出。 “特别是，这就意味着这些区域是星形区域。”“因此，如果你在每个这类区域中再布置一名保安人员，使保安人员的总数达到9人，那么整个房间全都在保安人员监视之下了。” “好极了!”Harry说，“这么说来我需要9名保安人员了?” Moon和Light狡猾地摇摇头。“完全不是的，Sams先生。首先，这是因为对这个具体的房间采说可能有某种只需要较少保安人员的方案就完全够用了” “其次，这也是因为其他某种房间可能需要更多的保安人员。” “我来总结一下”，Sams说，“答案或者是9，或者比9少，或者比9多。” “你明白啦。” “本公司给你们的报酬是多少?” “你正好体验到这个问题啦，Sams先生”，Moon说，“很明显，对这个问题我们得采用一种有条理的方法。” “如有有疑问的话，就把它分解”，Light说。“我们需要把房间分解成许多较小的部分，然后尝试通过尽可能有效的方式把它们重新组合成星形区域。” “是的。你认为该怎么做才好呢，Light?” “要使问题简化，就把它划分成三角形。我认为三角形是用起来最自然的图形，Moon，你同意吗?” “是的。但把一个房间分成三角形的方法可不少。” “当然。我建议我们在把房间划分为三角形时不要引入新的顶点。”她转向Sams。“顶点(Vertex)是我们这行的一个术语，指的是 房间角落处的点。”Sams点点头。 “你的意思是说仅仅使用房间本身已经有的哪些顶点吗?”Moon问道。“你是否总能做到这一点呢?” “绝无问题。如果你希望的话，我可以证明给你看。” “不用了，继续说下去吧。这问题开始有点令人感兴趣了。” “接着我将把房间的每个顶点着上颜色。我只使用三种颜色比如说红、黄和蓝这样每个三角形恰好有一个顶点涂上三种颜色中的一种。任选一个三角形对其着色，使它的每个顶点各涂上一种不同颜色，然后再向外扩展。每个相邻的三角形上的颜色都是被完全决定了的，因为这些相邻三角形都只剩下一个顶点未被着色，因此你只需用与另外两个顶点不同的颜色来给它着色就行了。这样有条不紊地进行下去，最后就可把所有顶点都涂上颜色了。” “不错。现在看看我们把上述方法用在你的图形上时会出现什么情况。你最终得到6个红色顶点，9个蓝色顶点和9个黄色顶点。如果你在每个红色顶点上安排一个保安人员，那么他们就能看到整个房间。由于每个保安人员均能监视以他或她为其顶点之一的每个三角形” “而且每个三角形都有一个红色顶点。毫无疑问。这真是干净利落。这个房间仅需要6位保安人员，而不是我们开始时确定的9位。我们把这些研究人员安排在角落上。” “是安排在顶点上。”Light向前倾了倾身子，脸上带着一种古怪的表情。“现在，Moon，我的朋友，我希望你看出如何推广这一论据?” Moon在房间里走来走去，激动地挥舞着手臂。“是的，是的。如果一个房间有24面墙，那么它就有24个角落。如果我们把房间分解成三角形，并按照你的原则对其着色，那么我们就选择出现次数最少的那种颜色，并将保安人员安置在这种颜色对应的顶点上。” “的确如此。既然红色、蓝色和黄色顶点的总数为24，那么无论这些颜色是如何分配的，至少有一种颜色出现的次数不能超过8次。” “你的意思是说，如果三个数加起来等于24，那么它们不可能同时为9或大于9?是的，我明白了。”Light咧嘴笑了一下。“这样我就证明了任何有24面墙的房间可用最多8名保安人员来保卫。”“且慢”，Sams说道，他一直在注意听着两人的对话。“你刚才说这个特定的房间只需6名保安人员，而不是8名。” “不错，Sams先生。但为了保证任何一个有24面墙的房间的安全，我们还得求出最少必须要多少名保安人员。我们刚才证明的就是至多8名保安人员就够了。” “因此，我们所要做的事情就是找出一个有24面墙且需要8名保安人员的房间”，Light说。 “这很容易”，Moon说，“这个房间就能解决问题。”他很快画了个草图(见图2)。“保安人员必须安排得使他们能监视到8个三角形凹室，这样就产生了8个互不重叠的区域，因此每个区域必须各有一名保安人员。另外，我对保安人员的安排方式表明有8名保安人员就足以应付了。” “你没有把保安人员安置在角落上，”Harry提出异议。 “我们可以把保安人员安排在角落上，而且对一般性的证明来说，这样安排是有好处的”，Moon耐心地解释道，“但我们不一定非得这样安排不可。在上面所举的例子中，不这样安排还更简单一些。“好吧”，Smas说，“8名保安人员。好极了。我将告诉Boss Parrot说问题已经解决”他话还没说完，电话铃响起来了。 Sams抓起电话。他点了几次头，咕哝着说了些什么，然后把电话小心地放回桌上。接着他抓起一个花瓶猛掷到房间的另一边，在花瓶的碎片上跳上跳下，嘴里不连贯地吼叫着。 “遇到麻烦了吗，Sams先生?”Light问道，自认为她的问题很得体。 “那个该死的笨蛋建筑师改变了设计规范”，Sams大叫着。“现在美术馆将有173面墙，以便绘画作品不但能按代表一定风格的时期，而且也能按主题内容安排。” “没有问题的，Sams先生。由于我们发现的是一般性的方法，它仍然适用的。如果你根据Light的规则把房间的各个顶点涂上颜色，那么就只需把保安人员安排在出现次数最少的颜色所在的那些顶点上。现在既然3个数之和为173，那么其中某个数必定至多为173357230” “你是说我需要5723名保安人员?老板会不高兴的。” “不。这只意味着某种颜色最多出现57次，因此你聘请57名保安人员就行了。画一个同我刚才画的那幅图(见图2)相似的图形，就可证明一般说来少于57名保安人员是不够的。” Light说：“我们已经证明了的就是有几个顶点的房间最多需要n3名保安人员，这里方括号表示取整数部分。这一答案是捷克数学家Vaclav Chvatal于1973年发现的。我给出的证明则是鲍登学院的S·FisK l978年发现的简化证明，此外” 电话铃又响了起来。Sams接了电话。“你们会相信吗?折腾了半天之后，建筑设计师又要用24面墙的方案了，说是关于Warthong作品主题的问题争论太多了。很好，请你们给公司开个帐单，并在星期四之前交给我一份附有实施要点的完整报告。我和Boss Parrot有一个约会。” “我们非常仰幕Boss Parrot”，Moon说。 “我们也能来见见Parrot先生吗?”Light请求道。“我们希望会见这位了不起的人。大概永远不会再有这种机会了。” Sams想了一会，最后答应了。无论如何，带他们一起去给自己打气壮胆不会有什么害处的。万一有什么技术性问题冒出来呢。 “你是说要8名保安人员?干得不错，Sams。”Parrot高兴地微笑着。“正好建筑师刚刚定下了美术馆的最终布局方案。你来指给我看看这些保安人员该布置在什么地方。”他把美术馆平面图铺开在桌子上。 Sams向平面图看了一眼，不由得怔住了。随后他似乎恍然大悟，绝望地盯着Moon和Light。Moon用肘轻轻地推了Light一下，悄悄地：“呵!有洞。没有任何人讲过关于洞的情况。对这种房间8名保安人员是不够的。我只凭一看就可以肯定。” “不。嗯，有一个猜想是说如果有h个洞和n面墙” “包括洞上的墙在内吗?”“嗯?当然包括那么所需的保安人员最多为(n十h)3名。这平面图的n24，而h3，所以9名保安人员就应该” “你们两位在悄悄说些什么呀?”Parrot狐疑地插了进来。 “请原谅，先生。我们在赞赏建筑师的设计方案。”Light丢给Sams一个暗示的眼色，然后从口袋里掏出一支笔。“好了，正如Sams先生所说，当房间有24面墙时，8名保安人员在任何情况下都足够了。当然，不用说还得加上一名主管人总得有个人负责把他们的工作安排妥当。是这样吧。 Sams先生?” 额头上渗满汗珠的Sams这才恢复了镇定。“是的，Light小姐，当然我也想要有一名主管人。” “这样你们总共需要9名保安人员，先生，正如Sams先生刚才告诉的那样。” “这些都将记载在实施要点上，老板”，Sams说。他又逐渐变得泰然自若起来。 他斜看了Moon和Light一眼，而后者则让人几乎觉察不到的方式向他点了点头。9名保安人员?这不是他们一开始时提出的数字吗?不管怎样，现在的问题是如何安排这些保安人员的位置了。当然这些月光数学家们是知道的。不知怎么的Sams觉得他们刚刚提高了他们的等级。哪种投票制度最合理Blockvotia的国民议会刚统计完了对Palmgreasing Slushfund议案的投票情况，总统Freebie Perks满脸的不高兴。他的私人秘书Penelope Poundpincher施展浑身解数拼命安慰他。“Penny,你曾告诉我6个地区中有4个地区（包括最大的那个地区）支持此议案。那我们怎么输了呢？”“这是由于加权投票制度的缘故，先生。你知道，每个地区孝分配了与其人口数大致成比例的一定票数。这是说明详细分配情况的一张表（见图1）。总的票数为31。因此，任何一个拥有16张票（即比总票数的一半多一张票）的联盟将能够左右选举的结果。Sheepshire,Fiddlesex,Slurrey和Porkney群岛对议案投了赞成票。我已经说过，这正好是6个地区中的4个，而且包括了最大的一个。且它们合起来仅有15票，而反对议案的两个地区却有16票。”“总统选举下个月就要进行，我不希望这一情况重演。如果我们让边界委员会给Sheepshire加一票，而使Candlewick减一票”Penny把头摇得像拨浪鼓。“我不主张这样做，先生。Richfolk和Candkewick这两个区都赞成你连任。Sheepshire犹豫不决，而另外三个地区则反对你连任。Richfolk和Candlewick可以挫败另外4个区组成的联盟，但如果你从这两个区中任一个区减去一票的话，那情况就不同了。”这时有人敲门。Porkney群岛的代表Charlie Hogg冲了进来。“总统先生，这场滑稽戏不能再继续演下去了！”“什么滑稽戏？”“你所谓的民主投票制度，Porkney群岛毫无权力。“但你们拥有一票，这是与你们的人口成比例的。Slurrey的人口比你们还多，也只有一票。你们拥有的权力实际上比Slurrey还多。”“不对。任何投票的结果都完全被三个最大的地区所左右。这三个地区至少有两个将投相同的票，而它们合起来的票数至少同Richfolk和Candlewick（分别是第二大和第三大的地区）拥有的总票数一样多。这就有了16票，居于多数地位。在任何一次投票中，即使3个最小的地区一票也不投，也会得到相同的结果！”“我明白了。但我能把它怎么样呢？”“再给我们一票！这样至少3个最小的地区就可以同Sheepshire联合起来打出一个平局。如果你再给Slurrey也加一票，那么我们就可以结成一个获胜的联盟了（见图1）。”“我明白你的意思。这样总票数就是33”，Penny说。“这样有17票或17票以上就可以得胜。Fiddlesex,Slurrey,Porkney群岛和Sheepshire结成联盟，能够赢得投票。”“不错！三个最小的地区中的任何一个才能够改变投票的结果它们将拥有力量均势！”这时边界委员会的联络官Gerry Mander走了进来。Perks问他：“Gerry，边界委员会能否重新划定各区的边界，使Slurrey和Porkney群岛各多得一票？”Cerry M