直角三角形与勾股定理提高题目(34页).doc

-直角三角形与勾股定理提高题目-第 33 页直角三角形与勾股定理一、选择题1（2014湖南张家界，第7题，3分）如图，在RtABC中，ACB=60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB、AC于D、E两点若BD=2，则AC的长是（）A4B4C8D8考点：线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理分析：求出ACB，根据线段垂直平分线求出AD=CD，求出ACD、DCB，求出CD、AD、AB，由勾股定理求出BC，再求出AC即可解答：解：如图，在RtABC中，ACB=60°，A=30°DE垂直平分斜边AC，AD=CD，A=ACD=30°，DCB=60°30°=30°，BD=2，CD=AD=4，AB=2+4+2=6，在BCD中，由勾股定理得：CB=2，在ABC中，由勾股定理得：AC=4，故选：B点评：本题考查了线段垂直平分线，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等知识点的应用，主要考查学生运用这些定理进行推理的能力，题目综合性比较强，难度适中3. （2014十堰9（3分）如图，在四边形ABCD中，ADBC，DEBC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，ACD=2ACB若DG=3，EC=1，则DE的长为（）A2BC2D考点：勾股定理；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线分析：根据直角三角形斜边上的中线的性质可得DG=AG，根据等腰三角形的性质可得GAD=GDA，根据三角形外角的性质可得CGD=2GAD，再根据平行线的性质和等量关系可得ACD=CGD，根据等腰三角形的性质可得CD=DG，再根据勾股定理即可求解解答：解：ADBC，DEBC，DEAD，CAD=ACB点G为AF的中点，DG=AG，GAD=GDA，CGD=2CAD，ACD=2ACB，ACD=CGD，CD=DG=3，在RtCED中，DE=2故选：C点评：综合考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线，解题的关键是证明CD=DG=35. （2014山东淄博,第10题4分）如图，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE=1，BE的垂直平分线MN恰好过点C则矩形的一边AB的长度为（）A1BCD2考点：勾股定理；线段垂直平分线的性质；矩形的性质菁优网分析：本题要依靠辅助线的帮助，连接CE，首先利用线段垂直平分线的性质证明BC=EC求出EC后根据勾股定理即可求解解答：解：如图，连接ECFC垂直平分BE，BC=EC（线段垂直平分线的性质）又点E是AD的中点，AE=1，AD=BC，故EC=2利用勾股定理可得AB=CD=故选：C点评：本题考查的是勾股定理、线段垂直平分线的性质以及矩形的性质，本题的关键是要画出辅助线，证明BC=EC后易求解本题难度中等6. （ 2014安徽省,第8题4分）如图，RtABC中，AB=9，BC=6，B=90°，将ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（）ABC4D5考点：翻折变换（折叠问题）分析：设BN=x，则由折叠的性质可得DN=AN=9x，根据中点的定义可得BD=3，在RtABC中，根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解解答：解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9x，D是BC的中点，BD=3，在RtABC中，x2+32=（9x）2，解得x=4故线段BN的长为4故选：C点评：考查了翻折变换（折叠问题），涉及折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强，但是难度不大9（2014年山东泰安，第8题3分）如图，ACB=90°，D为AB的中点，连接DC并延长到E，使CE=CD，过点B作BFDE，与AE的延长线交于点F若AB=6，则BF的长为（）A6B7C8D10分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD=AB=3，则结合已知条件CE=CD可以求得ED=4然后由三角形中位线定理可以求得BF=2ED=8解：如图，ACB=90°，D为AB的中点，AB=6，CD=AB=3又CE=CD，CE=1，ED=CE+CD=4又BFDE，点D是AB的中点，ED是AFD的中位线，BF=2ED=8故选：C点评：本题考查了三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线根据已知条件求得ED的长度是解题的关键与难点10（2014年山东泰安，第12题3分）如图是一个直角三角形纸片，A=30°，BC=4cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C处，折痕为BD，如图，再将沿DE折叠，使点A落在DC的延长线上的点A处，如图，则折痕DE的长为（）AcmB2cmC2cmD3cm分析：根据直角三角形两锐角互余求出ABC=60°，翻折前后两个图形能够互相重合可得BDC=BDC，CBD=ABD=30°，ADE=ADE，然后求出BDE=90°，再解直角三角形求出BD，然后求出DE即可解：ABC是直角三角形，A=30°，ABC=90°30°=60°，沿折痕BD折叠点C落在斜边上的点C处，BDC=BDC，CBD=ABD=ABC=30°，沿DE折叠点A落在DC的延长线上的点A处，ADE=ADE，BDE=ABD+ADE=×180°=90°，在RtBCD中，BD=BC÷cos30°=4÷=cm，在RtADE中，DE=BDtan30°=×=cm故选A点评：本题考查了翻折变换的性质，解直角三角形，熟记性质并分别求出有一个角是30°角的直角三角形是解题的关键12（2014随州，第7题3分）如图，要测量B点到河岸AD的距离，在A点测得BAD=30°，在C点测得BCD=60°，又测得AC=100米，则B点到河岸AD的距离为（）A100米B50米C米D50米考点：解直角三角形的应用分析：过B作BMAD，根据三角形内角与外角的关系可得ABC=30°，再根据等角对等边可得BC=AC，然后再计算出CBM的度数，进而得到CM长，最后利用勾股定理可得答案解答：解：过B作BMAD，BAD=30°，BCD=60°，ABC=30°，AC=CB=100米，BMAD，BMC=90°，CBM=30°，CM=BC=50米，BD=50米，故选：B点评：此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是证明AC=BC，掌握直角三角形的性质：30°角所对直角边等于斜边的一半13（2014黔南州，第11题4分）如图，在ABC中，ACB=90°，BE平分ABC，EDAB于D如果A=30°，AE=6cm，那么CE等于（）AcmB2cmC3cmD4cm考点：含30度角的直角三角形分析：根据在直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半得出AE=2ED，求出ED，再根据角平分线到两边的记录相等得出ED=CE，即可得出CE的值解答：解：EDAB，A=30°，AE=2ED，AE=6cm，ED=3cm，ACB=90°，BE平分ABC，ED=CE，CE=3cm；故选C点评：此题考查了含30°角的直角三角形，用到的知识点是在直角三角形中，30度所对的直角边等于斜边的一半和角平分线的基本性质，关键是求出ED=CE14(2014年广西钦州，第12题3分)如图，在6个边长为1的小正方形及其部分对角线构成的图形中，如图从A点到B点只能沿图中的线段走，那么从A点到B点的最短距离的走法共有（）A1种B2种C3种D4种考点：勾股定理的应用专题：计算题分析：如图所示，找出从A点到B点的最短距离的走法即可解答：解：根据题意得出最短路程如图所示，最短路程长为+1=2+1，则从A点到B点的最短距离的走法共有3种，故选C点评：此题考查了勾股定理的应用，弄清题意是解本题的关键15(2014年贵州安顺，第9题3分)如图，在RtABC中，C=90°，A=30°，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EFAC于F，连接FB，则tanCFB的值等于（）AABCD考点：锐角三角函数的定义.分析：tanCFB的值就是直角BCF中，BC与CF的比值，设BC=x，则BC与CF就可以用x表示出来就可以求解解答：解：根据题意：在RtABC中，C=90°，A=30°，EFAC，EFBC，AE：EB=4：1，=5，设AB=2x，则BC=x，AC=x在RtCFB中有CF=x，BC=x则tanCFB=故选C点评：本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边16（2014山西，第4题3分）如图是我国古代数学家赵爽在为周髀算经作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是（）A黄金分割B垂径定理C勾股定理D正弦定理考点：勾股定理的证明分析：“弦图”，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决了勾股定理的证明解答：解：“弦图”，说明了直角三角形的三边之间的关系，解决的问题是：勾股定理故选C点评：本题考查了勾股定理的证明，勾股定理证明的方法最常用的思路是利用面积证明17. （2014乐山，第7题3分）如图，ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BDAC于点D则CD的长为（）ABCD考点：勾股定理；三角形的面积.分析：利用勾股定理求得相关线段的长度，然后由面积法求得BD的长度；最后在直角BCD中，利用勾股定理来求CD的长度解答：解：如图，由勾股定理得 AC=BC×2=ACBD，即×2×2=×BDBD=在直角BCD中，由勾股定理知，CD=故选：C点评：本题考查了勾股定理，三角形的面积利用面积法求得线段BD的长度是解题的关键19(2014年湖北黄石) （2014湖北黄石,第5题3分）如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中1+2的度数是（）第1题图A 30°B60°C90°D120°考点：直角三角形的性质分析：根据直角三角形两锐角互余解答解答：解：由题意得，剩下的三角形是直角三角形，所以，1+2=90°故选C点评：本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键20（2014湖北荆门,第12题3分）如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）第2题图A4dmB2dmC2dmD4dm考点：平面展开-最短路径问题分析：要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可解答：解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，AB=2dm，BC=BC=2dm，AC2=22+22=4+4=8，AC=2，这圈金属丝的周长最小为2AC=4cm故选A点评：本题考查了平面展开最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决21（2014四川绵阳,第11题3分）在边长为正整数的ABC中，AB=AC，且AB边上的中线CD将ABC的周长分为1：2的两部分，则ABC面积的最小值为（）ABCD考点： 勾股定理；三角形的面积；三角形三边关系；等腰三角形的性质分析：设这个等腰三角形的腰为x，底为y，分为的两部分边长分别为n和2n，再根据题意列出关于x、n、y的方程组，用n表示出x、y的值，由三角形的三边关系舍去不符合条件的x、y的值，由n是正整数求出ABC面积的最小值即可解答：解：设这个等腰三角形的腰为x，底为y，分为的两部分边长分别为n和2n，得或，解得或，2×（此时不能构成三角形，舍去）取，其中n是3的倍数三角形的面积S=××=n2，对于S=n2=n2，当n0时，S随着n的增大而增大，故当n=3时，S=取最小故选：C24. （2014泰州，第6题，3分）如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）A1，2，3B1，1，C1，1，D1，2，考点：解直角三角形专题：新定义分析：A、根据三角形三边关系可知，不能构成三角形，依此即可作出判定；B、根据勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定；C、解直角三角形可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，依此即可作出判定；D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，依此即可作出判定解答：解：A、1+2=3，不能构成三角形，故选项错误；B、12+12=（）2，是等腰直角三角形，故选项错误；C、底边上的高是=，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误；D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确故选：D点评：考查了解直角三角形，涉及三角形三边关系，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，“智慧三角形”的概念25. （2014扬州，第7题，3分）如图，已知AOB=60°，点P在边OA上，OP=12，点M，N在边OB上，PM=PN，若MN=2，则OM=（）（第4题图）A3B4C5D6考点：含30度角的直角三角形；等腰三角形的性质分析：过P作PDOB，交OB于点D，在直角三角形POD中，利用锐角三角函数定义求出OD的长，再由PM=PN，利用三线合一得到D为MN中点，根据MN求出MD的长，由ODMD即可求出OM的长解答：解：过P作PDOB，交OB于点D，在RtOPD中，cos60°=，OP=12，OD=6，PM=PN，PDMN，MN=2，MD=ND=MN=1，OM=ODMD=61=5故选C点评：此题考查了含30度直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质是解本题的关键26.（2014扬州，第8题，3分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，ABBC，ADCD，BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2，则tanMCN=（）（第5题图）ABCD2考点：全等三角形的判定与性质；三角形的面积；角平分线的性质；含30度角的直角三角形；勾股定理专题：计算题分析：连接AC，通过三角形全等，求得BAC=30°，从而求得BC的长，然后根据勾股定理求得CM的长，连接MN，过M点作MEON于E，则MNA是等边三角形求得MN=2，设NF=x，表示出CF，根据勾股定理即可求得MF，然后求得tanMCN解答：解：AB=AD=6，AM：MB=AN：ND=1：2，AM=AN=2，BM=DN=4，连接MN，连接AC，ABBC，ADCD，BAD=60°在RtABC与RtADC中，RtABCRtADC（LH）BAC=DAC=BAD=30°，MC=NC，BC=AC，AC2=BC2+AB2，即（2BC）2=BC2+AB2，3BC2=AB2，BC=2，在RtBMC中，CM=2AN=AM，MAN=60°，MAN是等边三角形，MN=AM=AN=2，过M点作MEON于E，设NE=x，则CE=2x，MN2NE2=MC2EC2，即4x2=（2）2（2x）2，解得：x=，EC=2=，ME=，tanMCN=故选A点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及解直角三角函数，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键二、填空题1. （2014山东威海，第17题3分）如图，有一直角三角形纸片ABC，边BC=6，AB=10，ACB=90°，将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点A与点C重合，则四边形DBCE的周长为 18 考点：翻折变换（折叠问题）分析：先由折叠的性质得AE=CE，AD=CD，DCE=A，进而得出，B=BCD，求得BD=CD=AD=5，DE为ABC的中位线，得到DE的长，再在RtABC中，由勾股定理得到AC=8，即可得四边形DBCE的周长解答：解：沿DE折叠，使点A与点C重合，AE=CE，AD=CD，DCE=A，BCD=90°DCE，又B=90°A，B=BCD，BD=CD=AD=5，DE为ABC的中位线，DE=3，BC=6，AB=10，ACB=90°，四边形DBCE的周长为：BD+DE+CE+BC=5+3+4+6=18故答案为：18点评：本题主要考查了折叠问题和勾股定理的综合运用本题中得到ED是ABC的中位线关键2. （2014山东枣庄，第18题4分）图所示的正方体木块棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图的几何体，一只蚂蚁沿着图的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为 （3+3） cm考点：平面展开-最短路径问题；截一个几何体分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将图的几何体表面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果解答：解：如图所示：BCD是等腰直角三角形，ACD是等边三角形，在RtBCD中，CD=6cm，BE=CD=3cm，在RtACE中，AE=3cm，从顶点A爬行到顶点B的最短距离为（3+3）cm故答案为：（3+3）点评：考查了平面展开最短路径问题，本题就是把图的几何体表面展开成平面图形，根据等腰直角三角形的性质和等边三角形的性质解决问题3. （2014山东潍坊，第18题3分）我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上'高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处则问题中葛藤的最短长度是_尺考点：平面展开最短路径问题；勾股定理的应用分析：这种立体图形求最短路径问题，可以展开成为平面内的问题解决，展开后可转化下图，所以是个直角三角形求斜边的问题，根据勾股定理可求出解答：解：如图，一条直角边（即木棍的高）长20尺，另一条直角边长5×3=15（尺），因此葛藤长=25（尺）故答案为：25点评：本题考查了平面展开最短路径问题，关键是把立体图形展成平面图形，本题是展成平面图形后为直角三角形按照勾股定理可求出解5. （2014江西抚州，第14题，3分）如图，两块完全相同的含30°角的直角三角板ABC和重合在一起，将三角板绕其顶点按逆时针方向旋转角（0°< 90°），有以下四个结论：当=30°时，与的交点恰好为的中点；当=60°时，恰好经过点；在旋转过程中，存在某一时刻，使得；在旋转过程中，始终存在，其中结论正确的序号是 .(多填或填错得0分，少填酌情给分）解析：如图1，=30°，ACA=A=30°,BCA=B=60°，DC=DA,DC=DB,DA=DB,如图2，当=60°时，取AB的中点E,连接CE,则BCE=BCB=60°,又CB=CB,E、B重合，A、B如图3，连接AA,BB,则CAACBB,AA=BB.错误如图4，ABD=CBB60°,BAD=180°(CAA+30°),ABDBAD=90°CBBCAA CBB=CAA , ABDBAD=90°,即D=90°,AABB.正确，正确.7. (2014年山东东营,第14题3分)如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，问小鸟至少飞行10米考点：勾股定理的应用菁优网分析：根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出解答：解：如图，设大树高为AB=12m，小树高为CD=6m，过C点作CEAB于E，则四边形EBDC是矩形，连接AC，EB=6m，EC=8m，AE=ABEB=126=6（m），在RtAEC中，AC=10（m）故小鸟至少飞行10m故答案为：108（2014四川宜宾，第14题，3分）如图，在RtABC中，B=90°，AB=3，BC=4，将ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B重合，AE为折痕，则EB= 1.5 考点：翻折变换（折叠问题）分析：首先根据折叠可得BE=EB，AB=AB=3，然后设BE=EB=x，则EC=4x，在RtABC中，由勾股定理求得AC的值，再在RtBEC中，由勾股定理可得方程x2+22=（4x）2，再解方程即可算出答案解答：解：根据折叠可得BE=EB，AB=AB=3设BE=EB=x，则EC=4x，B=90°，AB=3，BC=4，在RtABC中，由勾股定理得，BC=53=2，在RtBEC中，由勾股定理得，x2+22=（4x）2，解得x故答案为：点评：此题主要考查了翻折变换，关键是分析清楚折叠以后哪些线段是相等的9.（2014四川凉山州，第16题，4分）已知一个直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为 5或 考点：勾股定理专题：分类讨论分析：已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：3是直角边，4是斜边；3、4均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况下，第三边的长解答：解：长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：第三边的长为：=；长为3、4的边都是直角边时：第三边的长为：=5；故第三边的长为：5或点评：此题主要考查的是勾股定理的应用，要注意的是由于已知的两边是直角边还是斜边并不明确，所以一定要分类讨论，以免漏解10（2014四川凉山州，第26题，5分）如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有乙滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外币A处到达内壁B处的最短距离为 20 cm考点：平面展开最短路径问题分析：将杯子侧面展开，建立A关于EF的对称点A，根据两点之间线段最短可知AB的长度即为所求解答：解：如图：将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A，连接AB，则AB即为最短距离，AB=20（cm）故答案为：20点评：本题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键同时也考查了同学们的创造性思维能力11. （ 2014福建泉州，第14题4分）如图，RtABC中，ACB=90°，D为斜边AB的中点，AB=10cm，则CD的长为5cm考点：直角三角形斜边上的中线分析：根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD=AB解答：解：ACB=90°，D为斜边AB的中点，CD=AB=×10=5cm故答案为：5点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，熟记性质是解题的关键13（2014新疆，第14题5分）如图，RtABC中，ABC=90°，DE垂直平分AC，垂足为O，ADBC，且AB=3，BC=4，则AD的长为 考点：勾股定理；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质分析：先根据勾股定理求出AC的长，再根据DE垂直平分AC得出OA的长，根据相似三角形的判定定理得出AODCBA，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论解答：解：RtABC中，ABC=90°，AB=3，BC=4，AC=5，DE垂直平分AC，垂足为O，OA=AC=，AOD=B=90°，ADBC，A=C，AODCBA，=，即=，解得AD=故答案为：19(2014黑龙江牡丹江, 第16题3分)如图，在等腰ABC中，AB=AC，BC边上的高AD=6cm，腰AB上的高CE=8cm，则ABC的周长等于12 cm第1题图考点：勾股定理；三角形的面积；等腰三角形的性质版权所有分析：根据三角形的面积求得=，根据勾股定理求得AB2=BC2+36，依据这两个式子求出AB、BC的值，即可求得周长解答：解：AD是BC边上的高，CE是AB边上的高，ABCE=BCAD，AD=6，CE=8，=，=，AB=AC，ADBC，BD=DC=BC，AB2BD2=AD2，AB2=BC2+36，=，整理得；BC2=，解得：BC=，AB=×BC=×=，ABC=2AB+BC=2×+=12故答案为12三、解答题1. （2014上海，第22题10分）如图，已知RtABC中，ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AECD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH（1）求sinB的值；（2）如果CD=，求BE的值考点：解直角三角形；直角三角形斜边上的中线分析：（1）根据ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，可得出CD=BD，则B=BCD，再由AECD，可证明B=CAH，由AH=2CH，可得出CH：AC=1：，即可得出sinB的值；（2）根据sinB的值，可得出AC：AB=1：，再由AB=2，得AC=2，则CE=1，从而得出BE解答：解：（1）ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，CD=BD，B=BCD，AECD，CAH+ACH=90°，B=CAH，AH=2CH，由勾股定理得AC=CH，CH：AC=1：，sinB；（2）sinB，AC：AB=1：，CD=，AB=2，由勾股定理得AC=2，则CE=1，在RtABC中，AC2+BC2=AB2，BC=4，BE=BCCE=3点评：本题考查了解直角三角形，以及直角三角形斜边上的中线，注意性质的应用，难度不大2. （2014山东济南，第27题，9分）如图1，有一组平行线，正方形的四个顶点分别在上，过点且垂直于于点，分别交于点，（1），正方形的边长；（2）如图2，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角为，点在直线上，以为边在的左侧作菱形，使点分别在直线上写出与的函数关系并给出证明；若，求菱形的边长【解析】（1）在中，AD=DC,又有和互余，和互余，故和相等，知, 又，所以正方形的边长为 （2）过点作垂直于于点M，在中, ,故，所以互余，与之和为，故=.过E点作ON垂直于分别交于点O，N，若,，,故, , ，由勾股定理可知菱形边长为.3.（( 2014年河南)分）（1）问题发现如图1，ACB和DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE填空：（1）AEB的度数为 60 ； （2）线段AD、BE之间的数量关系是 AD=BE 。解:（1）60；AD=BE. 2分 提示：（1）可证CDACEB,CEB=CDA=1200，又CED=600， AEB=1200600=600. 可证CDACEB, AD=BE（2）拓展探究如图2，ACB和DCE均为等边三角形，ACB=DCE=900, 点A、D、E在同一直线上，CM为DCE中DE边上的高，连接BE。请判断AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由。解：（2）AEB900；AE=2CM+BE. 4分 （注：若未给出本判断结果，但后续理由说明完全正确，不扣分）理由：ACB和DCE均为等腰直角三角形，ACB =DCE= 900, AC=BC, CD=CE, ACB=DCB=DCEDCB, 即ACD= BCEACDBCE. 6分AD = BE, BEC=ADC=1350. AEB=BECCED=1350450=9007分 在等腰直角三角形DCE中，CM为斜边DE上的高， CM= DM= ME,DE=2CM.AE=DE+AD=2CM+BE8分（3）解决问题如图3，在正方形ABCD中，CD=。若点P满足PD=1,且BPD=900，请直接写出点A到BP的距离。(3)或10分 【提示】PD =1，BPD=900, BP是以点D为圆心、以1为半径的OD的切线，点P为切点 第一种情况：如图，过点A作AP的垂线，交BP于点P/， 可证APDAP/B,PD=P/B=1, CD=,BD=2,BP=,AM=PP/=(PBBP/)= 第二种情况如图，可得AMPP/=(PB+BP/)=5. （2014株洲，第22题，8分）如图，在RtABC中，C=90°，A的平分线交BC于点E，EFAB于点F，点F恰好是AB的一个三等分点（AFBF）（1）求证：ACEAFE；（2）求tanCAE的值考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义分析：（1）根据角的平分线的性质可求得CE=EF，然后根据直角三角形的判定定理求得三角形全等（2）由ACEAFE，得出AC=AF，CE=EF，设BF=m，则AC=2m，AF=2m，AB=3m，根据勾股定理可求得，tanB=，CE=EF=，在RTACE中，tanCAE=；解答：（1）证明：AE是BAC的平分线，ECAC，EFAF，CE=EF，在RtACE与RtAFE中，RtACERtAFE（HL）；（2）解：由（1）可知ACEAFE，AC=AF，CE=EF，设BF=m，则AC=2m，AF=2m，AB=3m，BC=m，在RTABC中，tanB=，在RTEFB中，EF=BFtanB=，CE=EF=，在RTACE中，tanCAE=；tanCAE=点评：本题考查了直角三角形的判定、性质和利用三角函数解直角三角形，根据已知条件表示出线段的值是解本题的关键7. （2014泰州，第23题，10分）如图，BD是ABC的角平分线，点E，F分别在BC、AB上，且DEAB，EFAC（1）求证：BE=AF；（2）若ABC=60°，BD=6，求四边形ADEF的面积（第7题图）考点：平行四边形的判定与性质；角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形分析：（1）由DEAB，EFAC，可证得四边形ADEF是平行四边形，ABD=BDE，又由BD是ABC的角平分线，易得BDE是等腰三角形，即可证得结论；（2）首先过点D作DGAB于点G，过点E作EHBD于点H，易求得DG与DE的长，继而求得答案解答：（1）证明：DEAB，EFAC，四边形ADEF是平行四边形，ABD=BDE，AF=DE，BD是ABC的角平分线，ABD=DBE，DBE=BDE，BE=DE，BE=AF；（2）解：过点D作DGAB于点G，过点E作EHBD于点H，ABC=60°，BD是ABC的平分线，ABD=EBD=30°，DG=BD=×6=3，BE=DE，BH=DH=BD=3，BE=2，DE=BE=2，四边形ADEF的面积为：DEDG=6点评：此题