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-大学物理课后习题答案-第 12 页P.30 11 一质点在平面上运动，运动方程为（1）以时间为变量，写出质点位置矢量的表示式；（2）计算第1秒内质点的位移；（3）计算 时刻到 时刻内的平均速度；（4）求出质点速度矢量表示式，计算 时质点的速度；（5）计算 到 内质点的平均加速度；（6）求出质点加速度矢量的表示式，计算 是质点的加速度。（位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式） 解：(1) 质点t时刻位矢为：(m)(2) 第一秒内位移 (3) 前4秒内平均速度 (4) 速度(5) 前4秒平均加速度(6) 加速度P.31 12 质点沿直线运动，速度，如果当时t=2 s时，x=4 m,求：t=3 s时质点的位置、速度和加速度。 解：当t=2时x=4代入求证 c=12即将t=3s代入证P31 19 一个半径R=1.0 m的圆盘，可依绕一个水平轴自由转动，一根轻绳子饶在盘子的边缘，其自由端拴一物体。在重力作用下，物体A从静止开始均匀加速的下滑，在t=2.0 s内下降的距离h=0.4 m。求物体开始下降后3s 末，轮边缘上任一点的切向加速度与法向加速度。 解：物体A下降的加速度(如图所示)为习题1-9图 习题1-10图 此加速度也等于轮缘上一点在时的切向加速度，即 在时的法向加速度为P. 32 110 一电梯以的加速度下降，其中以乘客在电梯开始下降后时用手在离电梯底板高处释放以小球，求此小球落到底板上所需的时间和它对地面下降的距离。 ,.如图所示，相对南面，小球开始下落时，它和电梯的速度为以t表示此后小球落至底板所需时间，则在这段时间内，小球下落的距离为电梯下降的距离为又由此得而小球相对地面下落的距离为P.32 112 一架飞机从A地向北飞到B处，然后又向南飞回到A处，已知飞机相对空气的速率为，空气相对于地面的速度为，AB间的距离为,飞机相对空气速度保持不变，求：习题1-12图（1）如果空气静止，飞机飞来回飞行的时间；（2）如果空气的速度方向由南向北，飞机来回飞行的时间；（3）如果空气的速度方向是由东向南，试证飞机来回飞行的时间。 解：(1) (2) (3) ,如图所示风速u由东向西，由速度合成可得飞机对地速度,则. 证毕P51 例 28 平静的河面上，以平底小船长为= 11m, 质量M=500kg，以 =2 m匀速率直线航行，船内一人逆航行方向从船头经 t=4 s 到达船尾，人的质量 m = 50 kg，忽略水对船的阻力。 求： （1）若人以任意速率相对船运动，他到达船尾时船的航行速率 ；（2）在t 时间内船的航行路程 s ；（3）如果人以变速率跑动，仍是在 t = 4 s 内到达船尾，上诉计算结果又如何？ 解：（1）以船和人为研究系统，去地面为参考系， x 正方向为航行方向，如图所示。由于水平方向系统不受外力，故沿航行方向系统动量守恒。人静止站立在船头时系统的动量为，设人以匀速率相对行走，由题意知，当人到达船尾时系统的动量为，由动量守恒定律可得解得 （2）由于人逆航行方向行走时，船以匀速率前进，故船在t时间内的航行路程为（3）当人在船上以变速率逆航行方向行走，经t时间到达船尾时，由前面的解得到此时船速为 该式中为人相对于船的速率，故船速为变速，视瞬时速率而定。在t时间内船相对地面航行的路程为P.75 212 均匀柔软链条，质量为，长为，一部分放在桌面上，一部分（长为）从桌面边缘下垂，链条与桌面间的摩擦系数为，问：（1）下垂长度多大时，链条才能下滑；（2）当链条以（1）所求得的下垂长度从静止开始下滑，在链条末端离开桌面时，它的速率是多大？习题2-12图 解：（1）设链条的质量线密度为，链条开始下滑时，其下垂直度为，应满足的条件是其下垂部分的重力等于或大于其在桌面部分的摩擦力，即：（2）据功能原理开始下滑时在桌面部分的长度为当链条的A端从O点沿y轴运动到y0点过程中，摩擦力作功为设桌面为势能零点，则链开始下滑到A端离桌面时的机机械能分别为于是有化简可得P.77 223 一质量为的小球A，从半径圆形轨道自由落下，抵达轨道最低点时离河面距离,在该点原先已放置一小球B，其质量。它被A球碰入河中，设碰撞是弹性的，如图所示。B球落入河中后，未到河底忽又上浮，求B球浮出水面时距离河岸的水平距离（水的阻力和B球落水时的能量损失均忽略不计）。 解：设.如图所示，写出各个过程的相应方程习题2-23图 ：机械能守恒 (1)B点碰撞：动量、机械能守恒：平抛运动m2在C点时:：以上述速度作斜抛运动，但其加速度由下式确定由(8)、（9）、（10）可确定射程CD为联立（1）至（11）式可解证P77 229 一质量为m的弹丸穿过垂直悬挂的单摆摆锤后，速率由减小到/2，若摆的质量为M，摆线长为，欲使摆锤能在铅直平面内完成以圆周运动，求弹丸的最小速度。 解：子弹与摆锤碰撞，水平方向动量守恒 (1)v1为摆锤碰撞后之速度，摆锤获此速度后作圆周运动，在铅直面内机械能守恒 (2)欲完成一圆周运动，摆锤在最高点必须满足条件 (3) 由（3）式得代入（2）式得，再代入（1）式可得子弹的最小速度P77 230 以质量为的物体放在光滑水平面上，并有以水平轻弹簧相连，如图所示，弹簧的劲度系数。今有一质量为飞来，与物体M相撞后以的速度弹回。问：（1）M起动后弹簧能被压缩多少？ （2）小球m与物体M碰撞过程中系统机械能改变了多少？ （3）如果小球上涂有粘性物质，相碰后粘在一起，则（1），（2）两问结果又如何？ 解：小球与弹簧振动系统相互碰撞，水平方向动量守恒 (1)V为弹簧系统的启动速度，它在被压缩过程中机械能守恒，设最大压缩长度为，则有 (2)将（1）、（2）两式联立求解得（2）碰撞是非弹性的，其机械能损失为(3) 小球与M完全非弹性碰撞，碰撞后弹簧被压缩，据此可列式解得机械能损失 P88 例35 一根长为，质量为的均匀细棒，可绕其一端固定的水平光滑轴竖直平面内转动。开始棒静止在水平位置。可求它由此下摆角时的角加速度和角速度。 解：棒的下摆是由于重力对转动轴的力矩作用而作加速转动。因为重力臂是变量，故重力矩为变力矩。在棒上任取一质元，在棒下摆任意角度时，该质元的重力对轴的元力矩是 整个细棒对轴的力矩为 可见，在计算重力矩时，我们可依认为整个棒的质量全部集中在棒的质心处。由转动定律，可得棒的角加速度为 棒的角加速度也可由转动定律得 将代入，分离变量可得 化简后两边积分 得 P92 例37 如图所示，一根质量为m，长为的匀质长棒可在竖直平面内绕其支撑点O转动，开始棒处在水平位置由静止释放，求（1）细棒释放时的角加速度；（2）棒落到竖直位置时的角速度。 解：（1）据题设，棒的重心C离支点距离。故重力对O轴的力矩为棒对轴的转动惯量为 因此 （2）棒下落过程中，只有重力做功，故棒与地球系统机械能守恒，选择水平位置为势能零点，则将代入，化简后，可得棒到达位置时的角速度为 P.111 37 如图所示，两个圆轮的半径分别为，质量分别为。二者都可视为均匀圆柱体而且同轴固结在一起，可绕水平中心轴自由转动。今在两轮上各绕以细绳，绳端分别挂上质量为的两个物体。在重力作用下，下落时轮的角加速度。 解：如图所示，由牛顿第二定律习题3-7图对 对对整个轮，由转动定律又由运动学关系 联立解以上诸式，即可得P.112 318 一质量为m的小球系于轻绳一端，放置在光滑的水平面上，绳子穿过平面中一小孔，开始时小球以速率作圆周运动，圆的半径为，然后向下慢慢地拉绳子使其半径变为，求：（1）此时小球的角速度；（2）在拉下的过程中拉力所做的功。解：（1）由于外力沿转动中心O，故外力矩恒为零，质点的角动量守恒，即故小球作半径r2的圆周运动的角速度为 （2）拉力F做功为 P.113 319 如图所示，刚体由长为，质量为m的匀质细杆和一质量为m的小球牢固连结在杆的一端而成，可绕过杆的另一端O点的水平轴转动。先将杆拉至水平然后让其自由转下，若轴处摩擦可以忽略。求：（1）刚体绕O轴转动惯量；（2）当杆与竖直线成角时，刚体的角速度。 解：（1） （2）在转动过程中无耗散力，系统机械能守恒，设初始时刻重力势能为零，有解得： P161 例57 求均匀带点球体的场强分布，已知球体半径为R，所带电量为q（如图所示）。 解：由于电荷球形均匀分布，其电场线必由球心向外辐射，故以O为球心的各同心球面上场强量值相等，方向垂直球面向外，因此所有同心球面均可取作高斯面，电场强度处处与球面垂直且有相同的量值。假定球内点处场强大小为，通过点作半径为的球面，则通过球面的电通量为。球体内的电荷体密度，球面所包围的电荷为，所以，按照高斯定理有可见，均匀带点球体内任意一点的场强成正比。再来确定球外一点处的情况。通过点作半径为的同心球面为高斯面，同理，设高斯面上电场强度的量值为，则通过球面的电通量为，由于球面包围了所有的电荷q，根据高斯定理得 可见，均匀带点球体外任一点的场强成反比，即等价与球体上的电荷全部集中于球心处锁产生的场强。上述计算表明，均匀带点球体在空间的场强分布为P.170 例513 半径分别为的两个同心均匀带电球面A和B，内球面A带电量，外球面B带电量。试求：（1）电势分布；（2）A，B两球面的电势差。 解：（1）根据高斯定理，可求得场强的分布为在区间 在区间 在区间 （2）根据电势差定义式，可求得A，B两球面的电势差为P200 514 半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为，若在球内挖出一块半径为的小球体，如图所示。求两球心处的电场强度，并证明小球空腔内的电场为匀强电场。 解：设想原来不带电的小空腔内同时存在电荷体密度为的两种电荷，则原带电荷等价于一个半径为R，电荷体密度为的均匀带电球体和一个半径为r，电荷体密度为的均匀带电球体的组合，空间各处的场强等于这两个均匀带电球体产生场强的矢量和。对于球心O处，由于均匀带电球体球心处的场强为零，所以习题5-14图方向由O指向。 对于球心处，方向由O指向。 对于空腔内的任一点P，位置如图所示。以上计算表明空腔任意点的场强大小均为且方向均由O指向，所以，空腔内为匀强电场。P201 518 在A、B两点处有电量分别为的点电荷，AB间距离为2R，现将另一正实验点电荷从点经半圆弧路径移到C点，求移动过程中电场力所做的功。 解：电场力的功P201 524 半径为，球外有一个内、外半径分别为的同心导体球壳，壳上带有电量为。试求：（1）两球的电势； （2）若用导线把两球连接起来时两球的电势；（3）若外球接地时，两球的电势各为多少？ 解：（1）内球电荷q均匀分布在外表面，外球内表面均匀感应电荷-q，外表面均匀分布电荷q+Q，由高斯定理可求得电场分布（略）由电势定义可求得内球电势 （2）用导线把两球连接起来时，内球和外球内表面电荷中和，这时只有外球的外表面带有q+Q电荷，外球壳外场强不变，外球电势不变，这时两球是等势体，其电势均为原外球壳电势270V。 （3）若外球壳接地，外球电势为零，外球外表面电荷为零，内球的电荷以及外球内表面电荷分布不变，所以内球的电势P.213 例 62 相距的两根平行长直导线1，2放在真空中，每根导线载有电流，如图a所示，求： （1）两导线所在平面内与该两导线等距的点A处的磁感应强度； （2）通过图中阴影部分面积的磁通量（）。 解：（1）载有导线1，2在A点处产生的磁感应强度方向均垂直于纸面向外。的大小可按无限长直线电流的公式计算。由于，且A点与两导线等距，得所以A点的总磁感应强度 方向垂直纸面向外。（2）计算通过图中阴影部分面积的磁通量，可将该面积分割为许多面积元，如图b所示,面积元与导线1相距，与导线2相距，该处磁感应强度B垂直纸面向外，大小为所以通过的磁通量为 积分可得通过的磁通量 由于，且，所以代入数据后求得 P.232 例 67 一“无限长”直线电流旁，有一长为，载流为的直导线与电流共面正交，端与垂距为，求导线上的安培力。 解：电流受电流的磁力作用，由于电流产生非均匀磁场分布，因此要按非均匀磁场计算安培力。如图a所示，在上任取一电流元，它距电流为，电流在此处产生的磁感应强度方向垂直纸面向里，大小为，电流元受到的安培力垂直向上，大小为 由于各电流元所受的安培力方向相同，所以所受的安培力为因为a端处磁场比b端处磁场强，故a端附近的电流受到的安培力也较大，安培力分布如图b所示。P.252 63 如图所示被折成钝角的长直载流导线中，通有电流，求A点的磁感应强度。 解：解法（一）由直电流磁场公式习题6-3图-3图可得A点的磁感（见图示）的方向由右手定则知为垂直纸面向外。习题6.3图（2） 解法（二） P点的磁感应强度大小为 b为场点P到载流直导线的垂直距离。第1段载流直导线在A点产生的。第2段载流直导线在A点产生的B2。则习题6.3图（3） P.252 64 一根无限长直导线弯成如图所示形状，通以电流，求O点的磁感应强度解： 方向垂直纸面向外。P.253 613两平行长直导线，相距，每根导线载有电流，如图所示，试计算通过图中斜线部分面积的磁通量。 解：如图示，取坐标轴ox,在x处取一面元，直电流I1产生的磁场穿过dS面的元磁通量为习题6-13图穿过该矩形面积的磁通量为由于，且矩形处于二电流的中心对称位置，故穿过此矩形面积的磁通量为P259 例 71 一无限长直导线载有交变电流，旁边有一个和它共面的矩形线圈，如图所示，求线圈中的感应电动势。 解：先求出长直导线的磁场穿过矩形线圈的磁通量，取顺时针为回路正方向（线圈法线方向垂直纸面向里），则 根据法拉第电磁感应定律 讨论：当的方向与回路正方向相反，即逆时针方向；同理，当的方向与回路正方向相同，即顺时针方向。P262 例 73 如图所示，长度为的铜棒在磁感应强度为B的均匀磁场中，以角速度绕O轴沿逆时针方向转动。求：（1）棒中感应电动势的大小和方向；（2）如果将铜棒换成半径为的金属圆盘，求盘心与边缘间的电势差。 解：（1）在铜棒上取一线段元,其速度大小，由于相互垂直，故上的动生电动势为 由于各线段元上的方向相同，所以整个铜棒上的电动势为的方向由A指向O，故O端电势高。（2）将铜棒换成金属圆盘，可将圆盘看作是由无数根并联的金属棒OA组合而成，故盘心O与边缘A之间的动生电动势仍为 P262 例 74 如图所示，长直导线中通有电流，长为的金属棒，以平行于直导线作匀速运动，棒与电流垂直，它的端距离导线为，求金属棒中的动生电动势。 解：由于金属棒处于非均匀磁场中，取长度元的感应电动势为所有线段元上的方向相同，所以金属棒中的电动势为负号表示的方向与轴的正方向相反，即端电势高，当然，根据的方向，也可判断端电势高。习题7-1图P.286 71 一导线弯成如图所示形状，且，若使导线在磁感应强度的均匀磁场中，以速度向右运动。问间电势差多大？哪一端电势高？ 解：ac间电势差等于其电动势 P.287 77 如图所示，长直导线通以电流，在其右方放一长方形线圈，两者共面，线圈长，宽，共1000匝，令线圈以速度垂直于直导线运动，求时，线圈中的感应电动势的大小和方向。 解：解法（一）设t时刻时，AD边离电流I的距离为y，y是时间的函数。在矩形线圈内取面元，电流I产生的磁场穿过dS的磁通量习题7-7图则 当时其绕行方向为顺时针方向。解法（二），线圈4个边中仅有平行电流I的两个边切割磁力线而产生电动势，在t时刻近电流I的一边产生电动势 的方向向上。同理，t时刻远电流边产生的电动势为 方向向上。故线圈中的电动势为 结论同解法（一）。