离散数学习题与解答(60页).doc

-离散数学习题与解答-第 59 页作业题与解答第一章19(2)、(4) 、(6)21(1)、(2) 、(3)19、(2)解答:(pp)q 真值表如下:pqpqpp(pp)q00111101101010010111000119、(4)所以公式(pq)q 为可满足式解答:(pq)(qp) 真值表如下:pqpqpqqp(pq)(qp)0011111011011110010011100111所以公式(pq)(qp)为永真式19、(6)解答:(pq)(qr)(pr) 真值表如下:pqrpqqrpr(pq)(qr)(pq)(qr)(pr)0001111100111111010101010111111110001001101011011101000111111111所以公式(pq)(qr)(pr)为永真式21、(1)解答:(pq)r 真值表如下:pqrprpq(pq)(pq)r0001101100110011010111010111010010001011101000111100101111100011所以成假赋值为:01121、(2)解答:(qr)(pq)真值表如下:pqrqqrpq(qr)(pq)00011110011111010001001101111001100101110011000101110111所以成假赋值为:010,100,101,11021、(3)解答:(pq)(pr)p)真值表如下:pqrpqpr(pr)(pr)p(pq)(pr)p)0001011100110111010101110111011110000110101010101101011111111011所以成假赋值为:100,101第二章5、(1) (2) (3)6、(1) (2) (3)7、(1) (2)8、(1) (2) (3)5、求下列公式的主析取范式,并求成真赋值(1)(pq)(qp)Û(pq) (qp)Û(p) q) (qp)Û(p q) (qp)Û(p q) (p q)(p q)Ûm0 m 2m3，所以 00，10，11 为成真赋值。(2)(pq)(qr)Û(pq)(qr)Û(pq)(qr)Û(pqr)(qr)Û(pqr)(pqr)(pqr)Û(pqr)(pqr)Ûm3m 7，所以 011，111 为成真赋值。(3)(p(qr)(pqr)Û(p(qr)(pqr)Û(p (qr)(pqr)Û(pq)(pr)(pqr)Û(pq)(pr)(pqr)Û(pq)(ppqr)(rpqr) )Û(pq)(11)Û(pq)1Û1Ûm0m1m 2 m3m4m5m 6 m 7，所以 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 为成真赋值。7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式(1)(pq)rÛ( pqr)( pqr)(pr)(pr)Û( pqr)( pqr)(prq)(prq)(prq)(prq)Û( pqr)( pqr)(pqr)(pqr)(pqr)Ûm1m3m5m6m7 由主析取范式和主合取范式之间的关系，所以公式的主合 取范式为：(pq)r ÛM0M2M4(2) (pq)(qr)Û(pq)(qr)Û(p(qr)(q(qr)Û(pq)(pr)(qq)(qr)Û(pq)(pr)(qr)Û(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)Û(pqr)(pqr)(pqr)(pqr)Ûm0m1m3m7由主析取范式和主合取范式之间的关系，所以公式的主合取范式为：(pq)(qr) ÛM2M4M5M68、求下列公式的主合取范式，再用主合取范式求主析取范式 (1) (pq)qÛ(pq )qÛ(pq )qÛp(qq)Ûp1Û1 该公式无主合取范式，所以公式的 主析取范式为：(pq)q Ûm0m1m2m3 (2) (p«q)rÛ(pq)(pq)rÛ(pq)(pq)rÛ(p(pq) (q(pq)rÛ(pp)(pq)(qp)(qq)rÛ(pq)(qp)rÛ(pqr)(pqr)ÛM0M6 由主合取范式和主析取范式之间的关系，所以公式的主析 取范式为：(p«q)r Ûm1m2m3m4m5m7(3) (rp)pqÛ(rp)pqÛ(rp)pqÛr(pp)qÛr0qÛ0ÛM0M1M2M3M4M5M6M7该公式无主析取范式第三章14(2)、(4)、(5)15(1)、(2)16(1)14、在自然推理系统 P 中构造下面推理的证明 (2) 前提：pq, (qr), r结论：p证明：(qr)前提引入qr置换r前提引入q析取三段论pq前提引入p拒取式（4）前提：qp, qs, st, tr结论：pq证明：st前提引入(st)(ts)置换ts化简tr前提引入t化简s假言推理qs前提引入(sq)(qs)置换sq化简q假言推理 qp前提引入 p 假言推理 pq 合取（5）前提：pr, qs, pq结论：rs证明:pq前提引入p化简q化简pr前提引入r假言推理qs前提引入s假言推理rs合取15、在自然推理系统 P 中用附加前提法证明下面各推理： (1) 前提：p(qr), sp, q结论：sr证明：s附加前提引入sp前提引入p假言推理p(qr) 前提引入qr假言推理q前提引入r假言推理 (2) 前提：(pq)(rs), (st)u结论：pu证明：p附加前提引入pq附加(pq)(rs)前提引入rs假言推理s化简st附加(st)u前提引入 u假言推理16、在自然推理系统 P 中用归谬法证明下面推理： (1) 前提：pq, rq, rs结论：p证明:p结论否定引入pq前提引入q假言推理rq前提引入r析取三段论rs前提引入r化简rr合取(矛盾)为矛盾式，由归谬法可知，推理正确。 第四章5、(1) (2) (3) (4)10、(2) (4)11、(2) (6)5、在一阶逻辑中将下列命题符号化： (1) 火车都比轮船快。"x"y(F(x)G(y)H(x,y)，其中，F(x)：x 是火车，G(y)：y 是轮船，H(x,y):x 比 y 快。 (2) 有的火车比有的汽车快。$x$y(F(x)G(y)H(x,y)，其中，F(x): x 是火车，G(y)：y 是汽车，H(x,y):x 比 y 快。 (3) 不存在比所有火车都快的汽车。$x(F(x)"y(G(y)H(x,y)或"x(F(x)$y(G(y)H(x,y)，其中，F(x): x 是汽车，G(y)：y 是火车，H(x,y):x 比 y 快。 (4) 说凡是汽车就比火车慢是不对的。"x"y(F(x)G(y)H(x,y) 或$x$y(F(x)G(y)H(x,y) )，其中，F(x): x 是汽车，G(y)：y 是火车，H(x,y):x 比 y 慢。10、给定解释 I 如下：（a） 个体域 D=N（N 为自然数）。（b） D 中特定元素 =2。（c） D 上函数(x,y)=xy， (x,y)=x·y。 D 上谓词 (x,y)：x=y。(2) "x"y(F(f(x,a),y)F(f(y,a),x)"x"y(x+2=y)(y+2=x)，真值为 0。 (4) $xF(f(x,x),g(x,x)$x(x+x=x·x),真值为 1。11、判断下列各式的类型(2) "x(F(x)F(x) $y(G(y)G(y) 此谓词公式前件永为真，而后件永为假，即公式为(10),此公式为矛盾式，所以原谓词公式为矛盾式。(6) ("xF(x)$yG(y)$yG(y) 此谓词公式是命题公式(pq)q 的代换实例，而该命 题公式是矛盾式，所以此谓词公式是矛盾式。第五章15 (1)(2)(3)(4)20 (1) (2)23 (1) (2)15、在自然推理系统 F 中构造下面推理的证明：(1) 前提: $xF(x)"y(F(y)G(y)R(y), $xF(x) 结论：$xR(x)证明： $xF(x) "y(F(y)G(y) R(y) (前提引入) $xF(x)(前提引入) "y(F(y)G(y) R(y)(假言言推理) F(c)( EI 规则) F(c)G(c) R(c)( UI 规则 F(c)G(c)(附加律) R(c)(假言言推理) $xR(x)( EG 规则) (2) 前提："x(F(x)(G(a)R(x)，$xF(x)结论：$x(F(x)R(x)证明： $xF(x)前提引入 F(c)$- "x(F(x)(G(a)R(x)前提引入 F(c)(G(a)R(c)"- G(a)R(c)假言推理 R(c)化简 F(c)R(c)合取 $x(F(x)R(x)$+(3) 前提："x(F(x)G(x)，$xG(x) 结论：$xF(x)证明: $xG(x)前提引入"xG(x)置换G(c)"-"x(F(x)G(x)前提引入F(c)G(c)"-F(c)析取三段论$xF(x)"+(4) 前提: "x(F(x)G(y), "x(G(x)R(x), "xR(x) 结论：$xF(x)证明："xR(x)前提引入 R(c)"-"x(G(x)R(x)前提引入G(c)R(c)"-G(c)析取三段论"x(F(x)G(y)前提引入F(c)G(c)"-F(c) 析取三段论$xF(x)"+20、在自然推理系统 F 中，构造下面推理的证明： (可以使用附加前提证明法)(1) 前提："x(F(x)G(x) 结论："xF(x)"xG(x)证明： "xF(x)附加前提 F(y)"- "x(F(x)G(x)前提引入 F(y)G(y)"- G(y) 假言推理 "xG(x)"+ (2)前提："x(F(x)G(x)结论："xF(x)$xG(x)证明： "xF(x)附加前提 $xF(x) 等值演算 F(c)$- "x(F(x)G(x)前提引入 F(c)G(c)"- G(c) 析取三段论 $xG(x)$+23、在自然推理系统 F 中，证明下面推理： (1)每个有理数都是实数，有的有理数是整数，因此有的实数是整数。设 F(x):x 为有理数，R(x):x 为实数，G(x):x 是整数。 前提："x(F(x)R(x)，$x(F(x)G(x) 结论：$x(R(x)G(x)证明： $x(F(x)G(x)前提引入 F(c)G(c)$- F(c)化简 G(c)化简 "x(F(x)R(x)前提引入 F(c)R(c)"- R(c)假言推理 R(c)G(c)合取 $x(R(x)G(x)$+(2) 有理数、无理数都是实数，虚数不是实数，因此虚数既不是有 理数、也不是无理数。设：F(x):x 为有理数，G(x):x 为无理数，R(x)为实数， H(x)为虚数 前提："x(F(x)G(x)R(x), "x(H(x)R(x) 结论："x(H(x)(F(x)G(x)证明： "x(F(x)G(x)R(x)前提引入 F(y)G(y)R(y)"- "x(H(x)R(x)前提引入H(y)R(y)"-R(y)(F(y)G(y)H(y)(F(y)G(y) H(y)(F(y)G(y)"x(H(x)(F(x)G(x)置换假言三段论置换"+第六章31， 32、(1)(2)(3)， 41， 42，4531、设 A、B 为任意集合，证明：(A-B)(B-A)=(AB)-(AB) 证明：由于(A-B)(B-A)= (AB)(BA)=(AB)B)(AB)A)=(AB)(BB)(AA)(BA)=(AB)(BA)=(AB)(BA)=(AB)(AB)=(AB)-(AB) 所以原式成立。32、设 A、B、C 为任意集合，证明：（1）(A-B)-C=A-(BC)证明：由于 (A-B)-C = (AB)C= A(BC)= A(BC) = A (BC)所以原式成立。（2）(A-B)-C=(A-C)- (B-C)证明：由于 (A-C)- (B-C)= (AC)(BC)=(AC)(BC)= (AC)B)(AC)C)=(AC)B=(AB)C=(A-B)C=(A-B)-C所以原式成立。（3）(A-B)-C=(A-C)- B证明:由于(A-B)-C =(AB)C=(AC)B=(A-C)- B 所以原式成立。41、设 A、B、C 为任意集合，证明： ACÍBC A-CÍB-CÞ AÍB 证明："xA(1) 若 xC所以 xBC因此 xB (2) 若 xÏC则 xA-C ，而 A-CÍB-C 所以 xB-C因此 xB 综上所述，AÍB42、设 A、B、C 为任意集合，证明： AB=ACAB=ACÞ B=C 证明：(1)先证BÍC"xB 若 xA则 xAB，而 AB=AC 所以 xAC因此 xC 若 xÏA所以 xAC因此 xC 综上所述知 BÍC(2)再证 CÍB同理可证 所以 B=C45、设 A、B 为任意任意集合，证明：(1)P(A)P(B)=P(AB)(2)P(A)P(B)ÍP(AB)(3)针对(2)举一反例，说明 P(A)P(B)=P(AB)对某些集合A 和 B 是不成立的。证明：(1) 先证P(A)P(B)Í P(AB)"xP(A)P(B)则 xP(A) xP(B) 所以 xÍA xÍB所以 xÍ AB 所以 xP(AB)因此 P(A)P(B)Í P(AB)"xP(AB)则 xÍ AB所以 xÍA xÍB所以 xP(A) xP(B) 所以 xP(A)P(B)因此 P(AB)Í P(A)P(B) 综上所述 P(AB) = P(A)P(B)(2) "xP(A)P(B)则 xP(A) xP(B) 所以 xÍA xÍB 若 xÍA则 xÍ AB所以 xP(AB) 若 xÍB则 xÍ AB所以 xP(AB)(3) 举例：令 A=1,B=2则 AB=1，2则 P(A)=Æ，1，P(B)=Æ，2 而 P(AB)=Æ，1,2,1,2显然 P(A)P(B)= P(AB)不成立.第七章20、25、32、36、38、40、41、42、48、49、5020、设 R1 的 R2 为 A 上的关系，证明:(1) (R1 R2)=R1-1 R -1(2) (R1 R2)=R1 R2证明:(1) "<x,y>(R1 R2)Û<y,x>R1 R2Û<y,x>R1<y,x>R2Û<x,y>R1-1<x,y>R -1Û<x,y>R1 R2所以(R1 R2)=R1 R2(2) "<x,y>(R1 R2)Û<y,x>R1 R2Û<y,x>R1<y,x>R2Û<x,y>R1-1<x,y>R -1Û<x,y>R1 R2所以(R1 R2)=R1 R225 设 R 的关系图如图所示，试给出 r(R), s(R),t(R)的关系图abde cR 关系图解：abde cr(R)关系图abde cs(R)关系图abde ct(R)关系图32、对于给的 A 和 R，判断 R 是否为 A 上的等价关系。(1) A 为为实数集，"x,yA, xRyÛ x-y=2 . 解: R 不是 A 上的等价关系，因为 R 不自反.(2) A=1,2,3,"x,yA, xRyÛ x+y3解: R 不是 A 上的等价关系，因为 R 不传递.(3) A=Z+ ,即正整数集，"x,yA, xRyÛ xy 是奇数。 解: R 不是 A 上的等价关系，因为 R 不自反.(4) A=P(X), |X|2, "x,yA, xRyÛ xÍyyÍx解: R 不是 A 上的等价关系，因为 R 不传递. (5) A=P(X),CÍX, "x,yA, xRyÛ xyÍC解: R 是 A 上的等价关系.36、设 A=1，2，3，4，在 A×A 上定义二元关系 R"<u, v>, <x, y>A×A, <u, v>R<x, y>Ûu+y=x+v(1) 证明 R 是 A×A 上的等价关系。 (2) 确定由 R 引起的对 A×A 的划分。证明：(1) 先证 R 具有自反性"<x, y>A×A由于 x+y=x+y再根据 R 的定义知 <<x, y>,<x, y>>R 所以 R 具有自反性.再证 R 具有对称性"<u, v>, <x, y>A×A, 若<<u, v>,<x, y>>R 则由 R 的定义知：u+y=x+v所以 x+v = u+y再由 R 的定义知 <<x, y>,<u, v>>R 所以 R 具有对称性.再证 R 具有传递性"<u, v>, <x, y>,<s, t>A×A, 若<<u, v>,<x, y>>R 并且<<x, y>,<s, t>>R则由 R 的定义知：u+y=x+v 并且 x+t=s+y根据上述两式知: u+t= s+v再根据 R 的定义知 <<u, v>,<s, t>>R 所以 R 具有传递性。综上所述 R 为 A×A 上的等价关系。(2) A×A/R=<1,4>,<1,3>,<2,4>,<1,2>,<2,3>,<3,4>,<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<2,1>,<3,2>,<4,3>,<3,1>,<4,2>,<4,1>38、设 R 为 A 上的自反和传递的关系，证明 RR-1 是 A 上的等价关系。 证明： 先证 RR-1 具有自反性"xA由于 R 为 A 上的自反关系所以<x,x>R , 再由逆关系的定义知<x,x>R-1所以<x,x>RR-1因此 R 具有自反性。 再证 RR-1 具有对称性"<x,y>RR-1所以<x,y>R 并且<x,y>R-1 由逆关系的定义知<y,x>R-1 并且<y,x>R 所以<y,x>R-1R即<y,x>RR-1所以 R 具有对称性。 再证 R 具有有传递性"x, y, zA，并且<x, y>, <y, z>RR-1所以<x, y>R 并且<x, y>R-1并且<y, z>R 并且<y, z>R-1所以<x, y>R 并且<y, x>R 并且<y, z>R 并且<z, y>R由 R 的传递性知<x, z>R 并且<z, x>R 所以<x, z>R 并且<x, z>R-1所以<x, z>RR-1所以 RR-1 具有传递性。综上所述知 RR-1 为 A 上的等价关系。40、设 R 为 N×N 上的二元关系，"<a, b>, <c, d>N×N<a, b>R<c, d> Û b=d(1) 证明 R 为等价关系 (2) 求商集 N×N/R证明：(1) 先证 R 具有自反性"<a, b>N×N 因为 b=b由 R 的定义知 <a, b>R<a, b>所以 R 具有自反性。 再证 R 具有对称性"<a, b>, <c, d>N×N，若<a, b>R<c, d> 由 R 的定义知 b=d再由 R 的定义知<c, d>R<a, b> 所以 R 具有对称性。 再证 R 具有传递性"<a, b>, <c, d>，<e, f>N×N， 若<a, b>R<c, d>并且<c, d>R<e, f> 由 R 的定义知 b=d, d=f所以 b=f再由 R 的定义知<a, b>R<e, f> 所以 R 具有传递性综上所述知 R 为 N×N 上的等价关系。 (2) N×N/R= <0,0>,<1,0>,<2,0>,<3,0>,<0,1>,<1,1>,<2,1>,<3,1>,<0,2>,<1,2>,<2,2>,<3,2>,41、设 A=1，2，3，4，在 A×A 上定义二元关系 R"<a, b>, <c, d>A×A, <a, b>R<c, d>Ûa+b=c+d(1)证明 R 为等价关系。 (2)求 R 导出的划分。证明：(1) 先证 R 具有自反性"<a, b>A×A 由于 a+b=a+b再根据 R 的定义知 <<a, b>,<a, b>>R 所以 R 具有自反性.再证 R 具有对称性"<a, b>, <c, d>A×A, 若<<a, b>,<c, d>>R 则由 R 的定义知：a+b=c+d所以 c+d = a+b再由 R 的定义知 <<c, d>,<a, b>>R 所以 R 具有对称性."<a, b>, <c, d>,<e, f>A×A, 若<<a, b>,<c, d>>R并且<<c, d>,<e, f>>R则由 R 的定义知：a+b=c+d 并且 c+d=e+f根据上述两式知: a+b = e+f再根据 R 的定义知 <<a, b>,<e, f>>R 所以 R 具有传递性。综上所述 R 为 A×A 上的等价关系。(2) A×A/R=<1,1>,<2,1>,<1,2>,<3,1>,<2,2>,<1,3>,<4,1>,<3,2>,<2,3>,<1,4>,<4,2>,<3,3>,<2,4>,<4,3>,<3,4>,<4,4>42、设 R 是 A 上的自反和传递关系，如下定义 A 上的关系 T，使得"x, yA<x, y>T Û <x ,y>R <y, x>R 证明：T 是 A 上的等价关系。证明： 先证 T 具有自反性"xA由于 R 是 A 上自反关系即<x,x>R <x,x>R由 T 的定义知：<x,x>T 所以 T 具有自反性 再证 T 具有对称性"x,yA ,若<x,y>T由 T 的定义知：<x,y>R <y, x>R 即 <y, x>R <x,y>R再由 T 的定义知： <y, x>T 所以 T 具有对称性 再证 T 具有传递性"x, y，zA ,若<x,y>T <y, z>T 由 T 的定义知：<x ,y>R <y, x>R 并且<y ,z>R <z, y>R再由 R 具有传递性知: <x ,z>R <z, x>R 再根据 T 的定义知: <x ,z>T所以 T 具有传递性。综上所述知 T 为 A 上的等价关系。48、设<A，R>和<B，S>为偏序集，在集合 A×B 上定义关系 T 如下："<a1 , b1 >, < a2, b2>A×B,<a1 , b1 >T< a2, b2> Û a1Ra2 b1Sb2证明：T 为 A×B 上的偏序关系 证明： 先证 T 具有自反性"<a1 , b1 >A×B所以 a1 A 并且 b1 B由于 R 和 S 分别是 A 和 B 上的偏序关系, 所以 R 和 S 具有自反性所以 a1Ra1 b1Sb1由 T 的定义知: <a1 , b1 >T<a1 , b1 > 所以 T 具有自反性。 再证 T 具有反对称性"<a1 , b1 >, < a2, b2>A×B,若<a1 , b1 >T< a2, b2> 并且< a2, b2>T<a1 , b1 > 则由 T 的定义知: a1Ra2 b1Sb2 并且 a2Ra1 b2Sb1由于 R 和 S 是偏序关系，所以 R 和 S 反对称所以 a1 = a2 并且 b1 = b2 所以<a1 , b1 > = < a2, b2> 因此 T 具有反对称性。 再证 T 具有传递性"<a1 , b1 >, < a2, b2>，< a3, b3>A×B,若<a1 , b1 >T< a2, b2> 并且< a2, b2>T<a3 , b3 > 由 T 的定义知: a1Ra2 b1Sb2 并且 a2Ra3 b2Sb3 由于 R 和 S 是偏序关系,所以 R 和 S 具有传递性所以 a1Ra3 b1Sb3再由 T 的定义知: <a1 , b1 >T< a3, b3> 所以 T 具有传递性。综上所述 T 为 A 上的偏序关系。49、设<A, R>为偏序集，在 A 上定义新的关系 S 如下："x, yAxSy Û xRy称 S 为 R 的对偶关系 (1) 证明 S 也是 A 上的偏序关系。(2) 如果 R 是整数集合上的小于或等于关系，那么 S 是什么关系？如果 R 是正整数集合上的整除关系，那么 S 是什么关系?(3) 偏序集<A, R>和<A，S>中的极大元、极小元、最大元、最小元 等之间有什么关系？证明：(1) 先证 S 具有自反性"xA由于 R 具有自反性，所以 <x, x>R 由 S 的定义知：<x, x>S所以 S 具有自反性。 再证 S 具有反对称性"x，y A,若<x, y>S 并且<y, x>S 那么由 S 的定义知：<y, x>R 并且<x, y>R 由于 R 是偏序关系，所以 R 具有反对称性所以 x=y所以 S 具有反对称性。 再证 S 具有传递性"x，y，zA,若<x, y>S 并且<y, z>S 由 S 的定义知：<y, x>R 并且<z, y>R又因 R 为偏序关系，所以 R 具有传递性所以 <z, x>R再由 S 的定义知：<x, z>S 所以 S 具有传递性。综上所述 S 为 A 上的偏序关系。(2) 如果 R 是整数集合上的小于或等于关系，那么 S 是 A 上的大 于或等于关系。如果 R 是正整数集合上的整除关系，那么 S 是正整数集合上的倍数关系。(3) 偏序集<A, R>极大元是<A，S>中的极小元，偏序集<A, R> 极小元是<A，S>中的极大元、偏序集<A, R>最大元是<A，S> 中的最小元，偏序集<A, R>最小元是<A，S>中的最大元。第八章21、22、25、29、30、34、3521、设 f:NN×N, f(x)=<x,x+1>(1)说明 f 是否为单射和满射并说明理由；(2)f 的反函数是否存在，如果存在，求出 f 的反函数； (3)求 ranf解: (1)f 为单射，证明如下：" x1, x2N, 若 f(x1)=f(x2) 则 <x1, x1+1>=<x2, x2+1> 根据有序对相等的概念知：x1=x2所以 f 为单射，但 f 不是满射，因为<0,0> Ïranf(2) f 的反函数不存在 (3)ranf=<n,n+1>|nN 22、设 f:ZZ，f(x)=(x)mod n ,在 Z 上定义等价关系 R，" x, yZ<x,y>RÛf(x)=f(y) (1)计算 f(Z)；(2)确定商集 Z/R解: (1)f(Z)=0，1，.,n-1(2)Z/R=nk+i|kZ|i=0,1,.n-125、设 f:R×RR×R, f(<x,y>)=<(x+y)/2,(x-y)/2> 证明 f 是双射证明：（1）先证 f 是单射" <x,y>，<u,v>R×R , 若 f(<x,y>)= f(<u,v>)则 <(x+y)/2,(x-y)/2>=<(u+v)/2,(u-v)/2> 所以 (x+y)/2=(u+v)/2(x-y)/2=(u-v)/2 所以 x=u ,y=v所以<x,y>=