初中数学性质定理(5页).doc

-初中数学性质定理-第 5 页三角形相关定理、重心定理 三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍. 上述交点叫做三角形的重心. 。外心定理 三角形的三边的垂直平分线交于一点. 这点叫做三角形的外心. 垂心定理 三角形的三条高交于一点. 这点叫做三角形的垂心. 、内心定理 三角形的三内角平分线交于一点. 这点叫做三角形的内心. 、旁心定理三角形一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点. 这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心. 三角形的重心、外心、垂心、内心、旁心称为三角形的五心. 它们都是三角形的重要相关点. 、中位线定理 三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半. 、三边关系定理 三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边. 、三角形面积计算公式 S(面积)=a(边长)h(高)/2-三角形面积等于一边与这边上的高的积的一半、勾股定理 在Rt三角形ABC中，A90度，则 AB·AB+AC·AC=BC·BC A90度，则 AB·AB+AC·AC>BC·BC、梅涅劳斯定理 如果一条直线与ABC的三边AB、BC、CA或其延长线交于F、D、E点，那么(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1。直角三角形的所有性质性质1：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 性质2：在直角三角形中，两个锐角互余 性质3：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直角三角形的外 心位于斜边的中点，外接圆半径RC/2） 性质4：直角三角形的两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积，即ab=ch 性质5：直角三角形垂心位于直角顶点 性质6：直角三角形的内切圆半径等于两直角边之和减去斜边的差的一半，即ra+b-c/2 性质7：直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边上的射影比例中项 性质8：直角三角形中，每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的 比例中项由此，直角三角形两条直角边的平方比等于它们在斜边上的射影比 性质9：含30°的直角三角形三边之比为1：3：2 性质10：含45°角的直角三角形三边之比为1：1：2等腰三角形的性质1.等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高重合（简写成“等腰三角形的三线合一”）。3.等腰三角形的两底角的平分线相等（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等）。4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半。6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高（需用等面积法证明）。7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴，等边三角形有三条对称轴。等边三角形三条边都相等的三角形叫做等边三角形，又叫做正三角形，等边三角形是特殊的等腰三角形1.等边三角形的内角都相等，且均为60度。2.等边三角形每一条边上的中线、高线和每个角的角平分线互相重合。3.等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴，对称轴是每条边上的中线、高线或所对角的平分线所在直线。4.等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）等腰直角三角形有一个角是直角的等腰三角形，叫做等腰直角三角形。显然，它是一种特殊的三角形，具有所有等腰三角形的性质，同时又具有所有直角三角形的性质等腰直角三角形的边角之间的关系 ：1.等腰三角形的两个底角相等。 （简写成“等边对等角”） 2.等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（简写成“等腰三角形的三线合一”） 3.等腰三角形的两底角的平分线相等。（两条腰上的中线相等，两条腰上的高相等） 4.等腰三角形底边上的垂直平分线到两条腰的距离相等。 5.等腰三角形的一腰上的高与底边的夹角等于顶角的一半 6.等腰三角形底边上任意一点到两腰距离之和等于一腰上的高(需用等面积法证明) 7.等腰三角形是轴对称图形，只有一条对称轴，顶角平分线所在的直线是它的对称轴等腰直角三角形等腰直角三角形中的四条特殊的线段：角平分线，中线，高，中位线。三角形的角平分线的交点叫做三角形的内心，它是三角形内切圆的圆心，它到各边的距离相等。三角形的外接圆圆心，即外心，是三角形三边的垂直平分线的交点，它到三个顶点的距离相等。三角形的三条中线的交点叫三角形的重心，它到每个顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍。三角形的三条高或它们的延长线的交点叫做三角形的垂心。三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的二分之一。备注：三角形的内心、重心都在三角形的内部 .钝角三角形垂心、外心在三角形外部。直角三角形垂心、外心在三角形的边上（直角三角形的垂心为直角顶点，外心为斜边中点）。锐角三角形垂心、外心在三角形内部。平行四边形平行四边形的定义：在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 平行四边形的定义、性质： （1）平行四边形对边平行且相等。 （2）平行四边形两条对角线互相平分。（菱形和正方形） （3）平行四边形的对角相等，两邻角互补 （4）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。(推论） （5）平行四边形的面积等于底和高的积。（可视为矩形） （6）平行四边形是旋转对称图形，旋转中心是两条对角线的交点。 （7）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。 （8）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点。 （9）一般的平行四边形不是轴对称图形，菱形是轴对称图形。 （10）平行四边形ABCD中，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和（可用余弦定理证明）。 （11）平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等分。（1）平行四边形中，两条在不同对边上的高所组成的夹角，较小的角等于平行四边形中较小的角，较大的角等于平行四边形中较大的角。（1）平行四边形中,一个角的顶点向他对角的两边所做的高，与这个角的两边组成的夹角相等 判定： （1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （2）对角线互相平分的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （4）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （6）一组对边平行一组对角线互相平分的四边形是平行四边形； （7）一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形；特殊平行四边形 1、平行四边形+直角=矩形2、平行四边形+一组邻边相等=菱形3、平行四边形+直角+一组邻边相等=正方形矩形 1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形2.性质：（1）矩形的四个角都是直角（2）矩形的对角线相等（3）具备平行四边形的性质3.判定：（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形（定义）（2）对角线相等的平行四边形是矩形（3）三个角是直角的四边形是矩形（）四个内角都相等的四边形为矩形（）对角线互相平分且相等的四边形是矩形 （）对角线互相平分且有一个内角是直角的四边形是矩形菱形 1.定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2.性质：（1）菱形的四条边都相等（2）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（3）具备平行四边形的性质3.判定：（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形（定义）（2）对角线互相垂直的平行四边形是菱形（3）四边相等的四边形是菱形（4） 对角线互相垂直平分的四边形是菱形正方形 1.定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形2.性质：既具备矩形的性质，又具备菱形的性质3.判定：1：对角线相等的菱形是正方形。2：有一个角为直角的菱形是正方形。 3：对角线互相垂直的矩形是正方形。4：一组邻边相等的矩形是正方形。 5：一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形。 6：对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形。 7：对角线互相垂直,平分且相等的四边形是正方形。 8：一组邻边相等，有三个角是直角的四边形是正方形。 EMC+DMC=100°+50°=150°