直线的一般式方程(附答案)(13页).doc
-直线的一般式方程(附答案)-第 13 页直线的一般式方程学习目标x、y的二元一次方程AxByC0(A、B不同时为0)都表示直线，且直线方程都可以化为AxByC0的形式.3.会进行直线方程不同形式的转化.知识点直线的一般式方程1.在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程；任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.方程AxByC0(其中A、B不同时为0)叫做直线方程的一般式.AxByC0，当B0时，其斜率为，在y轴上的截距为；当B0时，在x轴上的截距为；当AB0时，在两轴上的截距分别为，.(1)方程是关于x，y的二元一次方程.(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列.(3)x的系数一般不为分数和负数.(4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程.思考(1)当A，B同时为零时，方程AxByC0表示什么？(2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化吗？答(1)当C0时，方程对任意的x，y都成立，故方程表示整个坐标平面；当C0时，方程无解，方程不表示任何图象.故方程AxByC0，不一定代表直线，只有当A，B不同时为零时，即A2B20时才代表直线.B0时，直线的斜率不存在，不能化成其他形式；当C0时，直线过原点，不能化为截距式.但其他四种形式都可以化为一般式.题型一直线的一般形式与其他形式的转化例1(1)下列直线中，斜率为，且不经过第一象限的是()x4y70 x3y70x3y420 x4y420(2)直线x5y90在x轴上的截距等于()A. B.5 C. D.3答案(1)B(2)D解析(1)将一般式化为斜截式，斜率为的有：B、C两项.又yx14过点(0,14)即直线过第一象限，所以只有B项正确.(2)令y0则x3.跟踪训练1一条直线经过点A(2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，求此直线方程.解设所求直线方程为1，点A(2,2)在直线上，1.又直线与坐标轴围成的三角形面积为1，|a|·|b|1.由可得或解得或第二个方程组无解.故所求直线方程为1或1，即x2y20或2xy20.题型二直线方程的应用例2已知直线l的方程为3x4y120，求满足下列条件的直线l的方程：(1)过点(1,3)，且与l平行；(2)过点(1,3)，且与l垂直.解方法一l的方程可化为yx3，l的斜率为.(1)l与l平行，l的斜率为.又l过点(1,3)，由点斜式知方程为y3(x1)，即3x4y90.(2)l与l垂直，l的斜率为，又l过点(1,3)，由点斜式可得方程为y3(x1)，即4x3y130.方法二(1)由l与l平行，可设l的方程为3x4ym0.将点(1,3)代入上式得m9.所求直线的方程为3x4y90.(2)由l与l垂直，可设l的方程为4x3yn0.将(1,3)代入上式得n13.所求直线的方程为4x3y130.跟踪训练2a为何值时，直线(a1)x2y40与xay10.(1)平行；(2)垂直.解当a0或1时，两直线既不平行，也不垂直；当a0且a1时，直线(a1)x2y40的斜率为k1，b12；直线xay10的斜率为k2，b2.(1)当两直线平行时，由k1k2，b1b2，得，a，解得a1或a2.所以当a1或2时，两直线平行.(2)当两直线垂直时，由k1·k21，即·1，解得a.所以当a时，两直线垂直.题型三由含参一般式方程求参数的值或取值范围例3(1)若方程(m25m6)x(m23m)y10表示一条直线，则实数m满足_.(2)当实数m为何值时，直线(2m2m3)x(m2m)y4m1.倾斜角为45°；在x轴上的截距为1.(1)答案m3解析若方程不能表示直线，则m25m60且m23m0.解方程组得m3，所以m3时，方程表示一条直线.(2)解因为已知直线的倾斜角为45°，所以此直线的斜率是1，所以1，所以解得所以m1.因为已知直线在x轴上的截距为1，令y0得x，所以1，所以解得所以m或m2.跟踪训练3已知直线l：5ax5ya30.(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；(2)为使直线l不经过第二象限，求a的取值范围.(1)证明直线方程变形为ya，它表示经过点A，斜率为a的直线.点A在第一象限，直线l必过第一象限.(2)解如图所示，直线OA的斜率k3.直线不过第二象限，直线的斜率a3.a的取值范围为3，).一般式求斜率考虑不全致误例4设直线l的方程为(m22m3)x(2m2m1)y(2m6)0，若此直线的斜率为1，试确定实数m的值.分析由直线方程的一般式，可转化为斜截式，利用斜率为1，建立方程求解，但要注意分母不为0.解由题意，得由，得m1或m.当m1时，式不成立，不符合题意，故应舍去；当m时，式成立，符合题意.故m.AxByC0表示直线，则A、B应满足的条件为()A.A0 B.B0 C.A·B0 D.A2B20ab<0，bc<0，则直线axbyc通过()A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限3.过点(1,0)且与直线x2y20平行的直线方程是()A.x2y10 B.x2y10xy20 D.x2y10x2y50与直线2xmy60互相垂直，则实数m等于()A.1 C. D.yax2和3x(a2)y10互相平行，则a_.一、选择题xy30的倾斜角的大小是()A.45° B.135° C.1 D.12.直线(2m25m2)x(m24)y5m0的倾斜角为45°，则m的值为()A.2 C.3 l的方程为AxByC0，若直线l过原点和二、四象限，则()A.C0，B>0 B.A>0，B>0，C0C.AB<0，C0 D.AB>0，C0ax3my2a0(m0)过点(1，1)，则直线的斜率k等于()A.3 C. D.ymx3m2(mR)必过定点()A.(3,2) B.(3,2) C.(3，2) D.(3，2)xy0，xy0，xay3构成三角形，则a的取值范围是()A.a±1 B.a1，a2C.a1 D.a±1，a2l1：axyb0，l2：bxya0(a0，b0，ab)在同一坐标系中的图形大致是()二、填空题l1：ax3y10与直线l2：2x(a1)y10垂直，则实数a_.mx3y50经过连接点A(1，2)，B(3,4)的线段的中点，则m_.l：ax(a1)y20的倾斜角大于45°，则a的取值范围是_.a1xb1y40和a2xb2y40都过点A(2,3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为_.三、解答题l的方程为(a1)xy2a0(aR).(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程；(2)若l不经过第二象限，求实数a的取值范围.13.(1)已知直线l1：2x(m1)y40与直线l2：mx3y20平行，求m的值.(2)当a为何值时，直线l1：(a2)x(1a)y10与直线l2：(a1)x(2a3)y20互相垂直？当堂检测答案1.答案D解析方程AxByC0表示直线的条件为A、B不能同时为0，即A2B20.2.答案C解析由axbyc，得yx，ab<0，直线的斜率k>0，直线在y轴上的截距<0.由此可知直线通过第一、三、四象限.3.答案A解析由题意，得所求直线斜率为，且过点(1,0).故所求直线方程为y(x1)，即x2y10.4.答案B解析由两直线垂直，得×1，解得m1.5.答案3或1解析两条直线yax2和3x(a2)y10互相平行，所以，解得a3或a1.课时精练答案一、选择题1.答案B解析直线xy30，即yx3，它的斜率等于1，故它的倾斜角为135°，故选B.2.答案D解析由已知得m240，且1，解得：m3.3.答案D解析通过直线的斜率和截距进行判断.4.答案D解析由点(1，1)在直线上可得a3m2a0(m0)，解得ma，故直线方程为ax3ay2a0(a0)，即x3y20，其斜率k.5.答案A解析由ymx3m2，得y2m(x3).所以直线必过点(3,2).6.答案A解析因为直线xay3恒过点(3,0)，所以此直线只需不和xy0，xya±1.7.答案C解析将l1与l2的方程化为斜截式得：yaxb，ybxa，根据斜率和截距的符号可得选C.二、填空题8.答案解析由两直线垂直的条件，得2a3(a1)0，解得a.9.答案2解析线段AB的中点为(1,1)，则m350，即m2.10.答案(，)(0，)解析当a1时，直线l的倾斜角为90°，符合要求；当a1时，直线l的斜率为，只要>1或者<0即可，解得1<a<或者a<1或者a>0.综上可知，实数a的取值范围是(，)(0，).11.答案2x3y40解析由条件知易知两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)都在直线2x3y40上，即2x3y40为所求.三、解答题12.解(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距都为0，当然相等，所以a2，方程即为3xy0.当a2时，截距存在且均不为0，所以a2，即a11.所以a0，方程即为xy20.(2)将l的方程化为y(a1)xa2，所以或所以a1.综上，a的取值范围是a1.13.解方法一(1)由l1：2x(m1)y40，l2：mx3y20知：当m0时，显然l1与l2不平行.当m0时，l1l2，需.解得m2或m3，m的值为2或3.(2)由题意知，直线l1l2.若1a0，即a1时，直线l1：3x10与直线l2：5y20显然垂直.若2a30，即a时，直线l1：x5y20与直线l2：5x40不垂直.若1a0，且2a30，则直线l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1，k2.当l1l2时，k1·k21，即()·()1，a1.综上可知，当a1或a1时，直线l1l2.方法二(1)令2×3m(m1)，解得m3或m2.当m3时，l1：xy20，l2：3x3y20，显然l1与l2不重合，l1l2.同理当m2时，l1：2x3y40，l2：2x3y20，显然l1与l2不重合，l1l2.m的值为2或3.(2)由题意知直线l1l2，(a2)(a1)(1a)(2a3)0，解得a±1，将a±1代入方程，均满足题意.故当a1或a1时，直线l1l2.
