立体几何高考题(10页).doc

-立体几何高考题-第 9 页新教材高考研究高二中心组 第九章 立体几何一、教材、考试要求的变化旧教材考试说明中的“对于截面问题，只要求会解决与几种特殊的截面（棱柱、棱锥、棱台的对角面，棱柱的直截面，圆柱、圆锥、圆台的轴截面和平行于底面的截面，球的截面）以及已给出图形或它的全部顶点的其他截面的有关问题” 提法删去了，而增加了“了解正多面体的概念，了解多面体的欧拉公式。”最主要的是增加了空间向量的运算以及在距离、夹角等的应用。具体如下：9（B）直线、平面、简单几何体考试内容平面及其基本性质，平面图形直观图的画法平行直线直线的方向向量，异面直线所成的角，异面直线的公垂线，异面直线的距离直线和平面垂直的性质，平面的法向量，点到平面的距离，直线和平面所成的角，向量在平面内的射影平行平面的判定和性质，平行平面间的距离，二面角及其平面角，两个平面垂直的判定和性质多面体、棱柱、棱锥、正多面体、球考试要求（1）掌握平面的基本性质，会用斜二测的画法画水平放置的平面图形的直观图，能够画出空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想象它们的位置关系。（2）了解空两条直线、直线和平面、两个平面的位置关系。（3）掌握直线和平面平行的判定定理和性质定理，理解直线和平面垂直的概念，掌握直线和平面垂直的判定定理，了解三垂线定理及其逆定理。（4）理解空间向量的概念，掌握空间向量的加法、减法和数乘。（5）了解空间向量的基本定理，理解空间向量坐标的概念，掌握空间向量的坐标运算。（6）掌握空间向量的数量积的定义及其性质，掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式，掌握空间两点间距离公式。（7）理解直线的方向向量、平面的法向量、向量在平面内的射影等概念。（8）掌握直线和直线、直线和平面，平面和平面所成的角、距离的概念，对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线或在坐标表示下的距离，掌握直线和平面垂直的性质定理，掌握两个平面平行、垂直的判定定理和性质定理。（9）了解多面体的概念，了解凸多面体的概念。（10）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性质，会画直棱柱的直观图。（11）了解棱锥的概念，掌握正棱锥的性质，会画正棱锥的直观图。（12）了解正多面体的概念，了解多面体的欧拉公式。（13）了解球的概念，掌握球的性质，掌握球的表面积、体积公式。教材的最大变化是首次引入空间向量，并用这一工具去解决空间的平行垂直关系，以及求空间的“距离”、“角”，因此，要重点掌握“空间向量”（可看着平面向量的推广），突出其“工具性”。在实际应用中，要强化训练如何将空间问题坐标化（如何建立空间坐标系，并确定相关点的坐标，这里还需要具有相应的平几知识）这一数学思想。二、高考试题汇编1 、(2000年天津高考(文、理)第3 题)一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是、，这个长方体对角线的长是（）（A）2（B）3（C）（D）62 、(2000年天津高考（文、理）第9 题)一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）ABCDC1FB1A1D1E（A）（B）（C）（D）3 、(2000年天津高考（理）第12 题)如图OA是圆锥底面的中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角的余弦值为（）（A）（B）（C）（D）3 、(2000年天津高考（文、理）第16 题) 如图，E、F分别为正方体的面ADD1A1 面BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在该正方体的面上的射影可能是 。（要求：把可能的图的序号都填上）ABNCA1C1B1M 4 、(2000年天津高考（文、理）第18 甲 题) 如图，直三棱柱ABC-A1B1C1 ，底面ABC中，CA=CB=1 ，BCA=90° ，棱AA12 ，M、N分别是A1B1 ，AA1的中点。(I) 求的长； (II) 求cos< ,>的值；(III) 求证A1CC1M5 、（2001高考（新课程）第11题）一间民房地屋顶有如图的三种盖法： 单向倾斜； 双向倾斜； 四向倾斜 。记三种盖法的屋顶面积分别为P1 、P2 、P3 。若屋顶斜面与水平面所成的角都是a ，则（） （A） P1 < P2 < P3 （B）P1 P2 < P3 （C）P1 < P2 P3 （D）P1 P2P36 、（2001高考（新课程）第15题）（文、理）在空间中，若四点不共面，则这四点中如何三点都不共线。 若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线。ABCDVEOyzx以上两个命题中，逆命题为真命题的是： （把符合要求的命题序号都填上）。7 、（2001高考（新课程）第20题 甲）如图，以正四棱锥V-ABCD底面中心O为坐标原点建立空间直角坐标系Oxyz，其中OxBC ，OyAB。E为VC的中点，正四棱锥底面边长为2a，高为h。（I）求cos< ,> ；（II）记面BCV为a ，面DCV为 b ,若BED是二面角aVCb 的平面角，求cosBED （理科为：求BED）8 、(2002年天津高考第3题)已知m、n为异面直线，m Ì 平面a ，n Ì 平面 b ，a b l ，则l （）（A）与m、n都相交（B）与m、n中至少一条相交（C）与m、n都不相交（D）至多与m、n中的一条相交9 、(2002年天津高考第7题)正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1 的底面边长为1 ，侧棱长为，则这个棱柱的侧面对角线E1D与BC1 所成的角是ABCA1B1C1（A）90° （B）60° （C）45° （D）30° 10 、(2002年天津高考第18题 甲) 如图，正三棱柱ABC-A1B1C1 ，底面边长为a ，侧棱长为a（I）建立适当的坐标系，并写出点A 、B、 A1、C1 的坐标；（II）求AC1与侧面ABB1A1 所成的角。BACDPEF11 、（1999年上海考题第20题）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，BAD=90° ，ADBC，ABa ，AD2a ，且PA底面ABCD ，PD与底面成30° 角，（I）若AEPD，E为垂足，求证BEPD；（II）求异面直线AE与CD所成角的大小（用反三角函数表示）。证明：如图，以A为原点，AB、AD、AP所在直线为坐标系，建立空间直角坐标系，则点A（0，0，0）、B（a，0，0）、C（a，a，0）、D（0，2a，0）。（1）PA底面ABCD，PDA是PD与底面成的角，PDA 30°过E作EFAD，垂足为F，则AEa，AF，EF，APE（0，）、P（0，0，）.（a，）、（0，2a，）.·（a）·0 ·（2a）· 0BEPD（2）由（1）可得（0，）、（a，a，0）设与所成的角为q 则cosq q arccos，即异面直线AE与CD所成角的大小为arccos三、教学建议从近几年的高考来看，新教材的甲组题（即9(B)考题）比乙组题（即9(A)考题）和全国题都要好做，其实，用向量方法去解传统的立体几何也是有优势的，如2000年的高考立体几何题，普遍都认为较难，但如果用向量方法去解，就很简单了(2000年全国（理）第18题的向量解法）如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且C1CBC1CD=BCD=60° .ABCDA1B1C1D1(I)证明：C1CBD ；(II)假定CD2，C1C，记面C1BD为a ，面CBD为 b ，求二面角aBDb 的平面角的余弦值；(III)的值为多大时，能够使A1C平面C1BD ? 请给出证明。(I) 证明：设 ，且|由题知·|·|·cos60° ，·|·|·cos60° ，··()··0 即 C1CBD（II）由题知 | |2，|， 连结AC交BD于O，连C1O，则C1 DC1 BC1OC1 BC1 OC为所求二面角的平面角。( ) ( )·( )·( )2 ··2 ··而| | ， | | | 二面角aBDb 的平面角的余弦值为 。（III）要使A1C平面C1BD ，即使A1CBD 或A1CC1D来观察的值为多少。由假设有·0， ·0. 由题设有·()·() 0 （|）这说明 成立又·()·() ··2 ··2 |2 |·| |2 要只要·0 即|2 |·|2 0 解得|即当| 时由此可知1时，能使A1C平面C1BD再看2002广东高考第19题的向量解法：（II）证法一：不论棱锥的高如何变化，PADPCD.作AEDP ，垂足为E，连EC，则ADECDE ，AE=CE，CED90° CEA是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角。设，依题意得 | ，在RtCED中，cos<，>cos<，> ，·（）·（） ···| 2 | 2 < 0cosCEA < 0面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90° 证法二：作AEDP ，垂足为E，连EC，则ADECDE ，DCAPOEyxBAE=CE，CED90° CEA是面PAD与面PCD所成的二面角的平面角。且PD面CEA ，PDOE设CA 、BD交于O，以CA所在直线为x轴，OE所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，设PBx，在RtPBD中，OEPDOEC（，0）、A（，0）、E（0 ，）（，），（，）·cosCEA < 0面PAD与面PCD所成的二面角恒大于90°从以上的解法可以看到，利用向量解立体几何问题，有其独特点优势，既可以将空间问题转化为研究某一平面的问题，用平面向量的方法（纯向量运算或坐标运算）去解决，还可以用空间向量的方法去解决。因此，教学中，不要用旧教材的方法去进行题形训练，着重在概念的理解和掌握（如二面角），向量工具的选择与操作，重视通性、通法的教学，提高教与学的效率。【2003上海（春季高考）19】已知三棱柱ABC-A1B1C1，在某个空间直角坐标系中，0，m，0，0，0，0，n，其中m、n > 0.(1)证明：三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱；(2) 若mn，求直线CA1与平面A1ABB1所成角的大小。解答（1），0|m，又，0，m，0，0，|m |，|m，即ABC是正三角形。又0，即同理，平面ABC，从而三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱；（2）取AB的中点O，连结CO、A1O.COAB，平面ABC平面ABB1A，CO平面ABB1A，即CA1O为直线CA1与平面A1ABB1所成角，在RtCA1O中，CO，CA1sinCA1O即CA1O45°