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-概率论基本公式-第 9 页概率论与数理统计基本公式第一部分 概率论基本公式1、 2、对偶率：3、概率性率：4、古典概型5、条件概率例：有三个罐子，1号装有2红1黑共3个球，2号装有3红1黑4个球，3号装有2红2黑4个球，某人随机从其中一罐，再从该罐中任取一个球，（1）求取得红球的概率；（2）如果取得是红球，那么是从第一个罐中取出的概率为多少？6、独立事件（1）P(AB)=P(A)P(B),则称A、B独立。(2)伯努利概型如果随机试验只有两种可能结果：事件A发生或事件A不发生，则称为伯努利试验，即：P(A)=p, (0<p<1,p+q=1)相同条件独立重复n次，称之为n重伯努利试验，简称伯努利概型。伯努利定理： （k=0,1,2） 事件A首次发生概率为：例：设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号，（1）进行5次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率；（2）进行了7次重复独立试验，求指示灯发出信号的概率。第二章7、常用离散型分布（1）两点分布：若一个随机变量X只有两个可能的取值，且其分布为： （0<p<1）则称X服从处参数为p的两点分布。其中期望E（X）=p,D(X)=p(1-p)（2）二项分布：若一个随机变量X的概率分布由 （k=0,1,2）给出，则称X服从参数为n，p的二项分布，记为：Xb(n,p)（或B(n，p)其中，当n=1时为01分布。 其期望E（X）=np，方差D(X)=np(1-p)（3）泊松分布：若一个随机变量X概率分布为：则称X服从参数为的泊松分布，记为：,其中.泊松定理：在n重伯努利试验中，事件A在每次试验中发生的概率为,如果时，则对任意给定的k，有，这表明，当n很大时，p接近0或1时，有（）。 N20，p0.05时用泊松分布。其期望方差相等，即：E(X)=D(X)= 。8、常用连续型分布（1）均匀分布：若连续随机变量X的概率密度为则称X在区间（a，b）上服从均匀分布，记为XU(a,b)。其中，分布函数为：其期望E（X）=，方差D(X)=。（2）指数分布：若随机变量的概率为，则称X服从参数为的指数分布，简记为Xe().其分布函数：其期望E(X)=,方差D(X)=.(3)正态分布：若随机变量X的概率密度为，则称X服从参数为和的正态分布，记为XN(, ),其中和（>0）都是常数。分布函数为：。当称为标准正态分布，概率密度函数为：分布函数为：定理：设其期望E(X)= ,D(X)= 。9、随机变量函数的分布（1）离散型随机变量函数分布一般方法：先根据自变量X的所有可能取值确定因变量Y的所有可能值，然后通过Y的每一个可能的取值(i=1,2,)来确定Y的概率分布。（2）连续型随机变量函数分布方法：设已知X的分布函数或者概率密度，则随机变量Y=g(X)的分布函数,其中，进而可通过Y的分布函数，求出Y的密度函数。例：设随机变量X的密度函数为，求随机变量10、设随机变量XN(,Y=也服从正态分布.即。11、联合概率分布(1)离散型联合分布：XY PX=p PY= 1(2)连续型随机变量函数的分布：例：设随机变量（X，Y）的密度函数求，D(X+Y).解：当0x2时由，得：，当x<0或x>2时，由，所以，同理可求得:； E(X)=,由对称性同理可求得，E(Y)=7/6。因为E(XY)= 所以，cov（X,Y）= E(XY)- E(X) E(Y)=4/3-(7/6)=-1/36。同理得D(Y)=,所以，=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2cov(X,Y)=12、条件分布：若13、随机变量的独立性：由条件分布设A=Yy,且PYy>0,则：，设随机变量（X,Y）的联合分布概率为F（x,y），边缘分布概率为，若对于任意x、y有：，即：，则称X和Y独立。14、连续型随机变量的条件密度函数：设二维连续型随机变量（X,Y）的概率密度为,边缘概率密度函数为，则对于一切使>0的x,定义在X=x的条件下Y的条件密度函数为：，同理得到定义在Y=y条件下X的条件概率密度函数为：，若=几乎处处成立，则称X,Y相互独立。例：设二维随机变量（X，Y）的概率密度函数为：，求（1）确定常数c；（2）X,Y的边缘概率密度函数；（3）联合分布函数F(x,y);(4)PYX;(5)条件概率密度函数；（6）PX<2|Y<115、数学期望：（1）离散型：（2）连续型：，因为并不是每一个函数都能积分，所以并非所有随机变量都有数学期望。数学期望的性质： E(CX)=CE(X) 设X,Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y).例：10个人随机进入15个房间，每个房间容纳的人数不限，设X表示有人的房间数，求E(X)(设每个人进入房间是等可能的，且各人是否进入房间相互独立)附：二项分布b(n,p)和两点分布b(1,p)的另一个关系，仍设一个实验只有两个结果：,且P(A)=p,现在将试验独立进行n次，记为n次试验中结果A出现的次数，则，若记其中：16、方差：(1)(2)方差性质：D(CX)=CD(X);若X.Y相互独立，则：17、协方差：(1)cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y),特别，X,Y独立时，有：cov(X,Y)=0.（2）协方差性质：cov(X,X)=D(X);cov(aX,bY)=ab cov(X,Y);cov(C,Y)=0;cov(,Y)=随机变量和的方差与协方差的关系.(3)相关系数,性质：;若X和Y相互独立，则=0，即X和Y不相关。若D(X)>0，D(Y)>0，则当且仅当存在常数a，b（），使：附注：设e=EY-(,称为用来近似Y的均方差，则：设D(X)>0，D(Y)>0,有：使均方误差达到最小。18、切比雪夫不等式：设随机变量X的期望E(X)=,方差D(X)=,则对于给定任意正数，有：19、大数定理：设随机变量X,X,X相互独立，且具有相同的期望和方差：，i=1,2,3，则对于任意>0,有：20、中心极限定理；（1）设随机变量X,X,X相互独立，服从同一分布，且， i=1,2,3，则：(2)棣莫佛拉普拉斯定理：设随机变量X,X,X相互独立，并且都服从参数为p的两点分布，则对任意实数x，有：第二部分 数理统计24、点估计常用方法（1）矩估计法：先求E（X）,得到一个E(X)与未知参数的式子，用E(X)表示未知参数，再把E(X)用代替即可。例：已知总体X的概率分布为求参数的矩估计。（2）最大似然估计：一般方法：a、写出最大似然函数L(;或c、判断并求出最大值点，在最大值点得表达式中，用样本均值代入即得到参数的最大释然估计值。
