第5讲牛吃草问题拓展(教师版)(8页).doc

-第5讲牛吃草问题拓展(教师版)-第 8 页第5讲 牛吃草问题变形【例题1】东升牧场南面一块2000平方米的牧场上长满牧草，牧草每天都在匀速生长，这片牧场可供18头牛吃16天，或者供27头牛吃8天在东升牧场的西侧有一块6000平方米的牧场，可供多少头牛吃6天？【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，那么2000平方米的牧场上天生长的草量为，即每天生长的草量为那么2000平方米的牧场上原有草量为：则6000平方米的牧场每天生长的草量为；原有草量为：6天里，该牧场共提供牧草，可以让(头)牛吃6天【例题2】一个农夫有面积为2公顷、4公顷和6公顷的三块牧场三块牧场上的草长得一样密，而且长得一样快农夫将8头牛赶到2公顷的牧场，牛5天吃完了草；如果农夫将8头牛赶到4公顷的牧场，牛15天可吃完草问：若农夫将这8头牛赶到6公顷的牧场，这块牧场可供这些牛吃几天？【解析】 (法1)设1头牛1天吃草量为“1”，可以将不同的公顷数统一转化为单位量1公顷来解决把2公顷牧场分割成2块，每块1公顷，每块可供4头牛吃5天；把4公顷牧场分割成4块，每块1公顷，每块可供2头牛吃15天那么1公顷牧场每天新生长的草量为，1公顷牧场原有草量为那么6公顷牧场每天新生长的草量为，原有草量为8头牛里，若有6头牛去吃每天新生长的草，剩下2头牛需要(天)可将原有草吃完，即它可供8头牛吃45天(法2)题中3块牧场面积不同，要解决这个问题，可以将3块牧场的面积统一起来设1头牛1天吃草量为“1”将8头牛赶到2公顷的牧场，牛5天吃完了草，相当于12公顷的牧场可供48头牛吃5天；将8头牛赶到4公顷的牧场，牛15天可吃完草，相当于12公顷的牧场可供24头牛吃15天所以12公顷的牧场每天新生长的草量为：，12公顷牧场原有草量为那么12公顷牧场可供16头牛吃(天)，所以6公顷的牧场可供8头牛吃45天【例题3】4头牛28天可以吃完10公顷牧场上全部牧草，7头牛63天可以吃完30公顷牧场上全部牧草，那么60头牛多少天可以吃完40公顷牧场上全部牧草？(每公顷牧场上原有草量相等，且每公顷牧场上每天生长草量相等)【解析】 题中是3块面积不同的草地，要解决这个问题，可以将3块草地的面积统一起来，设1头牛1天的吃草量为“1”，原条件可转化为：120公顷牧场48头牛28天吃完；120公顷牧场28头牛63天吃完那么120公顷牧场每天新生长的草量为；120公顷牧场原有草量为则40公顷牧场每天新生长的草量为，40 公顷牧场原有草量为在60头牛里先分出4头牛来吃新生长的草，剩余的56头牛来吃原有的草，可以吃：(天)【例题4】17头牛吃28公亩的草，84天可以吃完；22头牛吃同样牧场33公亩的草54天可吃完，几头牛吃同样牧场40公亩的草，24天可吃完？(假设每公亩牧草原草量相等，且匀速生长)【解析】 设1头牛1天吃1份牧草，22头牛54天吃掉份，说明每公亩牧场54天提供份牧草；17头牛84天吃掉份，说明每公亩牧场84天提供份牧草每公亩牧场天多提供份牧草，说明每公亩牧场每天的牧草生长量为份，原有草量为份如果是40公亩的牧场，原有草量为份，每天新长出份，24天共提供牧草份，可供头牛吃24天若想18星期吃完需要：259.2÷1821.636（头）牛【例题5】一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内.如果10人淘水，3小时淘完；如5人淘水，8小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？【解析】 设1人1小时淘出的水量是“1”，淘水速度是，原有水量，要求2小时淘完，要安排人淘水【例题6】画展8:30开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开3个入场口，9点就不再有人排队；如果开5个入场口，8点45分就没有人排队。求第一个观众到达的时间。【解析】 设每分钟1个入口进入的人数为1个单位。 8:30到9:00 共30分钟 3个入口共进入。8:30到8:45 共15分钟 5个入口共进入，15分钟到来的人数 ，每分钟到来。8：30以前原有人。 所以应排了（分钟），即第一个来人在7：30【例题7】在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过20级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过30级台阶到达地面从站台到地面有 级台阶【解析】 本题非常类似于“牛吃草问题”，如将题目改为：“在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过20秒后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过15秒到达地面问：从站台到地面有多少级台阶？”采用牛吃草问题的方法，电梯秒内所走的阶数等于小强多走的阶数：阶，电梯的速度为阶/秒，扶梯长度为（阶）。【例题8】小明从甲地步行去乙地，出发一段时间后，小亮有事去追赶他，若骑自行车，每小时行15千米，3小时可以追上；若骑摩托车，每小时行35千米，1小时可以追上；若开汽车，每小时行45千米， 分钟能追上。【解析】 本题是“牛吃草”和行程问题中的追及问题的结合小明在小时内走了千米，那么小明的速度为(千米/时)，追及距离为(千米)汽车去追的话需要：(小时)(分钟)【练习1】有甲、乙两块匀速生长的草地，甲草地的面积是乙草地面积的3倍30头牛12天能吃完甲草地上的草，20头牛4天能吃完乙草地上的草问几头牛10天能同时吃完两块草地上的草？【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，由于甲草地的面积是乙草地面积的3倍，把甲草地分成面积相等的3块，那么每块都与乙草地的面积相等由于30头牛12天能吃完甲草地上的草，相当于每块上的草由10头牛12天吃完那么条件转换为“10头牛12天能吃完乙草地上的草，20头牛4天也能吃完乙草地上的草”，可知每天乙草地长草量为，乙草地原有草量为：；则甲、乙两块草地每天的新生长草量为，原有草量为：要10天同时吃完两块草地上的草，需要(头)牛【练习2】有三块草地，面积分别为5公顷、15公顷和24公顷草地上的草一样厚，而且长得一样快第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天问：第三块草地可供多少头牛吃80天？【解析】 (法1)设1头牛1天吃草量为“1”，第一块草地可供10头牛吃30天，说明1公顷草地30天提供份草；第二块草地可供28头牛吃45天，说明1公顷草地45天提供份草；所以1公顷草地每天新生长的草量为份，1公顷原有草量为24公顷草地每天新生长的草量为；24公顷草地原有草量为那么24公顷草地80天可提供草量为：，所以共需要牛的头数是：(头)牛(法2)现在是3块面积不同的草地，要解决这个问题，也可以将3块草地的面积统一起来由于，那么题中条件可转化为：120公顷草地可供240头牛吃30天，也可供224头牛吃45天设1头牛1天的吃草量为“1”，那么120公顷草地每天新生长的草量为，120公顷草地原有草量为120公顷草地可供(头)牛吃80天，那么24公顷草地可供(头)牛吃80天【练习3】有三块草地，面积分别是4公顷、8公顷和10公顷草地上的草一样厚而且长得一样快第一块草地可供24头牛吃6周，第二块草地可供36头牛吃12周问：第三块草地可供50头牛吃几周？【解析】 设1头牛1周吃草量为“1”，第一块草地可供24头牛吃6周，说明1公顷草地可供6头牛吃6周；第二块草地可供36头牛吃12周，说明1公顷草地可供头牛吃12周那么1公顷草地1周新生长的草量为份，1公顷草地原有草量为第三块草地1周新生长的草量为，第三块草地原有草量为50头牛中，若有30头牛去吃每天生长的草，那么剩下的20头牛需要周可以把原有草吃完，即这块草地可供50头牛吃9周【练习4】一只船发现漏水时，已经进了一些水，现在水匀速进入船内，如果3人淘水40分钟可以淘完；6人淘水16分钟可以把水淘完，那么，5人淘水几分钟可以把水淘完？【解析】 设1人1分钟淘出的水量是“1”，分钟的进水量为，所以每分钟的进水量为，那么原有水量为：5人淘水需要(分钟)把水淘完【练习5】画展9点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9点5分就没有人排队求第一个观众到达的时间【解析】 如果把入场口看作为“牛”，开门前原有的观众为“原有草量”，每分钟来的观众为“草的增长速度”，那么本题就是一个“牛吃草”问题设每一个入场口每分钟通过“1”份人，那么4分钟来的人为，即1分钟来的人为，原有的人为：这些人来到画展，所用时间为(分)所以第一个观众到达的时间为8点15分点评：从表面上看这个问题与“牛吃草”问题相离很远，但仔细体会，题目中每分钟来的观众一样多，类似于“草的生长速度”，入场口的数量类似于“牛”的数量，问题就变成“牛吃草”问题了解决一个问题的方法往往能解决一类问题，关键在于是否掌握了问题的实质【练习6】两个顽皮的孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走3级梯级，女孩每秒可走2级梯级，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。问：该扶梯共有多少级梯级？【解析】 本题与牛吃草问题类似，其中扶梯的梯级总数相当于原有草量；而自动扶梯运行的速度则相当于草的增长速度。并且上楼的速度要分成两部分一部分是孩子自己的速度，另一部分是自动扶梯的速度。自动扶梯的速度（女孩每秒走的梯级×女孩走的时间男孩每秒走的梯级×男孩走的时间）÷（女孩走的时间男孩走的时间），自动扶梯的梯级总数女孩每秒走的梯级×女孩走的时间自动扶梯的速度×女孩走的时间（级）所以自动扶梯共有150级的梯级。【练习7】快、中、慢三车同时从地出发沿同一公路开往地，途中有骑车人也在同方向行进，这三辆车分别用7分钟、8分钟、14分钟追上骑车人已知快车每分钟行800米，慢车每分钟行600米，中速车的速度是多少？【解析】 可以将骑车人与三辆车开始相差的距离看成原有草量，骑车人的速度看成草生长的速度，所以骑车人速度是：(米/分)，开始相差的路程为：（米），所以中速车速度为：(米分)【作业】1、有一块1200平方米的牧场，每天都有一些草在匀速生长，这块牧场可供10头牛吃20天，或可供15头牛吃10天，另有一块3600平方米的牧场，每平方米的草量及生长量都与第一块牧场相同，问这片牧场可供75头牛吃多少天？【解析】 设头牛天的吃草量为“”，摘录条件，将它们转化为如下形式方便分析10头牛 20天 10×20200 ：原有草量20天生长的草量15头牛 10天 15×10150 ：原有草量10天生长的草量从上易发现：1200平方米牧场上201010天生长草量20015050，即1天生长草量50÷105；那么1200平方米牧场上原有草量：2005×20100或1505×10100。则3600平方米的牧场1天生长草量5×（3600÷1200）15；原有草量：100×（3600÷1200）300.75头牛里，若有15头牛去吃每天生长的草，剩下60头牛需要300÷605（天）可将原有草吃完，即它可供75头牛吃5天。2、三块牧场，场上的草长得一样密，而且长得一样快，它们的面积分别是3公顷、10公顷和24公顷第一块牧场饲养12头牛，可以维持4周；第二块牧场饲养25头牛，可以维持8周问第三块牧场上饲养多少头牛恰好可以维持18周？【解析】 设1头牛1周吃草量为“1”第一块牧场饲养12头牛，可以维持4周，相当于1公顷牧场可供4头牛吃4周；第二块牧场饲养20头牛，可以维持8周，相当于1公顷牧场可供头牛吃8周那么1公顷牧场1周新生长的草量为，1公顷牧场原有草量为24公顷牧场每天新生长的草量为，原有草量为，若想维持18周，需要饲养：(头)牛3、假设地球上新生成的资源增长速度是一定的，照此计算，地球上的资源可供110亿人生活90年；或供90亿人生活210年。为了使人类能够不断繁衍，地球上最多能养活多少人？【解析】 亿人。4、早晨6点，某火车进口处已有945名旅客等候检票进站，此时，每分钟还有若干人前来进口处准备进站这样，如果设立4个检票口，15分钟可以放完旅客，如果设立8个检票口，7分钟可以放完旅客现要求5分钟放完，需设立几个检票口?【解析】 设1个检票口1分钟放进1个单位的旅客1分钟新来多少个单位的旅客检票口开放时已有多少个单位的旅客在等候， 4××15=525分时间内检票口共需放进多少个单位的旅客52+×5=55设立几个检票口(个)5、自动扶梯以匀速由下往上行驶，两个急性子的孩子嫌扶梯走的太慢，于是在行驶的扶梯上，男孩每秒向上走1梯级，女孩每3秒钟走2梯级。结果男孩用50秒到达楼上，女孩用60秒到达楼上。该楼梯共有多少级？【解析】 该题属于草匀速减少的情况，扶梯的运行速度：。自动扶梯的梯级总数：(级)6、有固定速度行驶的甲车和乙车，如果甲车以现在速度的2倍追赶乙车，5小时后甲车追上乙车；如果甲车以现在速度的3倍追赶乙车，3小时后甲车追上乙车，那么如果甲车以现在的速度去追赶乙车，问：几个小时后甲车追上乙车？【解析】 分析知道甲车相当于“牛”，甲追赶乙的追及路程相当于“原有草量”，乙车相当于“新生长的草”设甲车的速度为“1”，那么乙车小时走的路程为，所以乙的速度为，追及路程为：如果甲以现在的速度追赶乙，追上的时间为：(小时)