第六章 概率与概率分布练习题(10页).doc

-第六章 概率与概率分布练习题-第 10 页第六章 概率与概率分布一、填空1用古典法求算概率在应用上有两个缺点：它只适用于有限样本点的情况；它假设（机会均等 ）。2分布函数和或的关系，就像向上累计频数和频率的关系一样。所不同的是，累计的是（概率 ）。 3如果A和B（互斥 ），总合有P(A/B)PB/A0。4（大数定律 ）和（ 中心极限定理 ）为抽样推断提供了主要理论依据。6抽样设计的主要标准有（最小抽样误差原则 ）和（最少经济费用原则 ）。7在抽样中，遵守（随机原则 ）是计算抽样误差的先决条件。9若事件A和事件B不能同时发生，则称A和B是（互斥 ）事件。10在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃或爱司的概率是（1/4 ）；在一副扑克牌中单独抽取一次，抽到一张红桃且爱司的概率是（ 1/52 ）。 二、单项选择 1随机试验所有可能出现的结果，称为（ D ）。A 基本事件； B 样本；C 全部事件；D 样本空间。2.在次数分布中，频率是指（ ）3若不断重复某次调查，每次向随机抽取的100人提出同一个问题，则每次都能得到一个回答“是”的人数百分数，这若干百分数的分布称为：（ D ）。A总体平均数的次数分布 B样本平均的抽样分布 C总体成数的次数分布 D样本成数的抽样分布4以等可能性为基础的概率是（A ）。A 古典概率；B 经验概率；C 试验概率；D 主观概率。5古典概率的特点应为（ A ）。A 基本事件是有限个，并且是等可能的； B 基本事件是无限个，并且是等可能的；C 基本事件是有限个，但可以是具有不同的可能性； D 基本事件是无限的，但可以是具有不同的可能性。6任一随机事件出现的概率为（ D ）。A 在1与1之间；B 小于0；C 不小于1；D 在0与1之间。7若P（A）0.2，（B）0.6，P（A/B）0.4，则（ D ）。A B C 0.12 D 0.24。8若A与B是任意的两个事件，且P（AB）P（A）·P（B），则可称事件A与B（C ）。A 等价 B 互不相容 C 相互独立 D 相互对立。9若相互独立的随机变量X和Y的标准差分别为6与8，则（XY）的标准差为（B）。A 7 B 10 C 14 D无法计算。10对于变异数D(X)，下面数学表达错误的是（ D ）。A D(X)E(X2)2 B D(X)E(X)2 C D(X)E(X2)E (X) 2 D D(X) 11如果在事件A和B存在包含关系AB的同时，又存在两事件的反向包含关系AB，则称事件A与事件B（A ）A 相等 B 互斥 C 对立 D 互相独立 三、多项选择1随机试验必须符合以下几个条件（ABD ）。A它可以在相同条件下重复进行；B每次试验只出现这些可能结果中的一个；C预先要能断定出现哪个结果； D试验的所有结果事先已知；E预先要能知道哪个结果出现的概率。2重复抽样的特点是（ACE ）。A 每次抽选时，总体单位数始终不变；B 每次抽选时，总体单位数逐渐减少；C 各单位被抽中的机会在每次抽选中相等；D 各单位被抽中的机会在每次抽选中不等；E 各次抽选相互独立。3关于频率和概率，下面正确的说法是（BCE ）。A频率的大小在0与1之间； B概率的大小在0与1之间；C就某一随机事件来讲，其发生的频率是唯一的；D就某一随机事件来讲，其发生的概率是唯一的；E频率分布有对应的频数分布，概率分布则没有。4概率密度曲线（ AD ）。A 位于X轴的上方 B 位于X轴的下方 C 与X轴之间的面积为0 D 与X轴之间的面积为1 E 与X轴之间的面积不定。5.样本方差和总体方差()A.前者是确定值，后者是随机变量B.前者是随机变量，后者是确定值6数学期望的基本性质有(ACD )A E(c)c B E(cX)c2E(X) C E (XY)E(X)E(Y) D E(XY)E(X)·E(Y) 五、判断题1对于连续型随机变量，讨论某一点取值的概率是没有意义的。 （ ）2把随机现象的全部结果及其概率，或者把随机现象的或几个结果及其概率列举出来，就可以称作概率分布。(×) 3社会现象是人类有意识参与的后果，这一点只是改变概率的应用条件，并不改变社会现象的随机性质。（ ） 4在社会现象中，即使相同的意识作用也完全可能有不确定的结果，这就提供了概率论应用的可能性。（ ） 5抽样的随机原则就是指客观现象的随机性。 （×）12所谓抽样分布，就是把具体概率数值赋予样本每个或每组结果的概率分布。（）六、计算题 1某系共有学生100名，其中来自广东省的有25名；来自广西省的有10名。问任意抽取一名学生，来自两广的概率是多少？【0.35】 2为了研究父代文化程度对子代文化程度的影响，某大学统计出学生中，父亲具有大学文化程度的占30，母亲具有大学文化程度的占20，而父母双方都具有大学文化程度的占10。问学生中任抽一名，其父母有一人具有大学文化程度的概率是多少？【 0.40】3根据统计结果，男婴出生的概率为；女婴出生的概率为。某单位有两名孕妇，问两名孕妇都生男婴的概率是多少？【 0.2601】 4根据统计，由出生活到60岁的概率为0.8，活到70岁的概率为0.4。问现年60岁的人活到70岁的概率是多少？【 0.5】 5根据统计结果，男婴出生的概率为；女婴出生的概率为。某单位有两名孕妇，求这两名孕妇生女婴数的概率分布。【 0.2601，0.4998，0.2401】 6一家人寿保险公司在投保50万元的保单中，每千名每年由15个理赔，若每一保单每年的运营成本与利润的期望值为200年，试求每一保单的保费。【7700元】 7位对全单位订报纸情况进行了统计，其中订人民日报的有45，订扬子晚报的有60，两种报纸都订的有30。试求以下概率：1）只订人民日报的；2）至少订以上一种报纸的；3）只订以上一种报纸的；4）以上两种报纸都不订的。 【 0.15，0.95，0.65，0.05】8根据某市职业代际流动的统计，服务性行业的工人代际向下流动的概率为0.07，静止不流动的概率为0.85，求服务性行业的代际向上流动的概率是多少？【0.08】 9.消费者协会在某地对国外旅游动机进行了调查，发现旅游者出于游览名胜的概率为0.219；出于异族文化的吸引占0.509；而两种动机兼而有之的占0.102。问旅游动机为游览名胜或为异族文化吸引的概率是多少？【 0.626】 10根据生命表，年龄为60岁的人，可望活到下年的概率为P0.95；设某单位年龄为60岁的人共有10人，问：（1）其中有9人活到下年的概率为多少？（2）至少有9人活到下年的概率是多少？【0.315】【0.914】 11假定从50个社区的总体中随机抽取一些社区（这些社区的规模和犯罪率之间关系的数据如下表），（1）用不回置抽样得到了一个4个社区的样本，试问其中恰好有一个大社区，一个中社区以及两个小社区的概率是多少？（2）在一个用回置法得到的3个社区的样本中，得到至少一个高犯罪率社区和两个小社区的概率是多少？【0.178】【0.046】属性大中小高犯罪率285低犯罪率1641512已知随机变量x的概率分布如下：X01234试求：1）； 2）；3）令Y，求；4）； 5）。1）【2】；2）【5.2】；3）【2.2】；4）【1.10】；5）【4.62】。13A、B、C为三事件，指出以下事件哪些是对立事件：1）A、B、C都发生； 2）A、B、C都不发生； 3）A、B、C至少有一个发生； 4）A、B、C最多有一个发生； 5）A、B、C至少有两个发生； 6）A、B、C最多有两个发生。【2、3为对立事件 4、5为对立事件 1、6为对立事件】14从户籍卡中任抽1名，设：A“抽到的是妇女”;B“抽到的受过高等教育”;C“未婚”求：（1）用符号表达“抽到的是受过高等教育的已婚男子”； 【】（2）用文字表达ABC；【抽到是受过高等教育的未婚妇女】（3）什么条件下ABCA。【总体中的妇女都是受过高等教育和未婚的】1511000号国库券已到期，须抽签还本付息，求以下事件的概率：（1）抽中701号；【0.001】 （2）抽中532号；【0.001】 （3）抽中小于225号；【0.224】 （4）抽中大于600号；【0.4】 （5）抽中1020号；【0】 （6）抽中大于或者等于700号；【0.301】 （7）抽中小于125号或者大于725号；【0.399】 （8）抽中小于50号或者大于700号。【0.349】 16一个口袋中装有10只球，分别编上号码1，10，随机地从这个口袋去3只球，试求：（1）最小号码是5的概率；（2）最大号码是5的概率。【0.083，0.05】 17共有5000个同龄人参加人寿保险，设死亡率为0.1。参加保险的人在年初应交纳保险费10元，死亡时家属可领2000元。求保险公司一年内从这些保险的人中，获利不少于30000元的概率。【98.75%】 18在一批10个产品中有4个次品。如果一个接一个地随机抽取两个，下面的每个随机事件的概率是多少？（1）抽中一个是次品，一个是合格品；【0.53】 （2）抽取的两个都是次品；【0.13】 （3）至少有一个次品被选取；【0.67】 （4）抽取两个合格品。【0.33】 八、计算举例1.（1）掷一枚质地均匀的硬币一次，用表示掷得正面的次数，则随机变量的可能取值有哪些？ （2）一实验箱中装有标号为1，2，3，3，4的五只白鼠，从中任取一只，记取到的白鼠的标号为，则随机变量的可能取值有哪些？解:说明：引入了随机变量后，随机事件就可以用随机变量来表示。（1）抛掷硬币是随机试验，结果有两种可能，一种是正面向上，另一种是反面向上，所以变量的取值可能是1（正面向上），也可能是0（反面向上），故随机变量的取值构成集合0，1。在此例中，随机事件“掷一枚硬币，正面向上”可以用随机变量表示为，随机事件“掷一枚硬币，反面向上”可以用随机变量表示为。 （2）根据条件可知，随机变量的可能值有4种，它的取值集合是1，2，3，4。 在此例中，也可用，分别表示取到1号、2号、3号和4号白鼠这4个随机事件。另一方面，在此例中，可以用这样的记号表示“取到1号、2号或3号白鼠”这件事情，也就是说，复杂的事件也可以用随机变量的取值来表示。这样，我们就可以用随机事件发生的概率来表示随机变量取值的概率了。如在（1）中的概率可以表示为 ，其中常简记为。同理，。这一结果可用下表来描述。01在（2）中随机变量所表示的随机事件发生的概率也可用下表来描述。1234上面的两个表格分别给出了随机变量，表示的随机事件的概率，描述了随机变量的分布规律。2. 从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球，用表示“取到的白球个数”，即 求随机变量的概率分布。解:由题意知，故随机变量的概率分布列为，概率分布表如下。01说明：本题中，随机变量只取两个可能值0和1。像这样的例子还有很多，如在射击中，只考虑“命中”与“不命中”；对产品进行检验时，只关心“合格”与“不合格”等。我们把这一类概率分布称为0-1分布或两点分布，并记为0-1分布或两点分布。此处“”表示“服从”。3.某班有学生45人，其中型血的有10人，型血的有12人，型血的有8人， 型血的有15人，现抽1人，其血型为随机变量，求的概率分布。解: 设、四种血型分别编号为1，2，3，4，则的可能取值为1，2，3，4。则，。故其概率分布为12344.写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果。一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数为；盒中有6支白粉笔和8支红粉笔，从中任意取3支，其中所含白粉笔的支数；从4张已编号（1号4号）的卡片中任意取出2张，被取出的卡片编号数之和。解:可取3，4，53，表示取出的3个球的编号为1，2，3；4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3，5或2，4，5或3，4，5。 可取0，1，2，3，表示取出支白粉笔，支红粉笔，其中0，1，2，3。可取3，4，5，6，7。3表示取出分别标有1，2的两张卡片；4表示取出分别标有1，3的两张卡片；5表示取出分别标有1，4或2，3的两张卡片；6表示取出分别标有2，4的两张卡片；7表示取出分别标有3，4的两张卡片。5.袋内有5个白球，6个红球，从中摸出两球，记。求的概率分布。解: 显然服从两点分布，则。所以的概率分布是：016. 同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数，求两颗骰子中出现的最大点数的概率分布，并求大于2小于5的概率。解: 依题意易知，掷两颗骰子出现的点数有36种等可能的情况：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（6，5），（6，6）。因而的可能取值为1，2，3，4，5，6，详见下表。出现的点情况数1（1，1）12（2，2），（2，1），（1，2）33（3，3），（3，2），（3，1），（2，3），（1，3）54（4，4），（4，3），（4，2），（4，1），（3，4），（2，4），（1，4）75（5，5），（5，4），（5，3），（5，2），（5，1），（4，5），（3，5），（2，5），（1，5）96（6，6），（6，5），（6，4），（6，3），（6，2），（6，1），（5，6），（4，6），（3，6），（2，6），（1，6）11由古典法可知的概率分布如下表所示：123456从而。7.同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数，求两颗骰子中出现最小点数的概率分布。解: 类似于上例，通过列表可知：，8.从装有6个白球、4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，以表示赢得的钱数，随机变量可以取哪些值呢？求的概率分布。解: 从箱中取出两个球的情形有以下六种：2白，1白1黄，1白1黑，2黄，1黑1黄，2黑。当取到2白时，结果输2元，随机变量2；当取到1白1黄时，输1元，随机变量1；当取到1白1黑时，随机变量1；当取到2黄时，0；当取到1黑1黄时，2；当取到2黑时，4。则的可能取值为2，1，0，1，2，4。从而得到的概率分布如下：2101249. 袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止时所需要的取球次数。（1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量的概率分布；（3）求甲取到白球的概率解: （1）设袋中原有个白球，由题意知：，所以，解得（舍去），即袋中原有3个白球。 （2）由题意，的可能取值为1，2，3，4，5。所以，取球次数的分布列为：12345 （3）因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球，记“甲取到白球”的事件为，则（，或，或）因为事件、两两互斥，所以。10.某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题.竞赛规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得100分，假设这名同学每题回答正确的概率均为0.8，且各题回答正确与否相互之间没有影响。 （1）求这名同学回答这三个问题的总得分的概率分布和数学期望； （2）求这名同学总得分不为负分（即0）的概率。 解: 本小题主要考查离散型随机变量的概率分布、数学期望等概念，以及运用概率统计知识解决实际问题的能力。（1）离散型随机变量的可能值为300，100，100，300。P（=300）= （）3 = 0.008, P（=100）= 3×（）2 = 0.096, P（=100）= 3×0.2×（）2 = 0.384, P（=300）= = 0.512, 所以的概率分布为3001001003000.384 0.512 可得的数学期望E（ + + = 180 （2）这名同学总得分不为负分的概率为P（0）= + = 0.896 11. 从一副洗得很好的扑克牌中做了3次抽取，假定使用回置法，求至少得到1张A和1张K的概率是多少? 解: 按照题意，要在不同样本空间中考虑三种复合事件：抽到1张A和1张K，另l张非A非K，用符号(AKO)表示(其中“O”表示其他)；抽到1张A和2张K，用符号(AKK)表示；抽到2张A和1张K，用符号（AAK)表示。因为在不同样本空间中基本事件实现的概率不同，必须对它们加以区别。次序为AKO的样本点实现的概率是··次序为AKK的样本点实现的概率是·次序为AAK的样本点实现的概率是·再考虑每个复合事件各含有多少种可能的排列方式 (AKK)含有3!2!3种排列方式 (AAK)含有3!2!3种排列方式 （AKO)含有3!6种排列方式所以，在一副扑克的三次抽取中，至少得到1张A和1张K的概率是6·· + 3· + 3·12. 假如对1000个大学生进行歌曲欣赏调查，发现其中有500个学生喜欢民族歌曲，400个学生喜欢流行歌曲，而这些学生中有100人属于既喜欢民族歌曲又喜欢流行歌曲的，剩下来的学生两歌曲都不喜欢。如果我们随机地从该总体中抽取一个学生，并设事件A为该学生喜欢民族歌曲，事件B为该学生喜欢流行歌曲，试解决下列问题：用数字证明P(A且B)P(A)P(BA)P(B)P(AB)。 得到一个喜欢两种风格歌曲之一的学生的概率是多少? 随机地选取一个由3个学生组成的样本，要求这三个学生全都有相同的欣赏方式，得到这种样本的概率是多少? 做一个一枚硬币独立 解:因为1000名大学生中有500名喜欢民族歌曲，有400名喜欢流行歌曲，所以P(A)，P(B)；因为500名喜欢民族歌曲的学生之中，有100名还同时喜欢流行歌曲。所以，P(BA)，同理，P(AB)。 P(A) P(BA) · P(B) P(AB)·又因为在1000名学生中只有100名学生两种风格的音乐都喜欢P(A且B) 所以 P (A且B)P(A) P(BA) P(B) P(AB)又设事件表示该学生不喜欢民族歌曲，事件表示该学生不喜欢流行歌曲，按题意，一个学生可能有4种欣赏方式：仅喜欢民族歌曲，即，共400名，)；仅喜欢流行歌曲，即，共300名，；两种歌曲都喜欢，即，共100名，；两种歌曲都不喜欢，即，共200名，。下表列出抽到3名学生都有相同欣赏方式的4种可能可能方式概率3人都仅喜欢民族歌曲3人都仅喜欢流行歌曲3人两种歌曲都喜欢3人两种歌曲都不喜欢 把上面这些互斥事件的概率加起来，我们便得到抽到3人都有相同欣赏方式的概率 (64+27+1+8)01