第五章 向量空间(10页).doc

-第五章 向量空间-第 9 页第五章 向量空间基础训练题1. 设V是数域F上向量空间，假如V至少含有一个非零向量a，问V中的向量是有限多还是无限多？有没有n(n ³ 2)个向量构成的向量空间？ 解 无限多；不存在n(n ³ 2)个向量构成的向量空间(因为如果F上一个向量空间V含有至少两个向量, 那么V至少含有一个非零向量a , 因此V中含有a , 2a , 3a , 4a , ,这无穷多个向量互不相等,因此V中必然含有无穷多个向量).2. 设V是数域F上的向量空间，V中的元素称为向量，这里的向量和平面解析几何中的向量，空间解析几何中的向量有什么区别？解 这里的向量比平面中的向量意义广泛得多,它可以是多项式,矩阵等,不单纯指平面中的向量.3. 检验以下集合对所指定的运算是否构成数域F上的向量空间. （1）集合：全体n阶实对称矩阵；F：实数域；运算：矩阵的加法和数量乘法；（2）集合：实数域F上全体二维行向量；运算：(a1, b1)(a2, b2)(a1a2, 0)k(a1, b1)(ka1, 0)（3）集合：实数域上全体二维行向量；运算：(a1, b1)(a2, b2)(a1a2, b1b2)k( a1, b1)(0, 0)解 (1) 是; (2) 不是(因为零向量不唯一);(3) 不是(不满足向量空间定义中的(8).4. 在向量空间中，证明，(1) a(a)=aa=(a) a ,(2) (a-b)aaaba , a, b是数，a是向量. 证明 (1) 0= 0 又 0 综上, (2) .5. 如果当k1k2kr0时，k1a1k2a2krar0, 那么a1, a2, , ar线性无关. 这种说法对吗？为什么?解 这种说法不对. 例如设a1=(2,0, -1), a2=(-1,2,3), a3=(0,4,5), 则0a1+0a2+0a3=0. 但a1, a2, a3线性相关, 因为a1+2a2a3=0.6. 如果a1, a2, , ar线性无关，而ar1不能由a1, a2, , ar线性表示，那么a1, a2, ar , ar1线性无关. 这个命题成立吗？为什么？解 成立. 反设a1, a2, ar , ar1线性相关,由条件a1, a2, , ar线性无关知ar1一定能由a1, a2, , ar线性表示,矛盾.7. 如果a1, a2, , ar线性无关，那么其中每一个向量都不是其余向量的线性组合. 这种说法对吗？为什么？解 对. 反设 ai= k1a1+k2a2+ki-1ai-1+ki+1ai1 +krar ,则 k1a1+k2a2+ki-1ai-1+(1) ai +ki+1ai1 +krar=0.由于10, 故a1, a2, , ar线性相关.8. 如果向量a1, a2, , ar线性相关，那么其中每一个向量都可由其余向量线性表示. 这种说法对吗？为什么？解 不对. 设a1=(1,0) , a2=(2,0) , a3=(0,1) , 则a1, a2, a3线性相关, 但a3不能由a1, a2线性表示.9. 设a1 (1, 0, 0), a2 (1, 2, 0), a3(1, 2, 3)是F3中的向量，写出a1, a2, a3的一切线性组合. 并证明F3中的每个向量都可由a1, a2, a3线性表示. 解 k1a1+k2a2+k3a3 k1, k2 , k3F.设k1a1+k2a2+k3a3=0,则有, 解得 k1= k2 =k3=0.故a1, a2, a3线性无关.对任意(a,b,c)F3, (a,b,c)=,所以F3中的每个向量都可由a1, a2, a3线性表示.10. 下列向量组是否线性相关(1) a1 (1, 0, 0), a2 (1, 1, 0), a3(1, 1, 1)；(2) a1(3, 1, 4), a2(2, 5, -1), a3(4, -3, 7). 解 (1) 线性无关; (2) 线性无关.11. 证明，设向量a1, a2, a3线性相关，向量a2, a3, a4线性无关，问：(1) a1能否由a2, a3线性表示？说明理由；(2) a4能否由a1, a2, a3线性表示？说明理由. 解 (1)因为a2, a3线性无关而a1, a2, a3线性相关,所以a1能由a2, a3线性表示; (2)反设a4能由a1, a2, a3线性表示,但a1能由a2, a3线性表示,故a4能由a2, a3线性表示,这与a2, a3, a4线性无关矛盾,所以a4不能由a1, a2, a3线性表示.12. 设a1 (0, 1, 2), a2 (3, 1, 0), a3(2, 1, 0)，b1 (1, 0, 0), b2 (1, 2, 0), b3(1, 2, 3)是F3中的向量. 证明，向量组a1, a2, a3与b1, b2, b3等价.证明 (b1, b2, b3)=()A (a1, a2, a3)= ()B其中A=, B=.易验证A , B均可逆, 这样 (b1, b2, b3) = (a1, a2, a3 )(B-1A) (a1, a2, a3) = (b1, b2, b3)(A-1B) ,故向量组a1, a2, a3与b1, b2, b3等价.13. 设数域F上的向量空间V的向量组a1, a2, , as线性相关，并且在这个向量组中任意去掉一个向量后就线性无关. 证明，如果0 (kiÎF)，那么或者k1k2ks0, 或k1，k2，ks全不为零. 证明 由条件0 (kiÎF)知 kiai= - (k1a1+k2a2+ki-1ai-1+ki+1ai1 +ksas) （*）(1) 当ki=0时,（*)式左边等于零,故k1a1+k2a2+ki-1ai-1+ki+1ai1 +ksas=0. 由于这s-1个向量线性无关,所以k1k2ks0.(2) 当ki0时, ai = -(k1a1+k2a2+ki-1ai-1+ki+1ai1 +ksas),下证对于任意时kj0. 反设kj=0, 则ai可由ss-1个向量线性无关矛盾,所以此时k1,k2，ks全不为零.14. 设a1(1, 1), a2(2, 2), a3(0, 1) , a4(1, 0)都是F2中的向量. 写出a1, a2, a3, a4的所有极大无关组. 解 a1, a3 ; a1, a4 ; a2 ,a3 ; a2 ,a4 ; a3 ,a4 .15. 设A1,A2, A3,A4ÎM2×2(F).求向量空间M2×2(F)中向量组A1, A2,A3, A4的秩及其极大无关组. 解 秩A1, A2,A3, A4=3, A1, A2,A3是向量组A1, A2, A3, A4的一个极大无关组.16设由F4中向量组a1=(3，1，2，5)，a2(1，1，1，2)，a3(2，0，1，3)，a4 =(1，1，0，1)，a5 =(4，2，3，7). 求此向量组的一个极大无关组.解 (a1,a2,a3,a4,a5)= ()A , 其中A=, 则秩A=2.又(a1,a2 )= ()B , 其中B=. 秩B=2, 故a1,a2线性无关, 它是向量组a1,a2,a3,a4,a5的一个极大无关组.17. 证明，如果向量空间V的每一个向量都可以唯一表成V中向量a1, a2, , an的线性组合，那么dim Vn. 证明 由条件零向量可唯一的表示成a1, a2, , an的线性组合, 这说明a1, a2, , an线性无关, 故可作为V的基, 从而dim Vn.18. 设b1, b2，bn是F上n(>0)维向量空间V的向量，并且V中每个向量都可以由b1, b2，bn线性表示. 证明, b1, b2，bn是V的基. 证明 由条件标准正交基 e1, e2, ,en可由b1, b2，bn线性表示, 反过来b1, b2，bn又可由 e1, e2, ,en线性表示,所以 e1, e2, ,en和b1, b2，bn等价. 由 e1, e2, ,en线性无关知b1, b2，bn线性无关,又因V中每个向量都可以由b1, b2，bn线性表示, 由基的定义知b1, b2，bn是V的基.19. 复数集C看作实数域R上的向量空间（运算: 复数的加法，实数与复数的乘法）时，求C的一个基和维数. 解 基为1, i； dim C2.20. 设V是实数域R上全体n阶对角形矩阵构成的向量空间（运算是矩阵的加法和数与矩阵的乘法）. 求V的一个基和维数.解 基为Eii (i=1,2, ,n)； dim Vn.21. 求§中例9给出的向量空间的维数和一个基. 解 任意一个不等于1的正实数都可作为V 的基； dim V1.22. 在R3中，求向量a(1, 2, 3)在基e1(1, 0, 0)，e2(1, 1, 0)，e3(1, 1, 1)下的坐标.解 (-1,-1,3)T .23. 求R3中由基a1, a2, as 到基b1, b2, b3 的过渡矩阵，其中a1(1, 0, -1), a2(-1, 1, 0), a3(1, 2, 3)，b1(0, 1, 1), b2(1, 0, 1), b3(1, 1, 1). 解 所求过渡矩阵为.24. 设a1, a2, an是向量空间V的一个基，求由这个基到基a3, a4, , an，a1, a2的过渡矩阵. 解 所求过渡矩阵为.25. 已知F3中向量a关于标准基e1(1, 0, 0)，e2(0, 1, 0) ，e3(0, 0, 1)的坐标是(1, 2, 3)，求a关于基b1(1, 0, 1), b2(0, 1, 1), b3(1, 1, 3)的坐标. 解 (1,2,0)T.26. 判断Rn的下列子集哪些是子空间(其中R是实数域，Z是整数集). (1) (a1, 0, , 0, an)| a1, an ÎR;(2) (a1, a2, , an)|，a1, a2, , anÎR;(3) (a1, a2, , an)|ai ÎZ, i1, 2, , n ;解 (1) 是; (2) 是; (3) 不是(数乘不封闭).27. 设V是一个向量空间，且V¹0. 证明，V不能表成它的两个真子空间的并集. 证明 设W1与W2是V的两个真子空间 (1) 若，则W1W2= W2V ;(2) 若,则W1W2= W1V ;(3) 若且, 取但,但, 那么,否则将有,这与矛盾, 同理, 所以V中有向量,即V.28. 设V是n维向量空间，证明V可以表示成n个一维子空间的直和. 证明 设a1, a2, an是向量空间V的一个基, L(a1),L(a2) , L(an)分别是由a1, a2, an生成的向量空间, 要证L(a1+a2+an)=L(a1)L(a2)L L (an)(1) 因为a1, a2, an是V的一个基, 所以V中任一向量a都可由a1, a2, an线性表示, 此即L (a1+a2+an)= L (a1)+ L (a2)+ L (an). (2) 对任意ij1,2, n,下证L (ai)L (aj)=0. 反设存在0 L (ai)L (aj),由 L(ai)知存在k使得=kai； 由 L (aj)知存在使得=aj , 从而ai =aj , 即a1与a2线性相关, 矛盾, 所以L (ai)L (aj)=0.综上, L (a1+a2+an)= L (a1) L (a2) L(an).29. 在R3中给定两个向量组a1(2, -1, 1, -1), a2(1, 0, -1, 1),b1(-1, 2, -1, 0), b2(2, 1, -1, 1). 求L (a1, a2)L (b1, b2) 的维数和一个基. 解 取R4的标准正交基,于是(a1, a2, b1, b2)= ()A,其中 A= , 秩A = 4. 故a1, a2, b1, b2线性无关, 又因为L (a1, a2)L (b1, b2)=0,所以dim L (a1, a2) + dim L (b1, b2)= 4, a1, a2, b1, b2是它的基.30. 设W1, W2都是向量空间V的子空间，证明下列条件是等价的：(1) W1ÍW2;(2) W1W2W1;(3) W1W2W2. 证明 (i) (1)(2) 因为W1ÍW2 , 所以W1W2W1. (ii) (2)(3) W1W2 =a1+a2 | a1W1, a2W2 由(2)知对任意aW1, 都有aW2 , 所以W1W2 =a1+a2 | a1, a2W2=W2 .(iii) (3)(1) W1W2 =a1,+a2 | a1W1, a2W2=W2 , 说明对任意aW1, 都有aW2 , 此即W1ÍW2 .31. 设V是实数域R上n阶对称矩阵所成的a2向量空间；W是数域R上n阶上三角矩阵所成的向量空间，给出V到W的一个同构映射. 解 对V (A=(aij)且aij= aji)和BW(B=(aij),当i>j时, aij=0)定义f : V W AB 易验证f 是V到W的一个同构映射.32. 设V与W都是数域F上的向量空间，f是V到W的一个同构映射，证明a1, a2, , an是V的基当且仅当f (a1), f (a2), , f (an)是W的基. 证明 设a1, a2, , an是V的基.(1) 由a1, a2, , an线性无关知f (a1), f (a2), , f (an) 线性无关.(2) 任取W, 由f是同构映射知存在V使得f()=.但=, aiF, f()=f()=. 由的任意性知f (a1), f (a2), , f (an)是W的基.反过来, f (a1), f (a2), , f (an)是W的基(1) 由f (a1), f (a2), , f (an)线性无关知a1, a2, , an线性无关.(2) 任取V , 由f是同构映射知存在W 使得f()=.但= f(), kiF, 从而=, kiF. 由的任意性知 a1, a2, , an是V的基.