等腰三角形三线合一(7页).doc
-等腰三角形三线合一-第 7 页1、如图，已知AC平分BAD,CEAB于E，CFAD于F，且BC="CD." （1）求证：BCEDCF（2）若AB=17，AD=9，求AE的长. 2、如图，已知AB=AC,A=36°，AB的中垂线MN交AC于点D,交AB于点M,求证：（1）BD平分ABC；（2）BCD为等腰三角形. 3、已知：如图BAC的角平分线与BC的垂直平分线DG交于点D,DEAB,DFAC,垂足分别为E，F试说明：BE=CF；若AF=3，BC=4，求ABC的周长4、如图，ABC中，ACBC，ACB90°，点D为BC的中点，点E与点C关于直线AD对称，CE与AD、AB分别交于点F、G，连接BE、BF、GD求证：(1) BEF为等腰直角三角形 ；（2) ADCBDG.5、如图，在等腰RtABC中，C90°，D是斜边上AB上任一点，AECD于E，BFCD交CD的延长线于F，CHAB于H点，交AE于G（1）试说明AHBH（2）求证：BDCG（3）探索AE与EF、BF之间的数量关系6、（本题14分）如图（1），在ABC和EDC中，D为ABC边AC上一点，CA平分BCE，BCCD，ACCE. （1）求证：ABCEDC；（2）如图（2），若ACB60°，连接BE交AC于F，G为边CE上一点，满足CGCF，连接DG交BE于H.求DHF的度数；若EB平分DEC，试说明：BE平分ABC.参考答案1、（1）证明见解析（2）12、（1）证明见解析（2）证明见解析3、(1)证明详见解析；(2)104、（1）证明见解析；（2）证明见解析.5、（1）见解析；（2）见解析；（3）AE=EFBF，理由见解析6、（1）略 （2）DHF="60°" 略【解析】1、试题分析：(1)根据角平分线的性质可以得出CF="CE," 在证明就可以得出DF=BE；(2)先证明，就可以得出AF=AE，设DF=BE=x，就可以得出8+x=10-x，求出方程的解即可.试题解析：（1）AC平分BAD,CEAB于E,CFAD于FCE=CF, 在RtBCE和RtDCF中, CE=CFBC=CD,RtBCERtDCF （HL） （2）由（1）得，RtBCERtDCFDF=EB，设DF=EB=X 由RtAFCRtAEC（HL） 可知AF=AE 即：AD+DF=AB-BE AB=17，AD=9，DF=EB=x9+x=17-x 解得，x=4 AE=AB-BE=17-4=1点睛：本题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等直角三角形全等的判定定理是SAS，ASA，AAS，SSS，HL2、试题分析：（1）由AB的中垂线MN交AC于点D，交AB于M，求得ABD是等腰三角形，即可求得ABD的度数，然后根据等边对等角，求得DBC的度数，从而得证；（2）根据（1）的结论和外角的性质，可得BDC=C，再根据等角对等边得证.试题解析：（1）MN为AB的中垂线，AD=BD，则A=ABD=36°，AB=AC，A=36°，ABC=C=72°，DBC=36°，因此，BD平分ABC；（2）由和2="36°" C="72°" ，BDC=180°-36°-72°=72°，C=ABD+DBC=BDC，BCD为等腰三角形.3、试题分析：（1）连接DB、DC，根据角平分线性质和垂直平分线的性质得：DE=DF，DB=DC，证明RtBEDRtCFD（HL），得出结论；（2）先证明AEDAFD，得AF=AE=3，再将ABC的周长进行等量代换，即ABC的周长=AB+AC+BC=AE+EB+AFCF+BC，代入求值即可试题解析：连接DB、DC，（1）AD平分BAC，DEAB，DFAC，DE=DF，DG垂直平分BC，DB=DC，在RtBED和RtCFD中，DE=DF，BD=CD，RtBEDRtCFD（HL），BE=CF；（2）DAE=DAF，AED=AFD=90°，AD=AD，AEDAFD，AF=AE=3，由（1）得：BE=CF，ABC的周长=AB+AC+BC=AE+EB+AFCF+BC=AE+AF+BC=3+3+4=10考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质4、试题分析：（1）连接DE，根据对称轴和线段垂直平分线的性质，求出CF=EF，CD=DE，推出CD=ED=BD，根据直角三角形的判定推出BEF是直角三角形，求出AFC=BEC=ACD=90°，CAF=ECB，根据全等三角形的判定定理得出ACFCBE，根据全等三角形的性质得证；（2）作ACB的平分线交AD于M，根据ASA推出ACMCBG得出ADC=M，CD=BM，根据SAS推出DCMDBG，求出M=BDG，即可得出答案.试题解析：（1）连接DE，点E、C关于AD对称，AD为CE的垂直平分线，CD=DE，D为CB中点，CD=DE=DB，DCE=CED，DEB=DBE，DCE+CED+DEB+DBE=180°，CEB=90°，ECB+ACF=90°，CAF+ACF=90°，ECB=CAF，在ACF和CBE中，ACFCBE（AAS），CF=BE，右CF=EF，EF=EB，EFB为等腰直角三角形.（2）作ACB的平分线交AD于M，在ACM和CBG中，ACMCBG（ASA），CM=BG，在DCM和DBG中，DCMDBG（SAS），ADC=GDB.5、试题分析：（1）根据等腰三角形的三线合一证明；（2）证明ACGCBD，根据全等三角形的性质证明；（3）证明ACECBF即可试题解析：（1）AC=BC，CHABAHBH（2）ABC为等腰直角三角形，且CHABACG45°CAGACE90°，BCFACE90°CAGBCF在ACG和CBD中 ACGCBD（ASA）BDCG（3）AE=EFBF理由如下：在ACE和CBF中， ACECBF，AE=CF，CE=BF，AE=CF=CE+EF=BF+EF6、（1）CA平分BCE，ACB=ACE.在ABC和EDC中BCCD，ACB=ACE，ACCEABCEDC（SAS）（2）在BCF和DCG中BC=DC,BCD=DCE,CF=CG,BCFDCG（SAS）,CBF=CDG.CBF+BCF=CDG+DHFBCF=DHF=60°.EB平分DEC，DEH=BEC.DHF=60°,HDE=60°-DEH.BCE=60°+60°=120°,CBE=180°-120°-BEC=60°-BEC.HDE=CBE. A=DEG.ABCEDC, BCFDCG（已证）BFC=DGC，ABF=BFC-A,HDE=DGC-DEG,ABF=HDE,ABF=CBE,BE平分ABC.
