初等变换与初等矩阵.ppt

华南农业大学理学院应用数学系,线性代数,多媒体教学课件,Linear Algebra,1.2 初等变换与初等矩阵,1.2.1 初等变换,1.2.2 初等矩阵及其性质,1.2.3 初等变换与逆矩阵,m个方程， n个未知数,对此线性方程组,可做如下三种同解变换:,(1) 互换两个方程的位置;,(2) 把某一个方程的两边同乘以一个非零常数c;,(3) 将某一个方程加上另一个方程的k倍.,这三种变换都称为初等变换.,这三种变换都是可逆的,1.2.1 初等变换,设方程组 (1) 经过某一初等变换后变为另一个方程组, 则新方程组与原方程组同解.,例,解线性方程组,方程之间的变换,矩阵的行之间的变换,方程组的增广矩阵,定义,下面三种变换称为矩阵的行（列）初等变换:,交换矩阵的两行（列）; 以任意非零数乘以矩阵的某一行（列）的每一个元素; 某一行（列）的每个元素乘以同一常数加到另一行（列）的对应元素上去。,矩阵的行初等变换、列初等变换统称为矩阵的初等变换。,行变换 Row,列变换 Column,交换i, j两行,第 i 行乘数K,第 i行乘数K后加到第 j 行上去,交换i, j两列,第 i 列乘数K,第 i 列乘数K后加到第 j 列上去,矩阵初等变换的符号表示,第j行变,第j列变,第i行变,第i、j行变,第i列变,第i、j列变,例 利用矩阵的行初等变换解方程组,解 将方程组的增广矩阵作行初等变换,续解,得同解方程组,原方程组的解为,1.2.2 初等矩阵及其性质,定义,由单位阵I 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。,初等矩阵有三种类型:,(1) 对调I 中的第 i, j 行,得到的矩阵记为,对调I 中的第 i, j 列,得到的矩阵记为,(2) 用不为零的数乘以I 中的第i行,得到的矩阵记为,用不为零的数乘以I 中的第 i 列,得到的矩阵记为,(3) 以数乘以I 中的第i行加到第j行去,得到的矩阵记为,以数乘以I 中的第j列加到第i列去,得到的矩阵记为,注意！,结论：初等矩阵可逆, 并且其逆矩阵也是同一类型的初等矩阵,性质1.5 用初等矩阵左乘某矩阵,其结果等价于对该矩阵作相应的初等行变换;用初等矩阵右乘某矩阵,其结果等效于对该矩阵作相应的初等列变换.,例,定理1.2 有限个初等矩阵的乘积必可逆.,用初等矩阵左乘(右乘)一个矩阵, 相当于对该矩阵施行了使单位阵变成这个初等矩阵的同一行(列)的初等变换, 即,（）,（）,（）,例,我们将第一行和第三行交换一下, 可以用,而得到.,例,我们将第二列和第三列交换一下, 可以用,得到.,同学们可以验证一下.,小结,矩阵A左乘一个初等矩阵，相当于将A作相应的初等行变换；右乘一个初等矩阵，相当于将A作相应的列初等变换。即如下式子成立：,（1）,（2）,（3）,证明,定理1.3 可逆矩阵A可以经过有限次初等行变换化为单位阵I，即可逆矩阵A与单位矩阵I 等价.,定理1.4 为可逆方阵的充分必要条件是存在有限个初等矩阵,证明：（必要性）,因为为可逆方阵,故存在初等矩阵,使得,故,现在给出求逆阵的另一种方法:,因为,原理:,由定理1.4得出求逆矩阵的另一种方法:,实际做法:,行,原理:,1.2.3 初等变换与逆矩阵,例 求下列矩阵的逆,解,课堂练习：,1、利用矩阵的初等变换求下列矩阵的逆矩阵,2、利用初等变换求解线性方程组,答案,1、（1）,2、,同理可以用初等列变换求逆矩阵,注意： 在这两种求逆矩阵的过程中， 初等行变换和初等列变换不能 混用。,为什么？,习题1 P39 1.7(2) 1.8(2）,作业,