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-离散数学课后习题答案_(左孝凌版)-第 17 页习题 1-5（1） 证明：a) (P(PQ)QÛ (P(PQ)Q Û(PP)(PQ)Q Û(PQ)QÛ(PQ)Q ÛPQQ ÛPTÛTb) P(PQ) ÛP(PQ)Û (PP)Q ÛTQÛTc) (PQ)(QR)(PR)因为(PQ)(QR)Þ(PR)所以 (PQ)(QR)为重言式。d) (ab)(bc) (ca)«(ab)(bc)(ca)因为(ab)(bc)(ca)Û(ac)b)(ca)Û(ac)(ca)(b(ca)Û(ac)(bc)(ba)所以(ab)(bc) (ca)«(ab)(bc)(ca) 为重言式。（2） 证明：a)(PQ)ÞP(PQ) 解法1：设PQ为T （1）若P为T，则Q为T，所以PQ为T，故P(PQ)为T（2）若P为F，则Q为F，所以PQ为F，P(PQ)为T命题得证解法2：设P(PQ)为F ，则P为T，(PQ)为F ，故必有P为T，Q为F ，所以PQ为F。解法3：(PQ) (P(PQ)Û(PQ)(P(PQ)Û(PQ)(PP)(PQ)ÛT所以(PQ)ÞP(PQ)b)(PQ)QÞPQ设PQ为F，则P为F，且Q为F，故PQ为T，(PQ)Q为F，所以(PQ)QÞPQ。c)(Q(PP)(R(R(PP)ÞRQ设RQ为F，则R为T，且Q为F，又PP为F所以Q(PP)为T，R(PP)为F所以R(R(PP)为F，所以(Q(PP)(R(R(PP)为F即(Q(PP)(R(R(PP)ÞRQ成立。（3） 解：a) PQ表示命题“如果8是偶数，那么糖果是甜的”。b) a)的逆换式QP表示命题“如果糖果是甜的，那么8是偶数”。c) a)的反换式PQ表示命题“如果8不是偶数，那么糖果不是甜的”。d) a)的逆反式QP表示命题“如果糖果不是甜的，那么8不是偶数”。（4） 解：a) 如果天下雨，我不去。设P：天下雨。Q：我不去。PQ 逆换式QP表示命题:如果我不去，则天下雨。逆反式QP表示命题:如果我去，则天不下雨b) 仅当你走我将留下。设S：你走了。R：我将留下。RS逆换式SR表示命题：如果你走了则我将留下。逆反式SR表示命题：如果你不走，则我不留下。c) 如果我不能获得更多帮助，我不能完成个任务。设E：我不能获得更多帮助。H：我不能完成这个任务。EH逆换式HE表示命题：我不能完成这个任务，则我不能获得更多帮助。逆反式HE表示命题：我完成这个任务，则我能获得更多帮助（5） 试证明P«Q，Q逻辑蕴含P。证明：解法1：本题要求证明(P«Q) QÞP, 设(P«Q) Q为T，则(P«Q)为T，Q为T，故由«的定义，必有P为T。所以(P«Q) QÞP解法2：由体题可知，即证(P«Q)Q)P是永真式。 (P«Q)Q)P Û (PQ) (PQ) Q)PÛ (PQ) (PQ) Q) P Û (PQ) (PQ) Q) PÛ (QPQ) (QPQ) P Û (QP) T) PÛQPPÛQT ÛT（6） 解：P：我学习 Q：我数学不及格 R：我热衷于玩扑克。如果我学习，那么我数学不会不及格： PQ如果我不热衷于玩扑克，那么我将学习: RP 但我数学不及格: Q因此我热衷于玩扑克。 R即本题符号化为：(PQ)(RP)QÞR证：证法1：(PQ)(RP)Q)R Û (PQ)(RP)Q) RÛ (PQ)(RP)QR Û (QP)(QQ)(RR)(RP)Û QPRPÛ T所以，论证有效。证法2：设(PQ)(RP)Q为T，则因Q为T，(PQ) 为T，可得P为F，由(RP)为T，得到R为T。故本题论证有效。（7） 解：P：6是偶数 Q：7被2除尽 R：5是素数如果6是偶数，则7被2除不尽 PQ或5不是素数，或7被2除尽 RQ5是素数 R所以6是奇数 P即本题符号化为：（PQ）（RQ）R ÞP证：证法1：(PQ)(RQ)R)PÛ (PQ) (RQ) R) PÛ (PQ) (RQ) R) P Û (PP) (PQ) (RR) (RQ)Û (PQ) (RQ)ÛT所以，论证有效，但实际上他不符合实际意义。证法2：(PQ)(RQ)R为T，则有R为T，且RQ 为T，故Q为T，再由PQ为T，得到P为T。（8） 证明：a) PÞ(PQ) 设P为T，则P为F，故PQ为Tb) ABCÞC假定ABC为T，则C为T。c) CÞABB因为ABB为永真，所以CÞABB成立。d) (AB) ÞAB 设(AB)为T，则AB为F。若A为T，B为F，则A为F，B为T，故AB为T。若A为F，B为T，则A为T，B为F，故AB为T。若A为F，B为F，则A为T，B为T，故AB为T。命题得证。e) A(BC)，DE，(DE)AÞBC设A(BC)，DE，(DE)A为T，则DE为T，(DE)A为T，所以A为T又A(BC)为T，所以BC为T。命题得证。f) (AB)C，D，CDÞAB设(AB)C，D，CD为T，则D为T，CD为T，所以C为F又(AB)C为T，所以AB为F，所以AB为T。命题得证。（9）解：a) 如果他有勇气，他将得胜。P：他有勇气 Q：他将得胜 原命题：PQ 逆反式：QP 表示：如果他失败了，说明他没勇气。b) 仅当他不累他将得胜。P：他不累 Q：他得胜 原命题：QP 逆反式：PQ 表示：如果他累，他将失败。习题 1-6(1)解：a) (PQ)PÛ(PP)QÛ(TQ)b) (P(QR) PQÛ (P(QR)PQÛ(PPQ)(QPQ)(RPQ) Û(PQ)(PQ)(PRQ)ÛPQÛ(PQ) c) PQ(RP)ÛPQ(RP) Û(PQR)(PQP)Û(PQR)FÛPQRÛ(PQR)(2) 解：a)PÛ PPb)PQÛ(PQ) Û (PQ)(PQ)c)PQÛPQÛ (PP)(QQ)(3)解：P(PQ) ÛP(PQ)ÛTÛPP Û (PP)(PP)ÛP(PP) P(PQ) ÛP(PQ)ÛTÛPP Û(PP)Û(PP)P)Û(PP)P)(PP)P)(4)解： PQÛ(PQ)Û(PP)(QQ)Û (PP)(QQ)(PP)(QQ)(5)证明：(BC)Û(BC) Û BC(BC)Û(BC)ÛBC(6)解：联结词“”和“”不满足结合律。举例如下：Ûa)给出一组指派：P为T，Q为F，R为F，则(PQ)R为T，P(QR)为F故 (PQ)R P(QR).Ûb)给出一组指派：P为T，Q为F，R为F，则(PQ) R为T，P(QR)为F故(PQ)R P(QR).(7)证明：设变元P，Q，用连结词«,作用于P，Q得到：P，Q，P，Q，P«Q，P«P，Q«Q，Q«P。但P«QÛQ«P，P«PÛQ«Q，故实际有：P，Q，P，Q，P«Q，P«P（T） （A）用作用于（A）类，得到扩大的公式类（包括原公式类）：P，Q，P，Q，（P«Q）， T，F， P«Q （B）用«作用于（A）类，得到：P«Q，P«PÛF，P«QÛ（P«Q），P«（P«Q）ÛQ，P«（P«P）ÛP，Q«PÛ（P«Q），Q«QÛF，Q«（P«Q）ÛP，Q«TÛQ, P«QÛP«Q，P«（P«Q）ÛQ，P«TÛP, Q«（P«Q）ÛP，Q«TÛQ,（P«Q）«（P«Q）ÛP«Q.因此，（A）类使用运算后，仍在（B）类中。对（B）类使用运算得：P，Q，P，Q， P«Q， F，T，（P«Q）， 仍在（B）类中。对（B）类使用«运算得：P«Q，P«PÛF，P«QÛ（P«Q），P«（P«Q）ÛQ，P«TÛP，P«FÛP，P«（P«Q）ÛQ， Q«PÛ（P«Q），Q«QÛF，Q«（P«Q）ÛP，Q«TÛQ, Q«FÛQ， Q«（P«Q）ÛP， P«QÛP«Q，P«（P«Q）ÛQ，P«TÛP, P«FÛP,P«（P«Q）ÛQ， Q«（P«Q）ÛP，Q«TÛQ, Q«TÛQ,Q«（P«Q）ÛP，（P«Q）«TÛ（P«Q），（P«Q）«FÛP«Q，（P«Q）«（P«Q）ÛFT«FÛF，T«（P«Q）Û P«QF«（P«Q）Û （P«Q）（P«Q）«（P«Q）ÛP«Q.故由（B）类使用«运算后，结果仍在（B）中。由上证明：用«,两个连结词，反复作用在两个变元的公式中，结果只能产生（B）类中的公式，总共仅八个不同的公式，故«,不是功能完备的，更不能是最小联结词组。已证«,不是最小联结词组，又因为P QÛ （P«Q），故任何命题公式中的联结词，如仅用 , 表达，则必可用«,表达，其逆亦真。故 , 也必不是最小联结词组。(8)证明，和不是最小联结词组。证明：若，和是最小联结词，则 PÛ（PP） PÛ（PP） PÛP(P(P)对所有命题变元指派T，则等价式左边为F，右边为T，与等价表达式矛盾。c所以，和不是最小联结词。(9)证明,和, 是最小联结词组。证明：因为,为最小联结词组，且PQÛPQ所以,是功能完备的联结词组，又,都不是功能完备的联结词组。ccc所以,是最小联结词组。c又因为PQÛ(P Q)，所以, 是功能完备的联结词组，又, 不是功能完备的联结词组，所以, 是最小联结词组。习题 1-7(1) 解：P(PQ) ÛP(PQ) Û (PP)(PQ) P(PQ)Û (P(QQ)(PQ)Û (PQ)(PQ)(PQ)(2) 解：a) (PQ)R Û(PQ)R Û PQR Û(PQ)(PQ) (QR)(QR)(RP)(RP) b) P(QR)S)ÛP(QR)S) ÛPQRS Û(PQ)(PQ) (QR)(QR)(RS)(RS)(SP)(SP) c) (PQ)(ST)Û(PQ)(ST)Û(PQS)(PQT)d) (PQ)RÛ(PQ)RÛ(PQ)R Û(PR)(QR) e) (PQ)(PQ)Û(PQ)(PQ)Û(PP)(PQ)(QP)(QQ)Û (PQ)(QP)(3) 解：a) P(PQR) Û(PP)(PQ)(PR) Û(PQ)(PR) b) (PQ)(PQ)Û(PQ)(PQ)Û(PQ)(PQ) Û(PPQ)(QPQ) c) (PQ)Û(PQ)Û PQÛ(PQ)(PQ)(QP)d) (PQ)RÛ(PQ)RÛ (PQ)RÛ (PR)(QR)e) (PQ)(PQ)Û(PP)(PQ)(QP)(QQ)Û(PQ)(QP)(4) 解：a) (PQ)(P«Q)Û(PQ) (P«Q)Û (PQ) (PQ)(PQ) Ûå1，2，3ÛPQ=P0b) Q(PQ)Û (PQ)(QQ)Û PQ =å3ÛP0，1，2 Û(PQ)(PQ) (PQ)c) P(P(Q(QR)ÛP(P(Q(QR) ÛPQR=P0Ûå1，2，3,4,5,6,7=(PQR) (PQR) (PQR) (PQR) (PQR) (PQR) (PQR)d) (P(QR) )(P(QR) Û (P(QR) (P(QR)Û (PP) (P(QR) (QR) P) (QR) (QR)Û (PQR) (PQR) =å0,7ÛP1，2，3,4,5,6Û (PQR) (PQR) (PQR) (PQR) (PQR) (PQR)e) P(P(QP) ÛP(P(QP)Û(PP)(PQP) ÛT(TQ) ÛTÛå0,1,2,3= (PQ) (PQ) (PQ) (PQ)f) (QP) (PQ) Û (QP) PQÛ (QP) (PQ) ÛFÛP0,1，2，3= (PQ) (PQ) (PQ) (PQ)(5) 证明：(AB) (AC) Û (AB) (AC)A(BC) ÛA(BC) Û (AB) (AC)(AB) (AB)Û(AB) (AB)Û (AB) (AB)ÛA(BB)ÛATÛA(AB) (BA)Û (AB) (BA)ÛA(BB) ÛAFÛAc) AB(AB)Û (AA)(AB)B ÛABB ÛFAB(AB)Û (AA)(AB)BÛABBÛFd) A(A(AB)ÛAA(AB)ÛTAB(AB)Û(AB) (AB)ÛT (6)解：AÛR(Q(RP),则A*Û R(Q(RP)AÛR(Q(RP)Û(R(Q(RP) ÛRQ(RP)Û(RQ) (RP)A*ÛR(Q(RP)Û(R(Q(RP) ÛRQ(RP)Û(RQ) (RP)(7) 解：设A：A去出差。B：B去出差。C：C去出差。D：D去出差。若A去则C和D中要去一个。 A(CD)B和C不能都去。 (BC)C去则D要留下。 CD按题意应有：A(CD)，(BC)，CD必须同时成立。因为CD Û (CD) (DC)故(A(CD)(BC) (CD) Û (A(CD) (DC) (BC) (CD)Û (A(CD) (DC) (BC) (CD)Û (A(CD) (DC) (BC) (BD) (CD) C)Û (ABC) (ABD) (ACD) (AC) (BCD) (CDBD) (CDCD) (CDC) (DCBC) (DCBD) (DCCD) (DCC)在上述的析取范式中，有些（画线的）不符合题意，舍弃，得(AC) (BCD) （CD）(DCB)故分派的方法为：BD ,或 DA,或 CA。(8) 解：设P：A是第一。Q：B是第二。R：C是第二。S：D是第四。E：A是第二。 由题意得 (PQ) (RS) (ES) Û (PQ) (PQ) (RS) (RS) (ES) (ES) Û (PQRS) (PQRS) (PQRS) (PQRS)(ES)(ES) 因为 (PQRS)与(PQRS)不合题意，所以原式可化为 (PQRS) (PQRS)(ES) (ES)Û (PQRSES) (PQRSES) (PQRSES)(PQRSES)Û (PQRSE) (PQRSE)因R与E矛盾，故PQRSE为真，即A不是第一，B是第二，C不是第二，D为第四，A不是第二。于是得： A是第三 B是第二 C是第一 D是第四。习题1-8(1)证明：a)(PQ)，QR，RÞP(1) R P(2) QR P (3) Q (1)(2)T,I (4) (PQ) P(5) PQ (4)T,E(6) P (3)(5)T,Ib)J(MN)，(HG)J，HGÞMN(1) (HG) J P(2) (HG) P(3) J (1)(2)T,I(4) J(MN) P(5) MN (3)(4)T,Ic)BC，(B«C)(HG) ÞGH(1) BC P (2) B (1)T,I (3) C (1)T,I (4) BC (2)T,I(5) CB (3)T,I(6) CB (4)T,E(7) BC (5)T,E(8) B«C (6)(7)T,E(9) (B«C) (HG) P (10) HG (8)(9)T,Id)PQ，(QR)R，(PS) ÞS(1) (QR) R (2) QR (1)T,I(3) R (1)T,I(4) Q (2)(3)T,I(5) PQ P(6) P (4)(5)T,I(7) (PS) P(8) PS (7)T,E(9) S (6)(8)T,I(2) 证明：a)AB，CBÞAC(1) (AC) P (2) A (1)T,I(3) C (1)T,I(4) AB P(5) B (2)(4)T,I(6) CB P(7) B (3)(6)T,I(8) BB 矛盾。(5),(7)b)A(BC)，(CD)E，F(DE) ÞA(BF)(1) (A(BF) P(2) A (1)T,I(3) (BF) (1)T,I(4) B (3)T,I(5) F (3)T,(6) A(BC) P(7) BC (2)(6)T,I(8) C (4)(7)T,I(9) F(DE) P (10) DE (5)(9)T,I(11) D (10)T,I(12) CD (8)(11)T,I (13) (CD) E P(14) E (12)(13)T,I(15) E (10)T,I(16) EE 矛盾。(14),(15)c)ABCD，DEFÞAF(1) (AF) P(2) A (1)T,I(3) F (1)T,I(4) AB (2)T,I(5) (AB) CD P(6) CD (4)(5)T,I(7) C (6)T,I(8) D (6)T,I(9) DE (8)T,I(10) DEF P(11) F (9)(10)T,I(12) FF 矛盾。(3),(11)d)A(BC)，BD，(EF)D，B(AE) ÞBE(1) (BE) P(2) B (1)T,I(3) E (1)T,I(4) BD P(5) D (2)(4)T,I(6) (EF) D P (7) (EF) (5)(6)T,I(8) E (7)T,I(9) EE 矛盾e)(AB)(CD)，(BE)(DF)，(EF)，ACÞA(1) (AB) (CD) P(2) AB (1)T,I(3) (BE) (DF) P(4) BE (3)T,I(5) AE (2)(4)T,I(6) (EF) P(7) EF (6)T,E(8) EF (7)T,E(9) AF (5)(8)T,I(10) CD (1)T,I(11) DF (3)T,I(12) CF (10)(10)T,I(13) AC P(14) AF (13)(12)T,I(15) FA (14)T,E(16) AA (9)(15)T,I(17) AA (16)T,E(18) A (17) T,E(3) 证明：a)AB，CBÞAC(1) A P(2) AB P(3) B (1)(2)T,I(4) CB P(5) C (3)(4)T,I(6) AC CPb)A(BC)，(CD)E，F(DE) ÞA(BF)(1) A P (2) A(BC) P (3) BC (1)(2)T,I(4) B P (5) C (3)(4)T,I(6) (CD) E P (7) C(DE) (6)T,E(8) DE (5)(7)T,I(9) DE (8)T,E(10) (DE) (9)T,E(11) F(DE) P(12) F (10)(11)T,I(13) BF CP(14) A(BF) CPc)ABCD，DEFÞAF(1) A P(2) AB (1)T,I(3) ABCD P(4) CD (2)(3)T,I(5) D (4)T,I(6) DE (5)T,I(7) DEF P(8) F (6)(7)T,I(9) AF CPd)A(BC)，BD，(EF)D，B(AE) ÞBE(1) B P(附加前提)(2) BD P(3) D (1)(2)T,I(4) (EF)D P(5) (EF) (3)(4)T,I(6) E (5)T,I(7) BE CP(4)证明：a) RQ，RS，SQ，PQÞP(1) RQ P(2) RS P(3) SQ P(4) Q (1)(2)(3)T,I(5) PQ P(6) P (4)(5)T,Ib) SQ，SR，R，P«QÞP证法一：(1) SR P (2) R P(3) S (1)(2)T,I (4) SQ P (5) Q (3)(4)T,I (6) P«Q P(7)(PQ)(QP) (6)T,E(8) PQ (7)T,I (9) P (5)(8)T,I 证法二：（反证法）(1) P P（附加前提）(2) P«Q P(3)（PQ）（ QP） (2)T，E(4) PQ (3)T,I(5) Q (1)(4)T,I(6) SQ P(7) S (5)(6)T,I(8) SR P(9) R (7)(8)T,I(10) R P(11) RR 矛盾（9）（10）T，Ic)(PQ)(RS)，(QP)R)，RÞP«Q(1) R P(2) (QP) R P(3) QP (1)(2)T,I(4)(PQ) (RS) P(5) (RS) (PQ) (4)T,E(6) RS (1)T,I(7) PQ (5)(6)(8) (PQ) (QP) (3)(7)T,I(9) P«Q (8)T,E(5) 解：a) 设P：我跑步。Q：我很疲劳。 前提为：PQ，Q (1) PQ P (2) Q P (3) P (1)(2)T,I 结论为：P，我没有跑步。b) 设S：他犯了错误。 R：他神色慌张。前提为：SR，R 因为（SR）RÛ（SR）RÛR。故本题没有确定的结论。 实际上，若S R为真，R为真,则S可为真，S也可为假，故无有效结论。c) 设P：我的程序通过。 Q：我很快乐。R：阳光很好。 S：天很暖和。（把晚上十一点理解为阳光不好）前提为：PQ，QR，RS (1) PQ P (2) QR P (3) PR (1)(2)T,I (4) RS P (5) R (4)T,I (6) P (3)(5)T,I结论为： P，我的程序没有通过习题2-1,2-2（1） 解：a) 设W（x）：x是工人。c：小张。则有 ¬W（c）b) 设S（x）：x是田径运动员。B（x）：x
