单位圆与三角函数线.ppt

复习三角函数的坐标法定义,自主学习,前面我们学习了三角函数的坐标法定义，三角函数在各象限内的符号，学习了任意角的三角函数。,由三角函数的定义我们知道，对于角的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法几何表示法,1.2.1 单位圆与三角函数线,-三角函数的几何表示法,目标定位 (一)学习目标 1理解任意角的三角函数线的概念 2能应用三角函数线解不等式 (二)学习建议 借助单位圆会画正弦线、余弦线、正切线 (三)重点、难点 重点：画三角函数线 难点：三角函数线的应用,“疑”海拾贝,有向线段与三角函数线的关系？ 用三角函数线表示的三角函数的符号是如何确定的？,（二）有向线段与三角函数线,（1）有向线段：带有_的线段。 （2）三角函数线：如图，已知角的终边的位置，则由三角函数的定义可知点P的坐标为_，点T的坐标为_.其中sin=_,cos=_, tan=_. 把有向线段MP、OM、AT叫做的正弦线、余弦线和正切线,自主学习,我们首先建立下面的坐标系：在观览车转轮圆面所在的平面内，以观览车转轮中心为原点，以水平线为x轴，以转轮半径为单位长建立直角坐标系,设P 点为转轮边缘上的一点,它表示座椅的位置，记 ，则由正弦函数的定义可知，,1.单位圆的概念,一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆，设单位圆的圆心与坐标原点重合，则单位圆与x轴的交点分别为 A(1，0)，A(1，0). 而与y轴的交点分别为 B(0，1)，B(0，1).,(三)单位圆、有向线段的概念,2. 有向线段的概念：,带有方向的线段叫有向线段 ； 有向线段的数值由其长度大小和方向来决定。,如在数轴上，|OA|=3，|OB|=3,=3,=-3,设任意角的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x，y），过P作x轴的垂线，垂足为M； 做PN垂直y轴于点N，,则点M、N分别是点P在x轴、y轴上的正射影.,(四)用单位圆中的线段表示三角函数值,根据三角函数的定义有点P的坐标为(cos,sin),其中cos=OM，sin=ON.,这就是说，角的余弦和正弦分别等于角的终边与单位圆交点的横坐标与纵坐标.,以A为原点建立y轴与y轴同向，y轴与角的终边(或其反向延长线)相交于点T(或T )，则tan=AT(或AT ),我们把轴上的有向线段 分别叫做的余弦线、正弦线和正切线.,角的终边在四个象限的情况,题型一、利用三角函数线确定角的终边,课堂互动,例1、在单位圆中画出满足下列条件的角的终边 （1）,A,T,A1,T1,题型二、利用三角函数线解三角不等式例2、在单位圆中画出适合下列条件的角终边的范围，并写出角的集合。,例3.确定下式的符号,解： 由三角函数线得,题型三、利用三角函数线比较三角函数值的大小,五、千锤百炼,1、如图在单位圆中角的正弦线、余弦线、正切线完全正确的是（ ） A、正弦线PM,正切线 B、正弦线MP，正切线 C、正弦线MP，正切线AT D正弦线PM,正切线AT,A,T,M,P,(五)小结,1. 给定任意一个角，都能在单位圆中作出它的正弦线、余弦线、正切线。,2. 三角函数线的位置 ：,正弦线为从原点到的终边与单位圆的交点在y轴上的射影的有向线段；,余弦线为从原点到的终边与单位圆的交点在x轴上的射影的有向线段；,正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，为有向线段,3. 特殊情况： 当角的终边在x轴上时，点P与点M重合，点T与点A重合，这时正弦线与正切线都变成了一点，数量为零，而余弦线OM=1或1。 当角的终边在y轴上时，正弦线MP=1或1余弦线变成了一点，它表示的数量为零，正切线不存在。,作业,利用单位圆中的三角函数线，求满足下列条 件的角x的集合：,解答 已知(0， )，试证明sin<<tan .,证明：sin=|ON|=|MP|, =,tan=|AT|.,又,所以,即sin<<tan .,