协方差与有关系数.ppt
协方差与相关系数,对于二维随机向量(X,Y)来说,数学期望E(X)、E(Y)只反映了X与Y各自的平均值,方差只反映了X与Y各自离开均值的偏离程度,它们对X与Y之间相互关系不提供任何信息.,但二维随机向量(X,Y)的概率密度p(x,y)或分布列pij全面地描述了(X,Y)的统计规律,也包含有X与Y之间关系的信息.我们希望有一个数字特征能够在一定程度上反映这种联系.,问题的提出：,二、相关系数的概念及性质,一、协方差的概念及性质,三、协方差的关系式,定义：设二维随机向量(X,Y)的数学期望(E(X),E(Y)存在,若E(X-E(X)(Y-E(Y)存在,则称它为随机变量X与Y的协方差,记为Cov(X,Y),即 Cov(X,Y)= E(X-E(X)(Y-E(Y),协方差有计算公式 Cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y),任意两个随机变量X与Y的和的方差为 D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y),1 协方差,协方差的性质,1.,2.,4.,定理:Cov(X,Y)=Cov(Y,X),证明 Cov(X,Y)= E(X-E(X)(Y-E(Y) = E(Y-E(Y) (X-E(X) = Cov(Y,X),定理: Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),a,b是常数,证明 Cov(aX,bY)=E(aX-E(aX)(bY-E(bY) =Ea(X-E(X)b(Y-E(Y) =abEX-E(X)Y-E(Y) =abCov(X,Y),定理:Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z),证明 Cov(X+Y,Z) =E(X+Y)-E(X+Y)Z-E(Z) = E(X-E(X)+(Y-E(Y)Z-E(Z) = EX-E(X)Z-E(Z) +Y-E(Y)Z-E(Z) =EX-E(X)Z-E(Z) +EY-E(Y)Z-E(Z) =Cov(X,Z)+Cov(Y,Z),协方差的数值在一定程度上反映了X与Y相互间的联系,但它受X与Y本身数值大小的影响.如令X*=kX,Y*=kY,这时X*与Y*间的相互联系和X与Y的相互联系应该是一样的,但是,Cov(X*,Y*)=k2Cov(X,Y),为了克服这一缺点,在计算X与Y的协方差之前,先对X与Y进行标准化:,再来计算X*和Y*的协方差，这样就引进了相关系数的概念.,定义:设二维随机变量(X,Y)的方差D(X)0,D(Y)0,协方差Cov(X,Y)均存在,则称,为随机变量X与Y的相关系数或标准协方差.,2 相关系数,引理:对于二维随机向量(X,Y),若E(X2),E(Y2)存在,则有,|E(XY)|2E(X2)E(Y2),证明:考虑实变量t的二次函数,h(t)=E(tX-Y)2=t2 E(X2)-2tE(XY)+E(Y2),因为对一切t,有(tX-Y)20,所以h(t)0.,从而二次方程h(t)=0或者没有实根,或者只有重根,因而，由二次方程根的判别式知识得,|E(XY)|2E(X2)E(Y2),2.1 相关系数的性质,性质1:随机变量X和Y的相关系数满足|XY|1.,性质2: |XY|=1 的充要条件是,存在常数a,b使得 PY=a+bX=1.,性质3:若X与Y相互独立,则XY=0.,性质1:随机变量X和Y的相关系数满足|XY|1.,证明 令,则,从而|XY|1.,性质2: |XY|=1 的充要条件是,存在常数a,b使得PY=aX+b=1,证明 令,由XY2=E(X*Y*)2E(X*)E(Y*)=1,知|XY|=1等价于E(X*Y*)2-E(X*)E(Y*)=0,它又等价于h(t)=E(tX*-Y*)2=0有重根t0.,又因为E(t0X*-Y*)=t0E(X*)-E(Y*)=0,所以D(t0X*-Y*)=0,由方差的性质知它等价于 Pt0X*-Y* =0=1,即PY=aX+b=1 其中a=t0(Y)/(X),b=E(Y)- t0 E(X) (Y)/(X).,性质3:若X与Y相互独立,则XY=0.,证明 若X与Y相互独立,则E(XY)=E(X)E(Y),又 Cov(X,Y)= E(XY)-E(X)E(Y),所以,2.2 相关系数的含义,考虑以X的线性函数a+bX来近似表示Y.以均方误差 e=EY-(a+bX)2 =E(Y2)+b2E(X2)+a2-2bE(XY)+2abE(X)-2aE(Y) 来衡量以a+bX近似表达Y的好坏程度.e的值越小表示a+bX与Y的近似程度越好.为此令,从而得,解得,相关系数只是随机变量间线性关系强弱的一个度量.当|XY|=1 时,说明X与Y间存在着线性关系(除去一个零概率事件以外).当|XY|<1 时,这种线性相关程度随着XY的减小而减弱.,定义:(1) 当XY=1 时,称X与Y正线性相关; (2)当XY=-1 时,称X与Y负线性相关; (3)当XY=0时,称X与Y不相关.,注:(1) X与Y不相关,只是意味着X与Y不线性相关,但可能存在着别的函数关系; (2)若XY存在,则当X与Y独立时, X与Y一定不相关;但X与Y不相关时, X与Y不一定独立.,o,X,Y,o,o,o,X,X,X,Y,Y,Y,0<<1,-1<<0, =1, =-1,相关情况示意图,证 由协方差的定义及数学期望的性质，得,定理:,3 协方差的关系式,证 由方差公式及协方差的定义，得,定理:,解 X与Y的分布律分别为,于是,解,所以,因此,谢谢！,
