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-等腰三角形性质：三线合一”专题-第 4 页等腰三角形性质：三线合一”专题等腰三角形有一个重要的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。这就是著名的等腰三角形“三线台一”性质。“三线合一”性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两角相等。反之，如果三角形一边上的中线、这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合，那么这个三角形就是等腰三角形。【例题讲解】例1 如图所示，在等腰ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AD上。求证：BE=CE。变式练习1-1 如图，在ABC中，AB=AC，D是形外一点，且BD=CD。求证：AD垂直平分BC。变式练习1-2 已知，如图所示，AD是ABC，DE、DF分别是ABD和ACD的高。求证：AD垂直平分EF。ABBCED例二：如图ABC中，ABAC，A36°，BD平分ABC，DEAB于E，若CD4，且BDC周长为24，求AE的长度。 例三. 等腰三角形顶角为，一腰上的高与底边所夹的角是，则与的关系式为=_。图1 分析：如图1，AB=AC，BDAC于D，作底边BC上的高AE，E为垂足，则可知EAC=EAB，又，所以。 例四. 已知：如图2，ABC中，AB=AC，CEAE于E，E在ABC外，求证：ACE=B。图2 分析：欲证ACE=B，由于AC=AB，因此只需构造一个与RtACE全等的三角形，即做底边BC上的高即可。 证明：作ADBC于D， AB=AC， 又， BD=CE。 在RtABD和RtACE中， ABAC，BD=CE， RtABDRtACE（HL）。 ACE=B 例五. 已知：如图3，等边三角形ABC中，D为AC边的中点，E为BC延长线一点，CE=CD，DMBC于M，求证：M是BE的中点。图3 分析：欲证M是BE的中点，已知DMBC，因此只需证DB=DE，即证DBE=E，根据等边ABC，BD是中线，可知DBC=30°，因此只需证E=30°。 证明：联结BD， ABC是等边三角形， ABC=ACB=60° CD=CE， CDE=E=30° BD是AC边上中线， BD平分ABC，即DBC=30° DBE=E。 DB=DE 又DMBE， DM是BE边上的中线，即M是BE的中点。巩固练习一：1、已知的周长为，且，又，D为垂足，的周长为，那么AD的长为（ ）A B. C. D. 2、如图2，在ABC中，AB=AC，BAD=30，AD=AE，则EDC=（ ） 第4题图ABDEC 第2题图DABCEF第3题图A10 B. 12.5 3、如图，在ABC中，ABAC，D是BC的中点，DEAB于E，DFAC于F，则图中全等三角形共有（）A、 2对 B、3对 C、4对 D、5对4 、如图，在等腰直角ABC中，AD为斜边上的高，以D为端点任作两条互相垂直的射线与两腰相交于E、F，连结EF与AD相交于G，则AED与AGF的关系为( )AAED>AGF BAEDAGF CAED<AGF D不能确定5、如图，在ABC中，AB=AC，BD平分ABC，且BD=BE，A=84°，则DEC= CABDEADCBEAAA 第7题图BAEDFC 第5题图 第6题图6、如图，CE平分ACB，且CEBD，DA=DB，又知AC=18，CDB的周长为28，那么BE的长为 。7、如图，在等腰ABC中，ABC=90°，D为AC边上中点，过D点作DEDF，交AB于E，交BC于F，若AE=4，FC=3，则ABC的面积为 8、如图，四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于E点，若AC平分DAB，且AB=AE，AC=AD，有如下四个结论：ACBD；BC=DE；DBC=DAB；ABE是等边三角形请写出正确结论的序号 (把你认为正确结论的序号都填上)9、已知：如图2，ABC中，AB=AC，CEAE于E，E在ABC外，求证：ACE=B。10、如图ABC中，AB=AC D为AC上任意一点，延长BA到E 使得AE=AD 连接DE，求证DEBC11、已知：如图，中，是上一点，、分别为、上的点，且，为的中点，求证：12、如图，以ABC的边AB，AC为边分别向形外作正方形ABDE和ACFG，DM、FN分别垂直直线BC于M、N.若DM=FN,求证： ABC=ACB【巩固练习二】1、 等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则周长是_。2、 在ABC中，已知ABAC，AD是中线，B70°，BC15cm， 则BAC_，DAC_，BD_cm。3、 在ABC中，BAC90°，ADBC于D，AB3，AC4，则AD_。4、 已知ABC中，A n°，角平分线BE、CF相交于O，则BOC的度数应为（）（A）90°°（B）90° °（C）180°n°（B）180°°5、 下列两个三角形中，一定全等的是（ ）（A）有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形（B）两个等边三角形（C）有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形（D）有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形6、 已知：如图，ABC中，AB=AC。小强想做BAC的平分线，但他没有量角器，只有刻度尺，他如何做出BAC的平分线？ACBDE7、 已知：如图，B、D、E、C在同一直线上，AB=AC，AD=AE。求证：BD=CE。8、 如图，RtABC中，ABC=90°，D是AB上一点，且BD=BC。DEAB交AC于E。求证：CDBE。9、 如图，锐角ABC中，B=2C，AD为BC边上的高，求证：DC=AB+BD。10、 如图2，BM，CN分别是ABC的外角BAD、ACE的平分线。AMBM，M、N为垂足。求证：MNCN。