简谐运动周期公式的推导(3页).doc

-简谐运动周期公式的推导-第 3 页简谐运动周期公式的推导考虑弹簧振子在平衡位置附近的简谐运动，如图2所示。它的运动及受力情况和图3所示的情况非常相似。在图3中，O点是弹性绳（在这里我们设弹性绳的弹力是符合胡克定律的）的原长位置，此点正好位于光滑水平面上。把它在O点的这一端系上一个小球，然后拉至A位置由静止放手，小球就会在弹性绳的作用下在水平面上的A、A间作简谐运动。如果我们不是由静止释放小球，而是给小球一个垂直于绳的恰当的初速度，使得小球恰好能在水平面内以O点为圆心，以OA长度为半径做匀速圆周运动。那么它在OA方向的投影运动（即此方向的分运动）与图3中的简谐运动完全相同。证明如下：首先，两个运动的初初速度均为零（图4中在OA方向上的分速度为零）。其次，在对应位置上的受力情况相同。由上面的两个条件可知这两个运动是完全相同的。在图4中小球绕O点转一圈，对应的投影运动（简谐运动）恰好完成一个周期，这两个时间是相等的。因此我们可以通过求圆周运动周期的方法来求简谐运动的周期。OA-A图2OA-A图3OA图4如图5作出图4的俯视图，并建以O为坐标原点、OA方向为x轴正方向建直角坐标系。Oxyxry图5则由匀速圆周运动的周期公式可知：（1）其中是匀速圆周运动的角速度。小球圆周运动的向心力由弹性绳的弹力来提供，由牛顿第二定律可知：（2）式中的r是小球圆周运动的半径，也是弹性绳的形变量；k是弹性绳的劲度系数。由（1）（2）式可得：