二维随机变量及其分布.ppt
二维随机变量及其分布现在学习的是第1页，共61页例如 E：抽样调查15-18岁青少年的身高 X与体重 Y,以研究当前该年龄段青少年的身体发育情况。前面我们讨论的是随机实验中单独的一个随机变量，又称为一维随机变量；然而在许多实际问题中，常常需要同时研究一个试验中的两个甚至更多个随机变量。我们需要研究的不仅仅是X及Y各自的性质， 更需要了解这两个随机变量的相互依赖和制约关系。因此， 将二者作为一个整体来进行研究，记为(X, Y),称为二维随机变（向）量。现在学习的是第2页，共61页设X、Y 为定义在同一样本空间上的随机变量，则称向量（ X，Y ）为上的一个二维随机变量。n定义二维随机变量二维随机变量(X, Y)的取值可看作平面上的点（x，y）A现在学习的是第3页，共61页二维随机变量的联合分布函数二维随机变量的联合分布函数若若随机变量，随机变量，对于任意的实数对于任意的实数x,y.x,y.( , ),F x yP Xx Yy称为二维随机变量的联合分布函数(1)( , )F x yxy分别关于 和 单调不减(, )0Fy( ,)0F x (,)0F (,)1F (2) 0( , )1F x y(3) xy(x,y)现在学习的是第4页，共61页x1y1(x1,y1)x2y2(x2,y2)(x1,y2)(x2,y1)121222211211(,)(,)(,)( ,)( ,)P xXxyYyF xyF xyF x yF x y联合分布函数表示矩形域概率现在学习的是第5页，共61页二维离散型随机变量二维离散型随机变量 若二维若二维 随机变量随机变量 的所有可能取值只有限对或可列对，则称的所有可能取值只有限对或可列对，则称为为二维离散型随机变量。二维离散型随机变量。如何反映（X，Y）的取值规律呢？n研究问题联想一维离散型随机变量的分布律。, (1,2,;1,2,)ijijP Xx Yypij现在学习的是第6页，共61页111ijijp YX1y2yjy1x11p12p1 jp2x21p22p2 jpix1 ip2ipijp。.。.。. 。. 。. 。. 。. 。.。. 。. 。. 。. . 。. 。性质 01ijp联合分布函数F(x,y)=PXx，Yy= ijijxx yyp现在学习的是第7页，共61页 一个口袋中有三个球， 依次标有数字1， 2， 2， 从中任取一个， 不放回袋中， 再任取一个， 设每次取球时， 各球被取到的可能性相等.以、分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字， 求(, )X Y的联合分布列. (, )X Y的可能取值为(1， 2)， (2， 1)， (2， 2). ，(1/3) (2/2)1/3， ，(2/3) (1/2)1/3， ，= (2/3) (1/2)1/3， 1/31/31/3 例1解现在学习的是第8页，共61页例2 将一枚均匀的硬币抛掷4次,X表示正面向上次数,Y表示反面朝上次数,求(X,Y)的联合概率分布.解 X的所有可能取值为0,1,2,3,4,Y的所有可能取值为0,1,2,3,4,因为X+Y=4,所以(X,Y)概率非零的数值对为:X Y0 41 3 2 2 3 14 0P(X=0,Y=4)=P(X=2,Y=2)=1/4=6/16 P(X=3,Y=1)=1/4 P(X=4,Y=0)= 0.54=1/16联合概率分布表为:X01234Y 0 1 2 3 4 0 0 0 0 1/16 0 0 0 1/4 0 0 0 6/16 0 0 0 1/4 0 0 01/16 0 0 0 0P(X=1,Y=3)=0.54=1/161340.5 0.5C 22240.50.5C 33140.50.5C 现在学习的是第9页，共61页例3 设随机变量YN(0，1),令2|Y|, 12|Y|,0X,1|Y|, 11|Y|,0X21解 (X1,X2)的取值数对为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),P(X1=0,X2=0)=P(|Y|1,|Y|2)=P(|Y|2)=1-P(|Y|2)=2-2(2)=0.0455P(X1=0,X2=1)=P(|Y|1,|Y|2)=P(1|Y|2)=P(-2Y-1)+P(1Y2)=2P(1Y2)=2(2)-(1)=0.2719P(X1=1,X2=0)=P(|Y|1,|Y|2)=0P(X1=1,X2=1)=P(|Y|1,|Y|2)=P(|Y|1)=2(1)-1=0.6826联合概率分布表为:X101X2 0 10.0455 0.2719 0 0.6826求(X1,X2)的联合概率分布。现在学习的是第10页，共61页例4 二维随机向量(X,Y)的联合概率分布为:X-101Y 0 1 2 0.05 0.1 0.1 0.1 0.2 0.1 a 0.2 0.05求:(1)常数a的取值; (2)P(X0,Y1); (3) P(X1,Y1)解 (1)由pij=1得: a=0.1(2)由P(X,Y)D=得 P(X0,Y1)=P(X=0,Y=0)+P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.1+0.2+0.1+0.2=0.6(3)P(X1,Y1)=P(X=-1,Y=0)+P(X=-1,Y=1)+P(X=0,Y=0) +P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)=0.75,()ijijx yDp现在学习的是第11页，共61页若存在若存在非负函数非负函数 f f（x x，y y），使对任意实数，使对任意实数x x，y y，二元随机，二元随机变量变量(X,Y)(X,Y)的分布函数可表示成如下形式的分布函数可表示成如下形式( ,)( , )xyF x yf u v dudv则称(X,Y)是二元连续型随机变量。f（x，y）称为二元随机变量(X,Y)的联合概率密度函数.二维连续型随机变量的联合概率密度 记为（X，Y)f(x,y) (, )( , )DPX YDf x y dxdy现在学习的是第12页，共61页联合概率密度函数的性质( ,)1fx y dxdy( ,)( ,)DPx yDf x y dn非负性Dxy( , )f x y( , )0f x y n .2( , )( , )F x yf x yx y n.(,)1F 随机事件的概率=曲顶柱体的体积 现在学习的是第13页，共61页设二维随机变量(, )X Y的概率密度为 (1) 确定常数 k； (23 ) 0,0( , ) 0 xykexyf x y其它(,)X Y (2) 求的分布函数；04,01PXY(3)求； . P XY (4) 求例1解 (1) ( , )f x y dxdy (23 ) 0 0 xykedxdy 23 00 xykedxedy230011 23xykee116k所以 6k (23 )6 0,0( , ) 0 xyexyf x y其它现在学习的是第14页，共61页( , )( , )xyF x yf u v dudv 当 时，0,0 xy或( , )0F x y 当 时，0,0 xy且2300( , )6xyxyF x yedudv 23(1)(1)xyee 所以，23(1)(1), (0,0)( , ) 0 xyeexyF x y 其他(3) 04, 01PXY 1 4(23 ) 0 06xyedxdy 83(1)(1)0.95ee或解 04, 01PXY(4,1)(0,0)(4,0)(0,1)FFFF(23 )6 0,0( , ) 0 xyexyf x y其它(,)X Y (2) 求的分布函数；(4,1)F83(1)(1)0.95ee现在学习的是第15页，共61页0,0 xyyx x0y( , )DP XYf x y dxdy32310yyeedy35323310055yyedyedy ( , )x yf x y dxdy(23 )600 xyyedx dy4 1(23 )6 0,0( , ) 0 xyexyf x y其它P XY (4) 求现在学习的是第16页，共61页例2 已知二维随机变量（X，Y）的分布密度为 1(6), 02, 24( ,)8 0, xyxyfx y其 他求概率 (1)1,3; (2)3PXYPXY解 1,3( , )DP XYf x y dxdy13021(6)8dxxy dy224112320113(6)828yxyydx3( , )DP XYf x y dxdy13021(6)8xdxxy dy1232011(6)82xyxyydx524x+y=3 现在学习的是第17页，共61页例3 设(X,Y)其它01y0 , 1x0 xy4)y, x(f求(X,Y)的联合分布函数.11解 (1)x0,或y1时,F(x,y)=1004stdtdsx2x(5)x1,0y1时,F(x,y)=ystdtds01042yxyXY4xy综合即得:1, 1110 , 11, 1010 , 10000),(2222yxyxyyxxyxyxyxyxF或现在学习的是第18页，共61页其它0D)y, x(S1)y, x(fD其中:D为可度量的平面区域,SD为区域D的面积.则称(X,Y)服从区域D上的均匀分布.(1) 均匀分布 若二维随机向量(X,Y)的联合概率密度为对于D中任意可度量子区域G有DGGDGSSdxdySdxdyyxfGyxP1),(),(其中:SG为区域G的面积.常见的二维连续型随机向量常见的二维连续型随机向量现在学习的是第19页，共61页)(2)()1 ( 21exp121),(22222112112221yyxxyxf),(),(222121NYX定义 如果(X,Y)的联合密度函数为其中则称(X,Y)服从参数为 的二维正态分布,简记为,222121, 1| , 0, 0,222121(2) (2) 二维正态分布二维正态分布现在学习的是第20页，共61页边缘分布 marginal distribution(, )X Y 二维随机变量 ,是两个随机变量视为一个整体，来讨论其取值规律的，我们可用分布函数来描述其取值规律。( , ),F x yP Xx Yy问题：能否由二维随机变量的分布来确定两个一维随机变量的取值规律呢？如何确定呢？边缘分布问题 现在学习的是第21页，共61页边缘分布 marginal distribution( , )F x y(, )X Y 设二维随机变量 的分布函数为 ， (, )X YXY依次称为二维随机变量关于和关于的边缘分布函数( ),( ,)XFxP XxP Xx YF x ( )( ,)XFxF x( )(, )YFyFy( ),(, )YFyP YyP XYyFy 联合分布函数与边缘分布函数的关系现在学习的是第22页，共61页二维离散型R.v.的边缘分布,ijijP Xx Yyp,1,2,3,i j 如果二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为 YXy1y2y3Pi.x1p11p12p13P1.x2p21p22p23P2.x3p31p32p33P3.p.jp.1p.2p.3ijjiipP XxpjijijpP Yyp关于X的边缘分布关于Y的边缘分布现在学习的是第23页，共61页二维离散型R.v.的边缘分布jijijpP Yyp关于X的边缘分布关于Y的边缘分布第j列之和Xx1x2x3概率P1.P2.P3.ijjiipP Xxp第i行之和Yy1y2y3概率P.1P.2P.3现在学习的是第24页，共61页二维离散型R.v.的边缘分布例1 设二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为 YX011/3-101/31/1201/60025/1200求关于X、Y的边缘分布关于Y的边缘分布Y011/3概率7/121/31/12解 关于X的边缘分布为 X-102概率5/121/65/12现在学习的是第25页，共61页例2 设(X,Y)的联合概率分布为:X-101Y 0 1 2 0.05 0.1 0.1 0.1 0.2 0.1 0.1 0.2 0.05求:(1)X,Y的边缘分布; (2)X+Y的概率分布.解 (1)由分析得:X -1 0 1P 0.25 0.4 0.35Y 0 1 2P 0.25 0.5 0.25(2)X+Y的取值为-1,0,1,2,3,P(X+Y=-1)=P(X=-1,Y=0)=0.05P(X+Y=0)=P(X=0,Y=0)+P(X=-1,Y=1)=0.2P(X+Y=1)=P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0) +P(X=-1,Y=2)=0.4同理,P(X+Y=2)=0.3,X+Y -1 0 1 2 3 P 0.05 0.2 0.4 0.3 0.05P(X+Y=3)=0.05所以现在学习的是第26页，共61页二维连续型随机变量的边缘分布 ( )( ,)( , )XxFxF xf u v dv du n关于X的边缘概率密度为 ( )( , )Xfxf x y dyn关于Y的边缘概率密度为 ( )(, )( , )YyFxFyf u v du dvY的边缘分布函数为 关于 ( )( , )Yfyf x y dxX的边缘分布函数为 关于 现在学习的是第27页，共61页例1 设（X, Y）的联合密度为01,13( , )0kxyxyf x y其它求k值和两个边缘分布密度函数12k ( )( , )Xfxf x y dy 311021kydyxdxk解由 ( , )1dxf x y dy得 0,1x当 时 31122( )Xfxxydyx 关于X的边缘分布密度为 1130,1x当 时 ( )0Xfx 现在学习的是第28页，共61页11320,1( )0Xxxfx其它1,3( )40Yyyfy其它所以，关于X的边缘分布密度为 ( )( , )Yfyf x y dx ( )0Yfy 所以，关于Y的边缘分布密度为 1,3y当 时 1,3y当 时 10124( )Yyfyxydx 关于Y的边缘分布密度为 现在学习的是第29页，共61页例2. 设二维随机变量（X，Y）的概率密度为其他,00,),(yxeyxfy 求随机变量X的密度函数； 求概率PX+Y1.解 (1)x0时,fx(x)=0; x0时,fx(x)=dy)y, x( fdyexyxeye所以,0( )00 xxexfxx PX+Y1=y=xx+y=11/22/10 x1xydyedx211e2e1现在学习的是第30页，共61页边缘分布密度和概率的计算例3设（X, Y) 的联合分布密度为 221( , )0kxyf x y 其它其它（1）求k值(2) 求关于X和Y的边缘密度（3）求概率P(X+Y1/2)解 (1)由 ( ,)1f x y dxdy 2211xykdxdyk得 1k均匀分布(2)( )( , )Xfxf x y dy 1,1x 当 时22111( )xXxfxdy221x-11现在学习的是第31页，共61页221 1,1( )0Xxxfx 其它 1,1x 当 时( )0Xfx 所以，关于X的边缘分布密度函数为 -11( )( , )Yfyf x y dx 1,1y 当 时22111( )yYyfydx221y( )0Yfy 所以，关于Y的边缘分布密度函数为 221 1 ,1( )0Yyyf y其 它-11均匀分布的边缘密度不再是一维均匀分布 1,1y 当 时现在学习的是第32页，共61页1()( ,)2DP Xf x y dxdy(1)( ,)DP XYfx y dxdy 解13()3411Ddxdy11()4221Ddxdy201111xxdxdy 22111121xxdxdy2211( , )0 xyf x y 其它（3）求概率P(X+Y1/2)现在学习的是第33页，共61页如果二维随机变量（X，Y）服从正态分布 221212,N 则两个边缘分布分别服从正态分布 211,XN 222,YN 与相关系数 无关 可见，联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布不能确定联合分布即 二维正态分布(X,Y)的边缘概率密度是一维正态分布.由此可知随机向量的联合概率密度完全决定了它的边缘概率密度,反之不一定成立.现在学习的是第34页，共61页例4 设（X，Y）的联合分布密度函数为 2221( , )(1sinsin), ,2xyf x yexyx y 求关于X，Y的边缘分布密度函数 解 关于X的分布密度函数为 ( )( , )Xfxf x y dy2221(1 sin sin )2xyexy dy22222211sin sin22xyxyedyexydy22221122xyeedy2212xe22221sinsin2xyexeydy0,1XN所以， 0,1YN同理可得 边缘概率密度为一维正态分布的二维随机向量不一定是二维正态分布.不同的联合分布，可有相同的边缘分布。可见，联合分布可以确定边缘分布，但边缘分布不能确定联合分布现在学习的是第35页，共61页随机变量的相互独立性随机变量的相互独立性( , )( )( )XYf x yfxfyn 特别，对于离散型和连续型的随机变量，该定义分别等价于 ijijppp对任意i,j 对任意x,y 随机变量X,Y相互独立,若对任意ab,c10fy(y)=1|y|01|y|21解 (1)其它01|y| , 1|x|)y, x(f41同理,( , )( )( )xyf x yfx fy所以,X,Y独立.(2)其它01yx1)y , x( f22221| | 1( )0| | 1xxxf xx221| 1( )0| 1yyyfyy1)0 , 0( f221422)0(f )0(fX,Y不独立.现在学习的是第45页，共61页例7 设随机变量X和Y相互独立,试将下表补充完整.Xx1x2Y y1 y2 y31/81/8 ipjp1/611/241/41/121/21/33/43/81/4现在学习的是第46页，共61页P(X=0,Y=1)+P(X=1,Y=0)+P(X=1,Y=1)1. 设随机变量X，Y是相互独立的，且X,Y等可能地取0，1为值，求随机变量Z=max(X,Y)的分布列。解X 0 1P 1/2 1/2Y 0 1P 1/2 1/2(X,Y)的取值数对为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),Z=max(X,Y)的取值为:0,1P(Z=0)=P(X=0,Y=0)=P(X=0)P(Y=0)=1/4P(Z=1)=3/4所以,Z的分布列为Z 0 1P 1/4 3/4课堂练习现在学习的是第47页，共61页2. 已知随机向量(X,Y)的联合密度为 .,0;0y,0 x,e)y, x(fyx其他(1)问X与Y是否独立？(2)求概率PXY.解 (1)()00( )00 x yxxedyexfxx()00( )00 x yyyedxeyfyy(2)P(XY)=yxdxdy)y, x(fx)yx(0dyedx21( , )( )( )xyf x yfx fy所以,X,Y独立.现在学习的是第48页，共61页( ) ( , )ZFzP ZzP g x yz设(, )X Y是二维随机变量, 其联合分布函数为( , ),F x y(, )Zg X Y是随机变量,X Y的二元函数Zn 的分布函数问题：如何确定随机变量Z的分布呢？ 设(, )X Y是二维离散型随机变量,其联合分布列为, (1,2,;1,2,)iji jP Xa Ybpij(, )Zg X Y则 是一维的离散型随机变量 其分布列为 ( ,), (1,2,;1,2,)iji jP Zg a bpij现在学习的是第49页，共61页例 设 的联合分布列为 (, )X Y X Y-2-10-11/121/123/122/121/12032/1202/12分别求出（1）X+Y；（2）X-Y；（3）X2+Y-2的分布列概率1/121/123/122/121/122/122/12-3-2-1-3/2-1/21310-15/23/253-3-2-1-15/4-11/457(, )X Y( 1, 2) ( 1, 1) ( 1,0)1( , 2)21( , 1)2(3, 2)(3,0)XYXY22XY 解 由（X，Y）的联合分布列可得如下表格 现在学习的是第50页，共61页解得所求的各分布列为 X+Y-3-2-1-3/2-1/213概率1/121/123/122/121/122/122/12X-Y10-15/23/253概率1/121/123/122/121/122/122/12X2+Y-2-3-2-1-15/4-11/457概率1/121/123/122/121/122/122/12现在学习的是第51页，共61页设(, )X Y是二维连续型随机变量,其联合分布密度为(, )Zg X Y则 是一维的连续型随机变量 其分布函数为 ( )(, )ZFzP g X Yz( , ),f x y( , )zg x y是二元连续函数，其分布密度函数为 ( )( )ZZfzFz( , )( , )g x yzf x y dxdy对F(z)求导即得Z的概率密度函数f(z).随机变量函数的概率密度函数另一求法-分布函数法现在学习的是第52页，共61页例 设二维随机变量（X, Y）的概率密度为(2 )20,0( , )0 xyexyf x y其它求随机变量 Z=X+2Y 的分布密度函数解( )2ZF zP ZzP XYz0z 0P Zz0z (2 )2002z xzxyP Zzdxedy1zzeze 2( , )xy zf x y dxdy所求分布函数为 00( )10ZzzzFzezez分布密度函数为 00( )0Zzzfzzez现在学习的是第53页，共61页 如果（X，Y）的联合分布密度函数为 f(x,y)，则Z=X+Y的分布密度函数为 ( )( ,)Zfzf x zx dx( )(, )Zfzf zy y dy或 特别，当X，Y相互独立时，有卷积公式 ( )( )()ZXYfzfx fzx dx或 ( )()( )ZXYfzfzy fy dy结论 两个独立的连续型随机变量的和仍为连续型随机变量.两个独立的正态分布的随机变量的和仍服从正态分布.现在学习的是第54页，共61页记 住 结 论！独立1122()()()XPXYPYP n 如果X与Y相互独立(,)(,)( ,)XB mXYB mn pBppYn 211221212222(,)(,)(,)XNXYNYN 二项分布的可加性Possion分布的可加性正态分布的可加性现在学习的是第55页，共61页例 设随机变量X与Y独立，概率密度函数为其他其他002)(,002)(22yeyfxexfyYxX.22的概率密度函数求YXZ解 (X,Y)的联合密度函数为其他00, 04),()(22yxeyxfyx0)()()(,0) 1 (22zYXPzZPzFzZ时dxdyyxfzFzzYXZ22),()(,0)2(时dxdyezYXyx2222)(420024drredr21ze0)(zfZ22)(zZzezf所以,0002)(2zzzezfzZ现在学习的是第56页，共61页例 设随机向量(X,Y)服从区域D=(x,y)|1x3,1y3上的均匀分布,求U=|X-Y|的概率密度函数.解 (X,Y)的联合概率密度为其它031 , 3141),(yxyxf1 331(1) u0时,F(u)=0y-x=uy-x=-uy-x=-2由分析可见,u=2是两种类型积分区域的划分点.(2) 0u2时,dxdyuFuyx|41)(G42uuSSDG(3) u2时,F(u)=1f (u )=0f (u )=1-u/2f (u )=0所以其它020211)(uuuf现在学习的是第57页，共61页现在学习的是第58页，共61页现在学习的是第59页，共61页现在学习的是第60页，共61页现在学习的是第61页，共61页
