二元函数的极限.ppt
关于二元函数的极限现在学习的是第1页，共38页回忆一元函数的极限. 设 y = f (x),)(lim0Axfxx所谓当 x 不论是从 x0的左边还是从x0的右边无限接近于x0时, 对应的函数值无限接近于数 A.表示如图xyA0f (x)f (x)y = f (x)x0 xxx x0. )(lim0语言表示用Axfxx就是 0, 0.当0|x x0| 时, 有|f (x) A | .现在学习的是第2页，共38页设二元函数 z = f (X) = f (x, y), 定义域为D.如图Dz = f (x, y)XX如果当X在D内变动并无限接近于X0时 (从任何方向, 以任何方式),对应的函数值 f (X)无限接近于数 A, 则称A为当X趋近于X0时f (X)的极限.MX0Ayzxof (X)现在学习的是第3页，共38页类似于一元函数, f (X)无限接近于数 A可用 | f (X) A | 0, 0, 当 ,时对应的函数值满足| f (P) A | 0， P0 的去心的去心 邻域邻域 U(P0, )。在在U(P0, )内，函数内，函数),(yxfz 的图形总在平面的图形总在平面 Az及及 Az之间。之间。现在学习的是第7页，共38页7)(lim22)1 , 2(),(yxyxyx例1 用“”定义验证极限 722yxyx) 1(2)4(22yxyx) 1)(1() 1(2)2()2)(2(yyyyxxx证明 因为 3122yyyxx现在学习的是第8页，共38页111, 12),(yxyx先限制在点（2，1）的的方邻域内讨论，则有 541413yyy5) 1()2(2yxyx7512yx722yxyx1527yx127yx 所以 现在学习的是第9页，共38页014, 1min2x1y) 1, 2(),(yx722yxyx14277)(lim22)1 , 2(),(yxyxyx于是 ，取，则当时，就有 由二元函数极限定义知 现在学习的是第10页，共38页例例 求证求证 证证. 01sin)(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 当当 时，时，22)0()0(0yx.01sin)(2222 yxyx原结论成立原结论成立现在学习的是第11页，共38页).0 , 0(),( , 0),0 , 0(),( ,),(2222yxyxyxyxxyyxf0),(lim)0, 0(),(yxfyxcosrx sinry )0, 0(),(yx0r例2设证明 证明： 对函数的自变量作极坐标变换 这时等价于对任何都有.由于0),(yxf44sin4222222rryxyxxy 现在学习的是第12页，共38页02220yxr0),(yxf0),(lim)0 , 0(),(yxfyx因此，只须取，当时，不管取什么值都有所以 现在学习的是第13页，共38页APfDPPP)(lim0DE0PE0lim( )PPP Ef PA定理16.5 的充要条件是：对于的任一子集,只要是的聚点，就有 1ED0P1E01lim( )PPP Ef P0lim( )PPP Df P推论1 设是的聚点.若不存在，则也不存在 现在学习的是第14页，共38页12,E ED0P011lim( )PPP Ef PA022lim( )PPP Ef PA12AA0lim( )PPP Df P推论2 设是它们的聚点，但,则不存在 若存在极限现在学习的是第15页，共38页0lim( )PPP Df PD0nPP0limnnPP nP()nf P推论3 极限存在的充要条件是：对于中任一满足条件且的点列，它所对应的函数列都收敛. 上述定理及其推论相当于数列极限的子列定理与一元函数的海涅归结原则 现在学习的是第16页，共38页注意：注意： 是指是指 P 以任何以任何方式趋于方式趋于P0 .0PP ,)(lim00Axfxx ,)(lim00Axfxx .)(lim0Axfxx 一一元元中中多多元元中中,)(lim0AxfPP . )() ( 0PPAxf以以某某种种方方式式趋趋于于Axfyyxx )(lim00Ayxfyyxx ),(lim00) (0Px轴轴沿沿平平行行Ayxfyyxx ),(lim00) (0Py轴轴沿沿平平行行) )( (000Pxxkyy 沿沿Ayxfxx ),(lim0000)(yxxky 现在学习的是第17页，共38页确定极限确定极限不存在不存在的的方法方法：(1)(1) 令令),(yxP沿沿)(00 xxkyy 趋向于趋向于),(000yxP， 若极限值与若极限值与k有关，则可断言极限不存在；有关，则可断言极限不存在； (2)(2) 找两种不同趋近方式，使找两种不同趋近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，但存在，但 两者不相等，此时也可断言两者不相等，此时也可断言),(yxf在点在点),(000yxP 处极限不存在处极限不存在 现在学习的是第18页，共38页例例3. 设f (x, y) = ,0 ,2222时当yxyxxy,0 , 022时当 yx证明 f (x, y)在 (0, 0)点的极限不存在.证证: 只须证明当X 沿不同的线路趋于(0, 0)时, 函数f (x, y)对应的极限也不同即可.现在学习的是第19页，共38页考察 X =(x, y)沿平面直线 y = kx 趋于(0, 0)的情形.如图对应函数值22),(yxxyyxf)0 , 0(),( , )1 (222yxkxkxxoy现在学习的是第20页，共38页从而, 当 X = (x, y) 沿 y = kx 趋于(0,0)时, 函数极限),(lim0yxfkxyx21kk请考察当X = (x, y)沿 x 轴, 沿 y 轴趋于(0, 0)的情形.)1 (lim2220kxkxx当 k 不同时, 极限也不同. 因此, f (x, y) 在 (0, 0)的极限不存在 .现在学习的是第21页，共38页),(lim00yxfyx沿 x 轴, y = 0. 函数极限= 000lim20 xx沿 y 轴, x = 0. 函数极限),(lim00yxfxy= 02000limyx但不能由此断定该二重极限为0现在学习的是第22页，共38页其余部分时当0,01),(2xxyyxf),(yx),(yxf),(yx)10(2kkxy),(yxf1例4 二元函数请看p95图16-7，沿任何直线趋于原点时都趋于零，但也不能说该函数在原点的极限沿抛物线的值趋于而不趋于零，尽管当就是零，因为当趋于原点时 所以该极限不存在.现在学习的是第23页，共38页非正常极限 极限),(lim),(),(00yxfyxyx的定义 ),(yxf2RD 0PD0M0DPUP),(00MPf)(),(yxfD0PP 设二元函数为定义在上的二元函数，为的一个聚点，如果使得当 时，都有则称在上当时，存在非正常极限记作 点),(lim),(),(00yxfyxyx)(lim0PfPP 或 现在学习的是第24页，共38页)(lim0PfPP)(lim0PfPP仿此可类似地定义与22321),(yxyxf),(lim)0, 0(),(yxfyx例5 设函数 证明 证明： 因为 2222432yxyx 0MM21220yx，只要取，当时，都有 Myx2122现在学习的是第25页，共38页Myxyx14322222Myx22321),(lim)0 , 0(),(yxfyx由此推得即 所以 现在学习的是第26页，共38页二元函数极限的性质性质（四则运算）与一性质（四则运算）与一 元函数运算相同 除了这些相似性之外，我们也指出，多元函数的极限较之一元函数的极限而云，要复杂得多，特别是自变量的变化趋势，较之一元函数要复杂。现在学习的是第27页，共38页例例 求求解解).32(lim2210 xyyxyx )32(lim2210 xyyxyx)lim()lim(3)(lim2)(lim1010210210yxyxyxyxyxyx )3(lim)2(lim)(lim10210210 xyyxyxyxyx . 2103120 二元函数的极限运算举例二元函数的极限运算举例现在学习的是第28页，共38页例例 求极限求极限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 2220yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim 22200 yxyxyx于是，于是，yxu2 现在学习的是第29页，共38页二二. 累次极限累次极限),(yxf, x y00,xyxy0 x0y),(yxf中的两个自变量以任何方式趋于时的极限，我们称它为二重极限.与依一定次序趋于与时的极限，称为累次极限. 对于两个自变量),(yxfxy0 x0y),(limlim00yxfyyxx),(limlim00yxfxxyy对于二元函数在与依一定次序趋于与时的累次极限有两个 和 现在学习的是第30页，共38页22),(yxxyyxf),(yxf)0, 0(0y0lim220yxxyx0limlim2200yxxyxy0limlim2200yxxyyx例6 设, , 求在点解 当时，有 从而有 同理可得 的两个累次极限.现在学习的是第31页，共38页1.两个累次极限可以相等也可以不相等，所以计算累次极限时一定要注意不能随意改变它们的次序. 例7 函数yxyxyxyxf22),( 关于原点的两个累次极限分别是 yxyxyxxy2200limlimyyyy20lim11lim0yyyxyxyxyx2200limlimxxxx20lim1) 1(lim0 xx与.现在学习的是第32页，共38页2.两个累次极限即使都存在而且相等，也不能保证二重极限存在 例如 设 22),(yxxyyxf 两个累次极限都存在 0limlim2200yxxyxy0limlim2200yxxyyx且相等. 但二重极限),(lim)0, 0(),(yxfyx却不存在. 现在学习的是第33页，共38页3.二重极限存在也不能保证累次极限存在，即二重极限存在时, 两个累次极限可以不存在. 例8 函数xyyxyxf1sin1sin),( 由于yxxyyx1sin1sin，故由定义知二重极限存在,且0),(lim)0 , 0(),(yxfyx 0y0 x),(yxfxy1sin但对任何，当时的第二项不存在极限 现在学习的是第34页，共38页0 x0y),(yxfyx1sin同理对任何，当时的第一项不存在极限，从而两个累次极限都不存在.现在学习的是第35页，共38页定理16.6 若二重极限限极限 和累次极限 (或另一次序)都存在 , 则它们必相等. ),(limlim00yxfyyxx00( , )(,)lim( , )x yxyf x y),(lim),(),(00yxfyxyx),(limlim00yxfyyxx),(limlim00yxfxxyy推论1 若二重极限和累次极限都存在 , 则必相等.二重极限与累次极限的关系二重极限与累次极限的关系现在学习的是第36页，共38页),(limlim00yxfyyxx),(limlim00yxfxxyy),(lim),(),(00yxfyxyx推论2 若累次极限与都存在，但它们不相等，则必不存在.二重极限现在学习的是第37页，共38页感谢大家观看感谢大家观看现在学习的是第38页，共38页
