小学数学：多种推导方法的价值比较及适度取舍－－以三角形的面积公式推导过程为例(7页).doc

-小学数学：多种推导方法的价值比较及适度取舍以三角形的面积公式推导过程为例-第 7 页小学数学论文多种推导方法的价值比较及适度取舍 以三角形的面积公式推导过程为例摘 要在倡导“教无定法，贵在得法”的当下，教师总会遇到同一课例不同方法演绎的选择问题。不同的教师对教学往往有不同的理解，并产生学案争论。本文就以教学比武时的两个三角形的面积的争论学案为例，深入对比拆拼、倍拼、剪拼三种推导方法，分析其内涵及导学价值，从而得出了“把握起点是前提”、“深刻解读是基础”、“适度取舍是关键”三条策略，供同行们商榷。关键词三角形面积 平行四边形面积 拆拼法 倍拼法 剪拼法正 文缘起：教学比武的学案争论笔者去年参与了台州市教学大比武，当时的课堂评比内容为人教版五年级上册三角形的面积。备课时，我们查阅资料发现三角形面积公式主要有两种推导方法：一是用两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形，从而推导出面积公式，简称“倍拼法”；二是将三角形沿一条中位线剪开，割补成平行四边形、长方形或正方形来推导出面积公式，简称“剪拼法”。多番对比、商议后，我们确定了两种推导方法兼顾的导学思路。但不同的教学理念、学情分析、目标定位、素材运用都会导致导学过程出现明显差异，我们备课时提出了两种学案，具体思路如下：方案1方案2回顾猜想（一）回顾：（在方格背景中出示底6cm、高4cm的平行四边形）1、平行四边形面积是多少？用哪个公式计算的？2、复习平行四边形的面积公式推导过程。（二）猜想：（将平行四边形沿对角线平均分）1、这个三角形的面积是多少？ 2、猜一猜它的计算公式是怎样的？探究验证探究一：在方格背景中用全等倍拼的方法验证师：三角形面积底×高÷2？三角形面积是平行四边形面积的一半？三角形面积是怎样的平行四边形面积的一半？在方格纸中画一画。1、学生操作(在方格纸中画出与原图形完全一样的三角形，组成平行四边形)2、比较平行四边形与原三角形高、底、面积三者之间的联系。得出：三角形的面积等于两个完全一样三角形拼成的平行四边形面积的一半；三角形的面积是等底等高的平行四边形面积的一半；三角形面积底×高÷2探究一：借助材料的操作用倍拼的方法验证师：是不是所有的三角形都可以借助平行四边形来计算面积？如果可以，又是借助怎样的平行四边形呢？请借助信封里面的材料试一试。1、学生操作。(完全相同的锐角三角形、直角三角形、钝角三角形各一对，不同三角形一对)2、比较平行四边形与原三角形高、底、面积三者之间的联系。得出：三角形都能借助一个与自身完全一样的三角形拼成平行四边形，再除以2求得面积大小；三角形的面积是等底等高的平行四边形面积的一半；三角形面积底×高÷2探究二：在方格背景中用剪拼的方法验证师：除了倍拼之外，我们能不能只用一个三角形用剪拼的方法也证明三角形的面积底×高÷2呢？请试着把三角形剪拼成熟悉的图形，在方格纸中把转化的过程画出来。1、学生操作 2、比较新图形与原三角形之间的联系。老师们都认为教学应从回顾平行四边形面积公式及其推理过程开始，这样既可为新知学习打下知识基础，也为后续操作铺垫方法论基础。之后拆分平行四边形的过程更是能令学生快速明确问题，进入公式验证环节，从而使学生对于常见几何图形面积公式之间的推导方法及逻辑关系产生深刻的认识，并形成系统的知识网络。但两者意见的分歧同样非常明显。意见一：公式推导是个探索、验证过程，应根据学生的逻辑递进设计方案主张方案1的教师认为推导过程应遵循“三角形面积是平行四边形面积的一半？”(深度猜想)“三角形的面积是怎样的平行四边形面积的一半？”(缩小范围) “三角形的面积等于两个完全一样三角形拼成的平行四边形面积的一半”(得到结论)“三角形的面积是等底等高的平行四边形面积的一半”(思维提升)“三角形面积底×高÷2”(归纳总结)的递进顺序展开教学。之后的探究二再启发学生用“剪拼”方法验证公式，既可使学生思维在不同推导方法中得到训练，又能再次深刻体会其中的转化思想，紧扣单元学习主题。反观方案2中图形拼组是四下所学内容，即便本课中加入了“面积倍增再消去”这一新知，但对学生而言毫无难度，不利于学生自身能力的提高。意见二：公式推导方法有两种，应有所侧重，最好的方式是保底之后求发展主张方案2的教师认为学生已经学过图形的拼组，何不将“利用简单的拼组求三角形面积公式”作为保底知识，再把相对复杂又包含数学思考的“剪拼”作为验证方式来引导教学，并在这一过程中引导学生展示个性思维和独特见解。如此，整个过程包含了动手操作、实践探索等多种验证方式，符合新课改理念，即认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，都是学习数学的重要方式。至于方案1，学生需经历若干环节后才能得出面积公式，此举虽能使学生理解更加深刻，但无形中也加重了绝大多数学生的思维负担，容易造成学生思维中断。即便是学生能顺利验证公式，但接下来又要面对探究二的挑战，思维必然疲乏，无力应对。持两种观点的老师都能理解对方的想法与意图，但都认为自己的想法更加合理。关键的分歧点就在于一种方案追求推到方法的“思维递进、认识深刻”，另一种追求推导方法的“多层体验、含量丰富”。由此，就陷入了“公说公有理、婆说婆有理”的学案争论，导学方案取舍不定。探源：推导方法的价值比较三角形的面积是一节经典课例，公式推导过程中承载的面积意义的理解、图形关系的沟通、空间想象能力的培养、化归思想的渗透，历来为广大教师所重视。上述两种方案中分别涉及了拆拼、倍拼、剪拼三种三角形面积公式推导方法，不同的推导方法的内在价值也有所不同。1.拆拼法所谓拆拼，就是将平行四边形和长方形沿着对角线剪开，分成两个完全相同的三角形，再让学生拿着分出来的三角形拼一拼，通过三角形面积与平行四边形面积的比较(如图1)，得出三角形面积是对应平行四边形面积的一半，从而推导出三角形的面积公式。图1这种推导方法能直观且快速地让学生推导出公式，对于后续学习多边形的拆分也有一定启发性。但它的弊端也非常明显，一是推导过程过快，造成学生对三角形与平行四边形在底、高方面的对比联系缺乏体验，不利于学生沟通图形之间的关系；二是学习素材单一，使得学生从图形中就能直观看到整个推导过程，不利于学生空间想象能力的培养；三是数学逻辑逆向，导致学生是由平行四边形面积开始认识三角形面积，而不是我们所追求的将三角形转化为已知图形的化归过程。2.倍拼法方案1呈现的倍拼法是教师提供画有方格背景的三种三角形，引导学生将其转化为平行四边形，然后对比三角形与平行四边形的底、高、面积，体会联系(如图2)。方案2呈现的是教师提供学具，让学生在倍拼成功和失败两种情况中观察、验证三角形面积与平行四边形面积的关系。两种方案都能促使学生得出研究结论，并深刻体会两种图形之间的联系，感悟化归思想。 图2 然而，教学素材不同，也使得倍拼法的价值出现了较大差异。如第2种倍拼法看上去是学生在独立思考的基础上感悟化归思想，但因为教师提供了特定学具，学生在推导过程中就容易感知面积，但很难体会底和高的联系。同时，学具的提供也驱使学生将之拼成一个平行四边形，这具有明显的暗示性，在一定程度上降低了学生思维含量。试想，只给一个三角形，如果学生也能自觉想到需要再找一个完全相同的三角形进行倍拼，这才算是对转化思想的自觉运用，才是思维提高的表现。也正因为如此，第1种倍拼方法因为提供了方格背景，学生观察时就容易发现在这个三角形的旁边还有一个和这个三角形完全一样的三角形，且两者合为一体刚好是一个平行四边形或长方形。整个过程中，学生由“观察”到“想象”再到“实践”，自觉将三角形的底、高、面积与平行四边形联系在一起，每一结论都是学生发挥自主能力的结果。所以，在倍拼这一维度上，方案1要优于方案2。 3.剪拼法剪拼的割补思维方式更多的从几何学角度来研究图形的转化思想，让公式推导的过程更数学化。但整个的探究过程确有一定的难度：因为根据教材的编写，学生此前并未学习“中位线”的有关概念和定理，主动构建一条中位线的可能性较小，即便部分学生能想出这种方法，其自身也多出于图形直觉，而不是数学知识的理性运用。可以说，这种方法更多依赖于教师引导。然而，即便是教师努力引导，并且提供了如图2那样的方格背景，学生经历过如方案1中的倍拼后，自主探究的难度较大。究其原因，学生经历过探究一后，脑海中已形成一套完整的验证方案，在同一节课、相对较短的时间要超脱原方案，理解吸收另一种方案，这对学生来说也是一种巨大的挑战。反观方案2，学生动手操作倍拼之后，虽得出了结论，但收获的更多是一种操作经验，对三角形面积公式的推导还未上升至“自主、升发”层面，这时再探索剪拼，自主探索公式推导过程，培养自身能力发展，是再好不过的了。从这一层面来说，方案2要优于方案1。实践：推导方法的适度取舍由于推导方法的多元，像三角形的面积这样的经典课例的导学方案就变得极其丰富，教师必须做出适度取舍。这种取舍既与执教者对推导方法的理解和取向有关，也与学生的学习起点有关。因此，我们必须把握起点，深刻解读，适度取舍。1.把握起点是前提到了五年级，学生在几何直观和几何度量方面都有一定的积累，完全可能自主来探索三角形的面积公式。为了准确把握学生的学习起点，我们对学生前测问题如下：你认为三角形的面积大小与什么有关？你知道三角形的面积公式吗？你能根据提供的材料得到三角形的面积公式吗？(材料为一个长方形、一个正方形、一个平行四边形、两个完全一样的锐角三角形、两个完全一样的直角三角形、两个完全一样的钝角三角形)你会计算右图这个三角形的面积吗？整理参测的40位学生(来自4个不同班级)的答案后，汇总结果如下：表1三角形面积的大小与什么有关人数百分比三角形面积的计算公式人数百分比与高和底有关3382.5%底×高÷21230%底×高2460%与两条邻边有关00邻边相乘00不知道717.5%不知道410%表2所选材料操作方法人数百分比长方形沿对角线剪开512.5%正方形沿对角线剪开410%平行四边形沿对角线剪开1230%一个三角形沿高剪开1025%不会操作512.5%两个完全一样的三角形拼成平行四边形412.5%通过访谈，我们得知所有学生在学习平行四边形面积时都解决过“将平行四边形平均分成两个完全一样的三角形，求三角形面积”的问题，这在人教版修订版教材91页的课后练习中也有所体现。因此，学生对三角形面积有所了解，并能顺利沟通“将长方形、正方形、平行四边形沿对角线剪开”的类似经验。另外，有2个班的学生在学习平行四边的面积时对“邻边相乘”与“底×高”两种计算方法进行过比较，知道平行四边形面积等于底乘高，所以研究三角形时就将这一经验迁移过来。这为教学铺垫了一定的基础，同时也造成了60%的学生存在相依构想，认为三角形面积也是底乘高。与之相对的，有7人不知道三角形面积的大小与什么有关，但其中的3人却知道三角形面积的计算公式。这看似矛盾，也从侧面说明了部分学生已提起知晓公式，但对公式内在意义不甚理解。综上，我们确定学生的教学起点如下：知识起点82.5%的学生能够感知三角形的面积大小与底和高有关。22.5%的学生能用公式正确计算三角形的面积。经验起点学生在推导平行四边形面积公式的过程中，初步积累了运用转化思想解决问题的经验，但也导致25%的学生在推导三角形面积计算公式时也用一个三角形沿高剪开进行尝试。因在平行四边形面积练习中经历过类似问题，65%的学生能够调用四年级下学期已有的“图形的拼组”经验，选用两个完全一样的三角形倍拼进行推导。基于对学习起点的探查，我们认为学生应用学具倍拼来推导面积公式的难度最小、在方格背景中通过画图的方法倍拼来推导面积公式的难度适中，用剪拼法来推导面积公式的难度较大。也正是基于这一考虑，我们根据“同一课时难度应该轻重适度”的原则考虑，在教学比武时采用了方案2。2.深刻解读是基础正所谓“不谋全局者，不足谋一域”，没有全面地研究各种推导方法，就很难准确把握各类推导方法的本质。只有对各种推导方法的利弊有全面的了解、比较，才能适度取舍，为学生服务。如从三角形面积公式推导方法来看，有拆拼、倍拼、剪拼；从蕴含的内在价值来看，有面积意义的理解、图形关系的沟通、空间想象能力的培养、化归思想的渗透等。只有全面了解推导方法以及各种方法的内在价值，才能根据学生学习起点的不同，调整教学思路，落实能力发展。如拆拼法，本身并不适合作为学生研究面积公式的主要方法，这在上文已有论述，但作为导入环节能让学生在明知结论的前提下也能快速进入问题情境，明确研究问题，它对学生的作用也是不可否认的。再如倍拼法，不同的素材产生的教学价值也多有差异。也正因如此，导学过程往往不是由某一种推导方法承担的，而是多种方法相互组合、共同作用的。深刻解读方法，沟通这些方法的内在联系，自然会让课堂教学更加扎实、高效。3.适度取舍是关键巴班斯基认为，“选择对某节课最有效的教学方法，是教学过程最优化的核心问题之一。”面对纷繁多样的各种推导方法，教师既不能草率决定使用某种或几种方法，也不能随意确定教学重心，而是应该根据学生的学习起点，有选择地挑选推导方法。在这里，教师的适度取舍就成为了关键。在面对本校4个班级的学生已对倍拼法有所认识，对剪拼的理解还停留在沿高剪开的现状下，教师必然要侧重剪拼，挑选方案2使学生在短时间内就倍拼成功。此刻，学生对倍拼的理解还不如方案1中那样来得扎实、深刻，但方案2所带来的操作经验，同样也会加深学生对剪拼法的思维储备。另外，教师也可根据自身的教学思考，对推导方法进行适度取舍。如特级教师陈庆宪老师就从“怎样能使学生自己想到用两个相同的三角形去拼平行四边形”这一问题角度展开教学，把三角形放置在画有方格背景的纸中(图3)，引导学生探索公式陈庆宪，从“怎么想不到”到“怎么能想到”J.教学月刊小学版,2011,(1-2)。因为有了“方格背景”这一脚手架，学生在尝试阶段就采用多种推导方法，将“倍拼法”和“剪拼法”演绎得淋漓尽致，达到了两种推导方法并重的教学目的。而毕宏辉老师则思考“教师提供学生研究的三角形是否太特殊了？”这一问题，引导学生由长方形剪拼出的不同三角形入手(图4)，循着先“剪拼”后“倍拼”的三角形面积公式探索过程展开研究毕宏辉，也谈从“怎么想不到”到“怎么能想到”J.教学月刊小学版,2011,(7-8) 。他们面对不同的问题，产生不同的教学思考，推导方法的使用也不同，导学方案自然也不一样。但都成功的原因却是一样的，因为他们都是基于自己对学生起点的整体把握，有效演绎了适合学生的课堂教学。 图3 图4解决问题的方法从来都不是唯一的，区别的就是学生是否能够体会到每种方法的内涵与价值，以及每种方法对学生后续发展的影响是否深远。就如同一盘水果拼盘摆在某人面前，从理论上来讲，每种水果都是有益的、都是可以选择的，这就像多种推导方法之于我们。但是，如果调查他的喜好、体质，那么，并不是每一种水果都是合理的。同样，如果从学生的学习起点出发，我们就会发现并不是所有推导方法都可作为重点在教学实践中得到体现。对待教学，理性的做法就是把握学生起点，深究方法的内在价值，适度取舍以形成导学方案。参考文献：1王国元，基于学习起点 优化学法指导J.小学数学教师,2014,(5)2麻彩虹，从“怎么想不到”到“怎么能想到”J.教学月刊小学版,2010,(10)3陈庆宪，从“怎么想不到”到“怎么能想到”J.教学月刊小学版,2011,(1-2)4毕宏辉，也谈从“怎么想不到”到“怎么能想到”J.教学月刊小学版,2011,(7-8)5梁晓明，怎样的学习材料才是真正适合儿童探究的J.中小学数学小学版,2010,(4)6陈敏 许含英等，三角形和梯形面积教学研究M.科学教育出版社,2014