直线参数方程t的几何意义98062(5页).doc

-直线参数方程t的几何意义98062-第 5 页利用直线参数方程t的几何意义1、 直线参数方程的标准式(1)过点P0()，倾斜角为的直线的参数方程是 （t为参数）t的几何意义：t表示有向线段的数量，P() P0P=t P0P=t 为直线上任意一点. (2)若P1、P2是直线上两点，所对应的参数分别为t1、t2，则P1P2=t2t1 P1P2=t 2t 1 (3) 若P1、P2、P3是直线上的点，所对应的参数分别为t1、t2、t3 则P1P2中点P3的参数为t3,P0P3= (4)若P0为P1P2的中点，则t1t20，t1·t2<02、 直线参数方程的一般式过点P0()，斜率为的直线的参数方程是 （t为参数）点击直线参数方程：yh0hP0hP()Q 一、直线的参数方程问题1：（直线由点和方向确定） 求经过点P0()，倾斜角为的直线的参数方程. 设点P()是直线上任意一点，（规定向上的方向为直线L的正方向）过点P作y轴的平行线，过P0作x轴的平行线，两条直线相交于Q点. 1)当与直线同方向或P0和P重合时，yh0hP()P0hQP0P|P0P| 则P0QP0Pcos Q PP0Psin2)当与直线反方向时，P0P、P0Q、Q P同时改变符号P0P|P0P| P0QP0Pcos Q PP0Psin 仍成立设P0Pt，t为参数，又P0Q， tcos Q P =t sin 即是所求的直线的参数方程 P0Pt，t为参数，t的几何意义是：有向直线上从已知点P0()到点 P()的有向线段的数量，且|P0P|t| 当t>0时，点P在点P0的上方； 当t0时，点P与点P0重合； 当t<0时，点P在点P0的下方；yh0hP0hP()特别地，若直线的倾斜角0时，直线的参数方程为 当t>0时，点P在点P0的右侧； 当t0时，点P与点P0重合；yh0hPP0h 当t<0时，点P在点P0的左侧；问题2：直线上的点与对应的参数t是不是一 对应关系？ 我们把直线看作是实数轴， 以直线向上的方向为正方向，以定点P0 为原点，以原坐标系的单位长为单位长， 这样参数t便和这条实数轴上的点P建立了 一一对应关系.问题3：P1、P2为直线上两点所对应的参数分别为t1、t2 ， 则P1P2？，P1P2=？ P1P2P1P0P0P2t1t2t2t1，P1P2= t2t1问题yh0hP1P0hP24：若P0为直线上两点P1、P2的中点，P1、P2所对应的 参数分别为t1、t2 ，则t1、t2之间有何关系？ 根据直线参数方程t的几何意义， P1Pt1，P2Pt2，P0为直线 上两点P1、P2的中点，|P1P|P2P| P1PP2P，即t1t2, t1t2<0 一般地，若P1、P2、P3是直线上的点， 所对应的参数分别为t1、t2、t3，P3为P1、P2的中点 则t3 （P1P3P2P3, 根据直线参数方程t的几何意义， P1P3= t3t1, P2P3= t3t2, t3t1=(t3t2,) ）性质一：A、B两点之间的距离为，特别地，A、B两点到的距离分别为性质二：A、B两点的中点所对应的参数为，若是线段AB的中点，则，反之亦然。 在解题时若能运用参数t的上述性质，则可起到事半功倍的效果。应用一：求距离例1、直线过点，倾斜角为，且与圆相交于A、B两点。（1）求弦长AB.（2）求和的长。解：因为直线过点，倾斜角为，所以直线的参数方程为，即，（t为参数），代入圆方程，得，整理得（1）设A、B所对应的参数分别为，所以，所以（2）解方程得，所以，应用二：求点的坐标例2、直线过点，倾斜角为，求出直线上与点相距为4的点的坐标。解：因为直线过点，倾斜角为，所以直线的参数方程为，即，（t为参数）， （1）设直线上与已知点相距为4的点为M点，且M点对应的参数为t，则，所以，将t的值代入（1）式，当t4时，M点的坐标为；当t4时，M点的坐标为，综上，所求M点的坐标为或. 点评：若使用直线的普通方程，利用两点间的距离公式求M点的坐标较麻烦，而使用直线的参数方程，充分利用参数t的几何意义求M点的坐标较容易。应用三：解决有关弦的中点问题例3、过点，倾斜角为的直线和抛物线相交于A、B两点，求线段AB的中点M点的坐标。解：直线过点，倾斜角为，所以直线的参数方程为，（t为参数），因为直线和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程中，得：，整理得，设这个二次方程的两个根为，由韦达定理得，由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得，易知中点M所对应的参数为，将此值代入直线的参数方程得，M点的坐标为（2，1） 点评：对于上述直线的参数方程，A、B两点对应的参数为，则它们的中点所对应的参数为