第1章 复数与复变函数-难题解答(10页).doc

-第一章第二章第三章第四章 第1章 复数与复变函数-难题解答-第 10 页第五章 复数与复变函数§1.1习题2设是任意n个复数，证明：，并给出不等式中等号成立的条件.（提示：可以用数学归纳法证明.等号成立的条件是线性相关）.3证明：证明：设，则，.由题2知， 故，即有4若，证明：.证明：不妨设则即有成立.5设|1，证明：若|z|=1，则.证明：由得故即证之.6设|1，|z|1.证明：.证明：提示：（ 而）7设，是任意2n个复数，证明复数形式的Lagrange等式：并由此推出Cauchy不等式：.证明：提示（记， ，则原式=.(1) 另外，.（2） 由（1）=（2）可得证.§1.2习题1 把复数写成三角形式.解：.2 问取何值时有.解：提示（）3 证明： 证明：由于，则即可得，.4 证明：和同向相似的充分必要条件为=0.证明：提示（和同向相似，使得线性相关）5 设，证明：z位于以和为端点的开线段上，当且仅当存在，使得；证明：z位于以和 为端点的开线段上6 图1.5是三个边长为1的正方形，证明：. E A B COD解：以O为原点，OD为X轴，OE为Y轴，建立坐标系.设 则，从而.因为i是单位向量，它的辐角为，即.10证明：并说明等式的几何意义.证明： 几何意义是：平行四边形两对角线长的平方和等于它的各边长的平方和.11设是单位圆周（以原点为中心、半径为1的圆周）上的n个点，如果是正n边形的n个顶点，证明：=0.证明：记，设该正n边形的一个圆心角为，.由复数乘法几何意义及正n边形对称性，即证之.13.设，是单位圆周上的四个点，证明：这四个点是一矩形顶点的充要条件为.证明：提示（先为菱形，连线为直径对点则是矩形）14.设L是由方程所确定的点的轨迹，其中，d是实数，是复数.证明：（i）当=0，0时，L是一直线；（ii）当0，时，L是一圆周.并求出该圆周的圆心和半径.证明：（i）令，则，故原方程为，即，即与垂直，从而轨迹是一条通过点，与垂直的直线.（ii）记，则，原式即证之.§1.3习题1. 证明：在复数的球面表示下，z和的球面像关于复平面对称.证明：设其球面对应的坐标为.而球面像对应的坐标为从而有，故和的球面像关于复平面对称.2. 证明：在复数的球面表示下，和的球面像是直径对点当且仅当z=-1.证明：设，由得，由于对应的球面像为，对应的球面像为，计算可得：，故z和的球面像是直径对点.由球面表示的几何意义知，位于通过竖坐标轴的平面与xoy平面交点上，从而必与原点共线，则，由，易知.3. 证明：在复数的球面表示下, 中的点z和的球面像间的距离为.证明：设和的球面像的坐标为和，则，故4. 证明：在复数的球面表示下，若是二阶酉方阵，则的变换w= 诱导了球面绕球心的一个旋转.证明：先证，一定有.而，由是二阶酉方阵知，类似的有故原式=，故成立，从而诱导变换是一个等距.又等距变换的行列式是的连续函数且只取两个值，而二阶酉方阵全体是连通的，从而行列式为常数.取=，此时诱导变换是恒等变换，行列式为1，故此常数为1，从而此等距变换为旋转.§1.4习题1. 设，.证明：复数列收敛到的充要条件是和.证明：因为，由不等式 即得充分性由不等式 及 并注意，可得必要性.2. 设,证明：.（提示：分开证明实部与虚部收敛即可.）§1.5习题2 设E是非空点集，.证明：成立，而不成立.证明：有 ，取下确界得，即（1）同样可得（2）因此由（1）（2）可得结论成立. 反例：令.则=1，=0，=0 3. 指出下列点集的内部、边界、闭包和导集：(i) =k: k为自然数；解：内部：空集；边界：；闭包：=k: k为自然数；导集：空集.(ii) E=: k为自然数：解：内部：空集；边界：E；闭包：= E；导集：0.(iii) D=B(1,1) ;解：内部：D=B(1,1) ; 边界：或；闭包：或；导集：或；(iv) G=z : ;解：内部：；边界：；或闭包：；导集：；(v) .解：内部：；边界：空集；闭包：；导集：.4.指出下列点集中哪些是开集，哪些是闭集，哪些是紧集：(i) Z=k: k为自然数；解：闭集，非开集，非紧集；(ii) E为有限集；解：紧集；(iii) D=， ；解：开集；(iv) G=B(0,1) ;解：非开，非闭，非紧；(v) B;解：紧集.8. 设D是开集，（i）(ii) 并且.证明：（1）由定理1.5.6可得（2）成立即，即 §1.6习题1.满足下列条件的点z所组成的点集是什么？如果是域，说明它是单连通域还是多连通域？（i） 实部是1的直线， 不是域 (ii) ;虚部小于-5的开平面， 单连通域(iii) 椭圆曲线 不是域(iv) 闭圆盘 单连通域(v) 半射线 不是域(vi) 开弓形 单连通域(vii) 圆盘外无界闭区域 (viii) 左半平面（不含虚轴）与以（-1，0）为圆心，为半径的闭圆盘外部之交 多连通域§1.7习题3.证明紧集的连续像为紧集.证明：任取的开覆盖，则是E的一个开覆盖，因为E为紧集，存在有限个开集，故，从而是紧集.将紧集换成闭集，结论不一定成立.反例：取令则不闭.5. 证明：若f在域D上一致连续，则对任意证明：因为f在域D上一致连续，故，对D上任意的，只要有.因此，有，由Cauchy收敛原理，极限存在.