简谐运动周期公式证明(3页).doc

-简谐运动周期公式证明-第 3 页为了使示意图更加简洁，全部假设k=1，这样的话以为F回=-kx（并且在此强调此处负号只表示方向，不表示数值，所以在证明中使用数值关系时全部忽略负号），所以回复力F数值上和在图中的线段长度等于位移X，所以在2个示意图中都是用一条线表示的。6一般简谐运动周期公式证明因为简谐运动可以看做圆周运动的投影，所以其周期也可以用圆周运动的公式来推导。见右图。圆周运动的 ；很明显v无法测量到，所以根据 得到 其中向心力F便可以用三角函数转换回复力得到即 （F=-kx中负号只表示方向，所以在这省略）。所以得到 因为x与r之间的关系是：x=rcos，所以上式继续化简得到： 然后再将V带入之前的圆周运动T中，即可得到 。4单摆周期公式证明首先必须明确只有在偏角不太大的情况（一般认为小于5°）下，单摆的运动可以近似地视为简谐运动。  单摆周期公式证明见示意图，在偏角很小时，我们可以近似的看做图中红色箭头即位移x（回复力）垂直于平衡位置。于是我们便可以得到sin 。同时因为回复力为重力与速度平行方向上的分力即图中重力分力2，重力分力1即L的延长线。于是我们可以得到AOB与重力和它的分力所构成的三角形相似（注意相似时的三角形方向）即可得到：（注意：此处比例关系中的位移x虽然在k=1的假设下数值上等于回复力F，但是必须清楚在意义上G2才是真正的回复力F，因为回复力F为重力与速度平行方向上的分力即G2）7 于是根据相似我们可以得到 ，于是化简得到 ，于是得到 ，然后将这个转换带入一般简谐运动周期公式便得到了单摆的周期公式 。15运动方程推导编辑定义：一个做匀速圆周运动的物体在一条直径上的投影所做的运动即为简谐运动：R是匀速圆周运动的半径，也是简谐运动的振幅；是匀速圆周运动的角速度，也叫做简谐运动的圆频率， 是t=0时匀速圆周运动的物体偏离该直径的角度（逆时针为正方向），叫做简谐运动的初相位。在t时刻，简谐运动的位移x=Rcos（t+），简谐运动的速度v=-Rsin（t+），简谐运动的加速度a=-2Rcos（t+），这三个式子叫做简谐运动的方程。3简单推导根据简谐运动的定义，   简谐运动与圆周运动示意图在右图的示意图中，我们可以清晰的看出上面各个概念在途中的表示。O点为圆心，也为简谐运动的平衡位置。对位移的推导使用三角函数的有关知识（t+）即角度,运用三角函数便求出了O点与结束位置的距离，即位移。（此图中位移为负数，即设定左边方向为正方向）所以得出方程x=Rcos（t+）。因为速度即为 ，运用微积分的知识对位移方程进行微分，便可得到导数 =-Rsin（t+），即v=-Rsin（t+）。同理，加速度为 ，也可以写为 （二次导数），于是我们再次对速度方程进行微分，得到二次导数 =-2Rcos（t+），即a=-2Rcos（t+）。3说明：1、这个运动是假设在没有能量损失引至阻力的情况而发生。2、做简谐运动的物体的加速度跟物体偏离平衡位置的位移大小成正比，方向与位移的方向相反，总指向平衡位置。3