考研数学《概率论与数理统计》知识点总结(12页).doc

-考研数学概率论与数理统计知识点总结-第 11 页第一章概率论的基本概念定义：随机试验E的每个结果样本点组成样本空间S，S的子集为E的随机事件，单个样本点为基本事件事件关系：1AB，A发生必导致B发生2AB和事件，A，B至少一个发生，AB发生3AB记AB积事件，A，B同时发生，AB发生4AB差事件，A发生，B不发生，AB发生5AB=Ø，A与B互不相容(互斥)，A与B不能同时发生，基本事件两两互不相容6AB=S且AB=Ø，A与B互为逆事件或对立事件，A与B中必有且仅有一个发生，记B=事件运算：交换律、结合律、分配率略德摩根律：，概率：概率就是n趋向无穷时的频率，记P(A)概率性质:1P(Ø)=02(有限可加性)P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+P(An)，Ai互不相容3若AB，则P(BA)=P(B)P(A)4对任意事件A，有5P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)古典概型：即等可能概型，满足：1S包含有限个元素2每个基本事件发生的可能性相同等概公式：超几何分布：，其中条件概率：乘法定理：全概率公式：，其中为S的划分贝叶斯公式：，或独立性：满足P(AB)=P(A)P(B)，则A，B相互独立，简称A，B独立定理一：A，B独立，则P(B|A)=P(B)定理二：A，B独立，则A与，与，与也相互独立第二章 随机变量及其分布(01)分布：，k=0，1 （0<p<1）伯努利实验：实验只有两个可能的结果：A及二项式分布：记Xb（n，p），n重伯努利实验：独立且每次试验概率保持不变其中A发生k次，即二项式分布泊松分布：记X（），泊松定理：，其中当，应用泊松定理近似效果颇佳随机变量分布函数：，连续型随机变量：，X为连续型随机变量，为X的概率密度函数，简称概率密度概率密度性质：1；2；3；4，f(x)在x点连续；5PX=a=0均匀分布：记XU(a，b)；性质：对ac<c+lb，有指数分布：；无记忆性：正态分布：记；性质：1f(x)关于x=对称，且P-h<X=P<X+h；2有最大值f()=()-1标准正态分布：；即=0，=1时的正态分布XN(0，1)性质：正态分布的线性转化：对有；且有正态分布概率转化：；3法则：P=(1)(-1)=68.26%；P=(2)(-2)=95.44%；P=(3)(-3)=99.74%，P多落在(-3，+3)内上分位点：对XN(0，1)，若z满足条件PX>z=，0<<1，则称点z为标准正态分布的上分位点常用上分位点：Y服从自由度为1的2分布：设X密度函数fX(x)，若Y=X2，则若设XN(0，1)，则有定理：设X密度函数fX(x)，设g(x)处处可导且恒有g(x)>0(或g(x)<0)，则Y=g(X)是连续型随机变量，且有h(y)是g(x)的反函数；若，则=ming()，g(+)，=maxg()，g(+)；若fX(x)在a，b外等于零，g(x)在a，b上单调，则=ming(a)，g(b)，=maxg(a)，g(b)应用：Y=aX+bN(a+b，(|a|)2)第三章 多维随机变量及其分布二维随机变量的分布函数：分布函数(联合分布函数)：，记作：F（x，y）性质：1F（x，y）是x和y的不减函数，即x2>x1时，F（x2，y）F（x1，y）；y2>y1时，F（x，y2）F（x，y1）20F（x，y）1且F（，y）=0，F（x，）=0，F（，）=0，F（+，+）=13F（x+0，y）=F（x，y），F（x，y+0）=F（x，y），即F（x，y）关于x右连续，关于y也右连续4对于任意的(x1，y1)，(x2，y2)，x2>x1，y2>y1，有Px1<Xx2，y1<Yy20离散型（X，Y）：，连续型（X，Y）：f(x，y)性质：1f(x，y)0234若f(x，y)在点(x，y)连续，则有n维：n维随机变量及其分布函数是在二维基础上的拓展，性质与二维类似边缘分布：Fx(x)，Fy(y)依次称为二维随机变量（X，Y）关于X和Y的边缘分布函数，FX(x)=F(x，)，FY(y)=F(，y)离散型：和分别为（X，Y）关于X和Y的边缘分布律，记，连续型：，为（X，Y）关于X和Y的边缘密度函数，记，二维正态分布：记(X，Y)N(1，2，12，22，)，离散型条件分布律：连续型条件分布：条件概率密度：条件分布函数：含义：当时，均匀分布：若，则称(X，Y)在G上服从均匀分布独立定义：若PXx，Yy=PXxPYy，即F(x，y)=Fx(x)Fy(y)，则称随机变量X和Y是相互独立的独立条件或可等价为：连续型：f(x，y)=fx(x)fy(y)；离散型：PX=xi，Y=yj=PX=xiPY=yj正态独立：对于二维正态随机变量（X，Y），X和Y相互对立的充要条件是：参数=0n维延伸：上述概念可推广至n维随机变量，要注意的是边缘函数或边缘密度也是多元(1n-1元)的定理：设（X1，X2，Xm）和（Y1，Y2，Yn）相互独立，则Xi和Yj相互独立又若h，g是连续函数，则h（X1，X2，Xm）和g（Y1，Y2，Yn）相互独立Z=X+Y分布：若连续型(X，Y)概率密度为f(x，y)，则Z=X+Y为连续型且其概率密度为或fX和fY的卷积公式：记，其中除继上述条件，且X和Y相互独立，边缘密度分别为fX(x)和fY(y)正态卷积：若X和Y相互独立且XN(1，12)，记YN(2，22)，则对Z=X+Y有ZN(1+2，12+22)1上述结论可推广至n个独立正态随机变量2有限个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布伽马分布：记，其中若X和Y独立且X(，)，记Y(，)，则有X+Y(+，)可推广到n个独立分布变量之和：，若X和Y相互独立，则有分布：，若X和Y相互独立，则有大小分布：若X和Y相互独立，且有M=maxX，Y及N=minX，Y，则M的分布函数：Fmax(z)=FX(z)FY(z)，N的分布函数：Fmin(z)=11FX(z)1FY(z)，以上结果可推广到n个独立随机变量的情况第四章随机变量的数字特征数学期望：简称期望或均值，记为E(X)；离散型：连续型：定理：设Y是随机变量X的函数：Y=g(X)(g是连续函数)1若X是离散型，且分布律为PX=xk=pk，则：2若X是连续型，概率密度为f(x)，则：定理推广：设Z是随机变量X，Y的函数：Z=g(X，Y)(g是连续函数)1离散型：分布律为PX=xi，Y=yj=pij，则：2连续型：期望性质：设C是常数，X和Y是随机变量，则：1E(C)=C2E(CX)=CE(X)3E(X+Y)=E(X)+E(Y)4又若X和Y相互独立的，则E(XY)=E(X)E(Y)方差：记D(X)或Var(X)，D(X)=Var(X)=EXE(X)2标准差(均方差)：记为(X)，(X)= 通式：，标准化变量：记，其中，称为X的标准化变量，方差性质：设C是常数，X和Y是随机变量，则：1D(C)=0 2D(CX)=C2D(X)，D(X+C)=D(X)3D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2E(XE(X)(YE(Y)，若X，Y相互独立D(X+Y)=D(X)+D(Y)4D(X)=0的充要条件是PX=E(X)=1正态线性变换：若，是不全为0的常数，则切比雪夫不等式：或，其中，为任意正数协方差：记X与Y的相关系数：D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)，Cov(X，Y)=E(XY)E(X)E(Y)性质：1Cov(aX，bY)=abCov(X，Y)，a，b是常数2Cov(X1+X2，Y)=Cov(X1，Y)+Cov(X2，Y)系数性质：令e=E(Y(a+bX)2，则e取最小值时有，其中，1|XY|12|XY|=1的充要条件是：存在常数a，b使PY=a+bX=1|XY|越大e越小X和Y线性关系越明显，当|XY|=1时，Y=a+bX；反之亦然，当XY=0时，X和Y不相关X和Y相互对立，则X和Y不相关；但X和Y不相关，X和Y不一定相互独立定义：k阶矩(k阶原点矩)：E(X k )n维随机变量X i的协方差矩阵：，=EXiE(Xi)X jE(X j)k+l阶混合矩：E(X kY l )k阶中心矩：EXE(X) k k+l阶混合中心矩：EXE(X)kYE(Y)ln维正态分布：，性质：1n维正态随机变量(X1，X2，X n)的每一个分量Xi (i=1，2，n)都是正态随机变量，反之，亦成立2n维随机变量(X1，X2，X n)服从n维正态分布的充要条件是X1，X2，X n的任意线性组合l1X1+l2X2+l n X n服从一维正态分布(其中l1，l2，l n不全为零)3若(X1，X2，X n)服从n维正态分布，且Y1，Y2，Y k是X j (j=1，2，n)的线性函数，则(Y1，Y2，Y k)也服从多维正态分布4若(X1，X2，X n)服从n维正态分布，则“Xi 相互独立”与“Xi 两两不相关”等价第五章大数定律及中心极限定理弱大数定理：若X1，X2，是相互独立并服从同一分布的随机变量序列，且E(X k)=，则对任意>0有或，定义：Y1，Y2，Y n ，是一个随机变量序列，a是一个常数若对任意>0，有则称序列Y1，Y2，Y n ，依概率收敛于a记伯努利大数定理：对任意>0有或其中f A是n次独立重复实验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率中心极限定理定理一：设X1,X2,X n ,相互独立并服从同一分布，且E(X k)=，D(X k)=2 >0，则n时有近似的 N(0，1)或N(0，1)或N(，)定理二：设X1,X2,X n ,相互独立且E(X k)= k，D(X k)= k2 >0，若存在>0使n时，则N(0，1)，记定理三：设，则n时，(0，1)，第六章样本及抽样分布定义：总体：全部值；个体：一个值；容量：个体数；有限总体：容量有限；无限总体：容量无限定义：样本：X1,X2,X n 相互独立并服从同一分布F的随机变量，称从F得到的容量为n的简单随机样本频率直方图：图形：以横坐标小区间为宽，纵坐标为高的跨越横轴的几个小矩形横坐标：数据区间（大区间下限比最小数据值稍小，上限比最大数据值稍大；小区间：均分大区间，组距=大区间/小区间个数；小区间界限：精度比数据高一位）图形特点：外轮廓接近于总体的概率密度曲线纵坐标：频率/组距（总长度：<1/；小区间长度：频率/组距）定义：样本p分位数：记xp，有1样本xi中有np个值xp2样本中有n(1p)个值xp箱线图：xp选择：记分位数x，记为Q2或M，称为样本中位数分位数x，记为Q1，称为第一四分位数分位数x，记为Q3，称为第三四分位数图形：min Q1 M Q3 max 图形特点：M为数据中心，区间min，Q1，Q1，M，M，Q3，Q3，max数据个数各占1/4，区间越短数据密集四分位数间距：记IQR=Q3Q1；若数据X<Q1IQR或X>Q3IQR，就认为X是疑似异常值抽样分布：样本平均值：样本方差：样本标准差：样本k阶(原点)矩：，k1样本k阶中心矩：，k2经验分布函数：，表示F的一个样本X1,X2,X n 中不大于x的随机变量的个数自由度为n的2分布：记22（n），其中X1,X2,X n是来自总体N(0，1)的样本E(2 )=n，D(2 )=2n12+222（n1+n2）2分布的分位点：对于0<<1，满足，则称为的上分位点当n充分大时(n>40)，其中是标准正态分布的上分位点自由度为n的t分布：记tt (n)，其中XN(0，1)，Y2(n)，X，Y相互独立h(t)图形关于t=0对称；当n充分大时，t分布近似于N(0，1)分布t分布的分位点：对于0<<1，满足，则称为的上分位点由h(t)对称性可知t1(n)=t (n)当n>45时，t (n)z，z是标准正态分布的上分位点自由度为(n1，n2)的F分布：记FF(n1，n2)，其中U2(n1)，V2(n2)，X，Y相互独立1/FF(n2，n1)F分布的分位点：对于0<<1，满足，则称为的上分位点重要性质：F1(n1，n2)=1/F(n1，n2)定理一：设X1,X2,X n 是来自N(，2)的样本，则有，其中是样本均值定理二：设X1,X2,X n 是来自N(，2)的样本，样本均值和样本方差分别记为，则有1；2与相互独立定理三：设X1,X2,X n 是来自N(，2)的样本，样本均值和样本方差分别记为，则有定理四：设X1,X2,X n1 与Y1,Y2,Y n2分别是来自N(1，12)和N(2，22)的样本，且相互独立设这两个样本的样本均值和样本方差分别记为，则有12当12=22=2时，其中，第七章参数估计定义：估计量：，估计值：，统称为估计矩估计法：令=()(k为未知数个数)联立方程组，求出估计设总体X均值及方差2都存在，则有，最大似然估计法：似然函数：离散：或连续：，化简可去掉与无关的因式项即为最大值，可由方程或求得当多个未知参数1，1，k时：可由方程组或（）求得最大似然估计的不变性：若u=u()有单值反函数=(u)，则有，其中为最大似然估计截尾样本取样：定时截尾样本：抽样n件产品，固定时间段t0内记录产品个体失效时间(0t1t2tmt0)和失效产品数量定数截尾样本：抽样n件产品，固定失效产品数量数量m记录产品个体失效时间(0t1t2tm)结尾样本最大似然估计：定数截尾样本：设产品寿命服从指数分布Xe（），即产品平均寿命产品ti时失效概率Pt=tif(ti)d ti，寿命超过tm的概率，则，化简得，由得：，其中s(tm)=t1+t2+tm+(nm)tm，称为实验总时间定时截尾样本：与定数结尾样本讨论类似有s(t0)=t1+t2+tm+(nm)t0，无偏性：估计量的存在且，则称是的无偏估计量有效性：与都是的无偏估计量，若，则较有效相合性：设的估计量，若对于任意有，则称是的相合估计量置信区间：，和分别为置信下限和置信上限，则是的一个置信水平为置信区间，称为置信水平，正态样本置信区间：设X1，X2，Xn是来自总体XN(，2)的样本，则有的置信区间：枢轴量W W分布 a，b不等式 置信水平 置信区间其中z/2为上分位点置信区间的求解：1先求枢轴量：即函数W=W(X1，X2，Xn；)，且函数W的分布不依赖未知参数如上讨论标注2对于给定置信水平，定出两常数a，b使Pa<W<b=，从而得到置信区间(01)分布p的区间估计：样本容量n>50时，若令，则有置信区间(，）单侧置信区间：若或，称(，)或(，)是的置信水平为的单侧置信区间正态总体均值、方差的置信区间与单侧置信限（置信水平为）待估其他枢轴量W的分布置信区间单侧置信限一个正态总体2已知，2未知，2未知，两个正态总体1212，22已知1212=22=2未知12/221，2未知，单个总体XN(，2)，两个总体XN(1，12)，YN(2，22)第八章假设实验定义：H0：原假设或零假设，为理想结果假设；H1：备择假设，原假设被拒绝后可供选择的假设第类错误：H0实际为真时，却拒绝H0第类错误：H0实际为假时，却接受H0显著性检验：只对犯第第类错误的概率加以控制，而不考虑第类错误的概率的检验P当H0为真拒绝H0，称为显著水平拒绝域：取值拒绝H0临界点：拒绝域边界双边假设检验：H0：=0，H1：0右边检验：H0：0，H1：>0左边检验：H0：0，H1：<0正态总体均值、方差的检验法(显著性水平为)原假设H0备择假设H1检验统计量拒绝域12已知0>0zz0<0zz=00|z|z/222未知0>0tt(n1)0<0tt(n1)=00|t|t/2(n1)31，2已知1212>zz1212<zz12=12|z|z/2412=22=2未知1212>tt(n1+n22)1212<tt(n1+n22)12=12|t|t/2(n1+n22)5未知2022>0222(n1)2022<02221(n1)2=0220222/2(n1)或221/2(n1)61，2未知122212>22FF(n11，n21)122212<22FF1(n11，n21)12=221222FF/2(n11，n21)或FF1/2(n11，n21)7成对数据D0D>0tt(n1)D0D<0tt(n1)D=0D0|t|t2(n1)检验方法选择：主要是逐对比较法（成对数据）跟两个正态总体均值差的检验的区别，如上表即7跟3、4的区别，成对数据指两样本X和Y之间存在一一对应关系，而3和4一般指X和Y相互对立，但针对同一实体关系：置信区间与假设检验之间的关系：未知参数的置信水平为1的置信区间与显著水平为的接受域相同定义：施行特征函数(OC函数)：()=P(接受H0)功效函数：1()功效：当*H1时，1(*)的值