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第十一章 无穷级数,第一节 常数项级数的概念与性质,实例 概念 性质 必要条件 小结、作业,1/26,一、实例,1. 计算圆的面积A-割圆术,正六边形的面积,正十二边形的面积,正 边形的面积,2/26,3/26,二、概念,1. 级数的定义:,(常数项)无穷级数，,一般项,部分和,2. 级数的收敛与发散:,余项,4/26,解,收敛;,发散;,发散.,发散.,综上,5/26,解,为等比级数，,解,6/26,解,7/26,(续),8/26,三、性质,即: 收敛的级数可以逐项相加与逐项相减.,9/26,思考: 收敛级数与发散级数的和的收敛性如何?,解,10/26,*证,11/26,*证,注意,收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛.,收敛;,发散.,12/26,四、收敛的必要条件,*证,级数收敛的必要条件:,注意,1. 一般项不趋于零级数发散;,发散,2. 条件不充分：一般项趋于零级数收敛.,13/26,例5,14/26,8项,4项,2项,2项,项,由性质4推论,调和级数发散.,或由,15/26,例6 判别收敛性：,解,解,解,16/26,解,17/26,五、小结,一、常数项级数的概念:,二、基本审敛法：,18/26,作 业,习题11-1 1-(1)(2) 2 3 4,*无穷级数收敛性举例：Koch雪花.,做法：先给定一个正三角形，然后在每条边上对称的产生边长为原边长的1/3的小正三角形如此类推在每条凸边上都做类似的操作，我们就得到了面积有限而周长无限的图形“Koch雪花”,19/26,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,20/26,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,21/26,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,22/26,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,23/26,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,24/26,观察雪花分形过程,第一次分叉：,依次类推,25/26,周长为,面积为,于是,结论：雪花的周长是无限的，而面积有限,第n次分叉：,26/26,