2022年初中数学函数知识点.docx

_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载1 常量和变量在某变化过程中可以取不同数值的量,叫做变量在某变化过程中保持同一数值的量或数,叫常量或常数2函数设在一个变化过程中有两个变量x 与 y,假如对于x 在某一范畴的每一个值,y 都有唯一的值与它对应,那么就说 3自变量的取值范畴x 是自变量, y 是 x 的函数1整式：自变量取一切实数2分式：分母不为零3偶次方根：被开方数为非负数4零指数与负整数指数幂：底数不为零4函数值对于自变量在取值范畴内的一个确定的值,如当 这个对应值,叫做 xa 时的函数值5函数的表示法 1解析法； 2列表法； 3图象法6函数的图象x a 时,函数有唯独确定的对应值,把自变量 x 的一个值和函数y 的对应值分别作为点的横坐标和纵坐标,可以在平面直角坐标系内描出一个点,全部这些点的集合,叫做这个函数的图象由函数解析式画函数图象的步骤：1写出函数解析式及自变量的取值范畴；2列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；3描点：以表中对应值为坐标,在坐标平面内描出相应的点；4连线：用平滑曲线,依据自变量由小到大的次序,把所描各点连接起来7一次函数1一次函数 假如 y kxbk、 b 是常数, k 0,那么 y 叫做 x 的一次函数特殊地,当b0 时,一次函数ykxb 成为 y kxk 是常数, k 0,这时, y 叫做 x的正比例函数2一次函数的图象一次函数 ykxb 的图象是一条经过0,b点和点的直线特殊地,正比例函数图象是一条经过原点的直线需要说明的是,在平面直角坐标系中,“直线 ”并不等价于 “一次函数 ykxbk 0的图象” ,由于仍有直线 ym此时 k 0和直线 xn此时 k 不存在 ,它们不是一次函数图象3一次函数的性质当 k0 时, y 随 x 的增大而增大；当k0 时, y 随 x 的增大而减小直线 y kxb 与 y 轴的交点坐标为0,b,与 x 轴的交点坐标为4用函数观点看方程组与不等式任何一元一次方程都可以转化为axb0a,b 为常数, a 0的形式,所以解一元一_精品资料_ 次方程可以转化为：一次函数ykxbk,b 为常数, k 0,当 y0 时,求相应的自变第 1 页,共 11 页量的值,从图象上看,相当于已知直线ykxb,确定它与x 轴交点的横坐标二元一次方程组对应两个一次函数,于是也对应两条直线,从“ 数” 的角度看,解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数值相等,以及这两个函数值是何值；从“ 形” 的- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载角度看,解方程组相当于确定两条直线的交点的坐标任何一元一次不等式都可以转化axb0 或 axb0a、b 为常数, a 0的形式,解一元一次不等式可以看做：当一次函数值大于0 或小于 0 时,求自变量相应的取值范畴8反比例函数 1反比例函数 假如 k 是常数, k 0,那么 y 叫做 x 的反比例函数2反比例函数的图象 反比例函数的图象是双曲线3反比例函数的性质 当 k 0 时,图象的两个分支分别在第一、三象限内,在各自的象限内,y 随 x 的增大 而减小当 k 0 时,图象的两个分支分别在其次、四象限内,在各自的象限内,y 随 x 的增大 而增大反比例函数图象关于直线 4k 的两种求法y±x 对称,关于原点对称如点 x0,y0在双曲线 上,就 kx0y0 k 的几何意义：如双曲线 上任一点 Ax ,y,AB x 轴于 B,就 S AOB 5正比例函数和反比例函数的交点问题如正比例函数yk1xk1 0,反比例函数,就当 k1k2 0 时,两函数图象无交点；当 k1k2 0 时,两函数图象有两个交点,坐标分别为 如有交点,两交点肯定关于原点对称1二次函数由此可知,正反比例函数的图象假如 y ax2bxca,b,c 为常数, a 0,那么 y 叫做 x 的二次函数几种特殊的二次函数：h2a 0 2二次函数的图象y ax2a 0； y ax2 cac 0； y ax2 bxab 0； y ax二次函数 yax2bxc 的图象是对称轴平行于 y 轴的一条抛物线由 yax2a 0的图象,通过平移可得到 3二次函数的性质yaxh2ka 0的图象二次函数 yax2bxc 的性质对应在它的图象上,有如下性质：1抛物线 yax2bxc 的顶点是,对称轴是直线,顶点必在对称轴上；2如 a0,抛物线 yax2bxc 的开口向上, 因此, 对于抛物线上的任意一点 x,y,当 x 时, y 随 x 的增大而减小；当 x 时, y 随 x 的增大而增大；当 x ,y 有最小值 ；如 a0,抛物线 yax2bxc 的开口向下,因此,对于抛物线上的任意一点 x, y,当 x ,y 随 x 的增大而增大；当 时,y 随 x 的增大而减小；当 x 时,y 有最大值；3抛物线 yax2bxc 与 y 轴的交点为 0,c；4在二次函数yax2bxc 中,令 y0 可得到抛物线yax2bxc 与 x 轴交点的情形：_精品资料_ 0 时,抛物线yax2bxc 与 x 轴没有公共点0 时,抛物线y ax2bxc 与第 2 页,共 11 页x 轴只有一个公共点,即为此抛物线的顶点；当b24ac0,抛物线 y ax2bx- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载和 ,这两点的距离为；当当c 与 x 轴有两个不同的公共点,它们的坐标分别是4抛物线的平移抛物线 yaxh2k 与 yax2 外形相同,位置不同把抛物线 yax2 向上 下、向左右平移,可以得到抛物线 yaxh2k平移的方向、距离要依据 h、k 的值来决定函数学问点总结 把握函数的定义、性质和图像 （一）平面直角坐标系1、定义：平面上相互垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系,简称为直角坐标系2、各个象限内点的特点 : 第一象限：（+,+）其次象限：（- ,+）第三象限：（- ,- ）第四象限：（+,- ）点 P（x,y ）,就 x0,y 0；点 P（x,y ）,就 x0,y 0；点 P（x,y ）,就 x0,y 0；点 P（x,y ）,就 x0,y 0；3、坐标轴上点的坐标特点： x轴上的点,纵坐标为零；y 轴上的点,横坐标为零；原点的坐标为（0 , 0）；两坐标轴的点不属于任何象限；4、点的对称特点：已知点Pm,n, 横坐标相同,纵坐标反号关于 x 轴的对称点坐标是m,-n, 关于 y 轴的对称点坐标是-m,n 纵坐标相同,横坐标反号关于原点的对称点坐标是-m,-n 横,纵坐标都反号5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特点：平行于 x 轴的直线上的任意两点：纵坐标相等；平行于 y 轴的直线上的任意两点：横坐标相等；6、各象限角平分线上的点的坐标特点：第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；其次、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数；7、点 P（x,y ）的几何意义：_精品资料_ 点 P（x,y ）到 x 轴的距离为 |y|,x2y2第 3 页,共 11 页点 P（x,y ）到 y 轴的距离为 |x|；点 P（x,y ）到坐标原点的距离为- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载8、两点之间的距离：X轴上两点为 A 1x 0, 、B x 2 , 0 |AB| | x 2 x 1 |Y轴上两点为 C ,0 y 1 、D 0 , y 2 |CD| | y 2 y 1 |已知 A x 1y 1 、B x 2y 2 AB|= x 2 x 1 2 y 2 y 1 29、中点坐标公式：已知 A x 1 y 1 、B x 2y 2 M 为 AB的中点就： M= x 2 x 1 , y 2 y 1 2 210、点的平移特点：在平面直角坐标系中,将点（ x,y ）向右平移 a 个单位长度,可以得到对应点（ x-a ,y）；将点（ x,y ）向左平移 a 个单位长度,可以得到对应点（x+a ,y）；将点（ x,y ）向上平移 b 个单位长度,可以得到对应点（x,yb）；将点（ x,y ）向下平移 b 个单位长度,可以得到对应点（x,yb）；留意：对一个图形进行平移,这个图形上全部点的坐标都要发生相应的变化；反过来,从图形上点的坐标的加减变化,我们也可以看出对这个图形进行了怎样的平移；（二）函数的基本学问：基本概念1、变量： 在一个变化过程中可以取不同数值的量；常量： 在一个变化过程中只能取同一数值的量；2、函数： 一般的,在一个变化过程中,假如有两个变量x 和 y,并且对于x 的每一个确定的值, y 都有唯独确定的值与其对应,那么我们就把x 称为自变量,把y 称为因变量, y是 x 的函数； *判定 A是否为 B的函数,只要看B 取值确定的时候,A 是否有唯独确定的值与之对应3、定义域： 一般的,一个函数的自变量答应取值的范畴,叫做这个函数的定义域；4、确定函数定义域的方法：（ 1）关系式为整式时,函数定义域为全体实数；（ 2）关系式含有分式时,分式的分母不等于零；（ 3）关系式含有二次根式时,被开放方数大于等于零；（ 4）关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零；_精品资料_ - - - - - - -第 4 页,共 11 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（ 5）实际问题中,函数定义域仍要和实际情形相符合,使之有意义；5、函数的图像一般来说, 对于一个函数, 假如把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形,就是这个函数的图象6、函数解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式；7、描点法画函数图形的一般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值）；其次步：描点（在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各点）；第三步：连线（依据横坐标由小到大的次序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）；8、函数的表示方法列表法：一目了然,使用起来便利, 但列出的对应值是有限的,不易看出自变量与函数之间的对应规律；解析式法：简洁明白,能够精确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系,但有些实际问题中的函数关系,不能用解析式表示；图象法：形象直观,但只能近似地表达两个变量之间的函数关系；（三）正比例函数和一次函数1、正比例函数及性质一般地,形如 y=kxk 是常数, k 0 的函数叫做正比例函数,其中 k 叫做比例系数 . 注：正比例函数一般形式 y=kx k 不为零 k 不为零 x 指数为 1 b 取零当 k>0 时,直线 y=kx 经过三、 一象限, 从左向右上升, 即随 x 的增大 y 也增大； 当 k<0时, .直线 y=kx 经过二、四象限,从左向右下降,即随 1 解析式 ：y=kx（k 是常数, k 0）2 必过点 ：（0,0）、（1,k）x 增大 y 反而减小3 走向： k>0 时,图像经过一、三象限；k<0 时, .图像经过二、四象限4 增减性 ：k>0,y 随 x 的增大而增大；k<0,y 随 x 增大而减小5 倾斜度 ：|k| 越大,越接近y 轴； |k| 越小,越接近x 轴2、一次函数及性质一般地,形如 y=kx bk,b 是常数, k 0 ,那么 y 叫做 x 的一次函数 . 当 b=0 时, y=kxb即 y=kx ,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数 . 注：一次函数一般形式 y=kx+b k 不为零 k 不为零 x 指数为 1 b 取任意实数_精品资料_ - - - - - - -第 5 页,共 11 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 一次函数 y=kx+b 的图象是经过（学习必备欢迎下载0,b）和（ -b ,0）两点的一条直线,我们称它为直 k线 y=kx+b, 它可以看作由直线y=kx 平移 |b| 个单位长度得到.（当 b>0 时,向上平移； 当 b<0时,向下平移）（1）解析式 ：y=kx+bk 、 b 是常数, k0 （2）必过点 ：（0,b）和（ -b ,0）k（3）走向： k>0 ,图象经过第一、三象限；k<0,图象经过其次、四象限k b>0,图象经过第一、二象限；b<0,图象经过第三、四象限0直线经过第一、二、三象限k0直线经过第一、三、四象限b0b0k0直线经过第一、二、四象限k0直线经过其次、三、四象限b0b0注： ykx+b 中的 k,b 的作用：1、k 打算着直线的变化趋势 k>0 直线从左向右是向上的 k<0 直线从左向右是向下的2、b 打算着直线与 y 轴的交点位置 b>0 直线与 y 轴的正半轴相交 b<0 直线与 y 轴的负半轴相交（4）增减性 ： k>0 ,y 随 x 的增大而增大；k<0,y 随 x 增大而减小 . （5）倾斜度 ：|k| 越大,图象越接近于 y 轴； |k| 越小,图象越接近于 x 轴 . （6）图像的平移 ： 当 b>0 时,将直线 y=kx 的图象向上平移 b 个单位；当 b<0 时,将直线 y=kx 的图象向下平移 b 个单位 . 3、一次函数 y=kxb 的图象的画法 . 依据几何学问： 经过两点能画出一条直线,并且只能画出一条直线,即两点确定一条直线,所以画一次函数的图象时,只要先描出两点,再连成直线即可. 一般情形下：是先选取_精品资料_ 它与两坐标轴的交点： （0,b）,. 即横坐标或纵坐标为0 的点 . 第 6 页,共 11 页注：对于ykx+b 而言,图象共有以下四种情形：1、k>0,b>0 2、k>0,b<0 3、k<0,b<0 4、k<0,b>0 - - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载4、直线 y=kx bk 0 与坐标轴的交点1 直线 y=kx 与 x 轴、 y 轴的交点都是 0 ,0 ；2 直线 y=kxb 与 x 轴交点坐标为与 y 轴交点坐标为 0 ,b 5、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：（1）依据已知条件写出含有待定系数的函数关系式；（ 2）将 x、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数 为未知数的方程；（3）解方程得出未知系数的值；（4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式 . 6、两条直线交点坐标的求法：方法：联立方程组求 x、y 例题：已知两直线 yx+6 与 y2x-4 交于点 P,求 P 点的坐标？7、直线 y=k1x+b1 与 y=k2x+b2 的位置关系（1）两条直线平行：k1=k2 且 b1b2 . 特殊地,轴记作直线（2）两直线相交：k1k 2（3）两直线重合：k1=k2且 b1=b2 平行于轴（或重合）的直线记作8、正比例函数与一次函数图象之间的关系一次函数 y=kx b 的图象是一条直线, 它可以看作是由直线得到（当 b>0 时,向上平移；当b<0 时,向下平移）. 9、一元一次方程与一次函数的关系y=kx 平移 |b| 个单位长度而任何一元一次方程到可以转化为 ax+b=0（ a,b 为常数, a 0）的形式,所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为 0 时,求相应的自变量的值 . 从图象上看, 相当于已知直线 y=ax+b 确定它与 x 轴的交点的横坐标的值 . 10、一次函数与一元一次不等式的关系任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0 或 ax+b<0（ a,b 为常数, a 0）的形_精品资料_ 式,所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大 （小）于 0 时,求自变量的取值范畴. 第 7 页,共 11 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载11、一次函数与二元一次方程组（1）以二元一次方程ax+by=c 的解为坐标的点组成的图象与一次函数y=axc的bb图象相同 . c 1和（2）二元一次方程组a 1xb 1yc 1的解可以看作是两个一次函数y=a 1xa2xb 2yc 2b 1b 1y=a 2xc 2的图象交点 . b 2b 2. 12、函数应用问题（理论应用实际应用）（1）利用图象解题通过函数图象猎取信息,并利用所猎取的信息解决简洁的实际问题（2）经营决策问题函数建模的关键是将实际问题数学化,从而解决正确方案,正确策略等问题 . 建立一次函数模型解决实际问题,就是要从实际问题中抽象出两个变量,再寻求出两个变量之间的关系,构建函数模型,从而利用数学知题 . 四 反比例函数一般地,假如两个变量x、y 之间的关系可以表示成ykx k为常数, k 0 的形式,那么称 y 是 x 的反比例函数；取值范畴： k 0; 在一般的情形下 , 自变量 x 的取值范畴可以是不等于 0 的任意实数; 函数 y 的取值范畴也是任意非零实数；反比例函数的图像属于以原点为对称中心的中心对称的双曲线反比例函数图像中每一象限的每一支曲线会无限接近（K 0）；反比例函数的性质：X 轴 Y 轴但不会与坐标轴相交1. 当 k>0 时,图象分别位于第一、三象限, 同一个象限内,y 随 x 的增大而减小；当 k<0 时,图象分别位于二、四象限,同一个象限内,y 随 x 的增大而增大； 2.k>0时,函数在x<0 和 x>0 上同为减函数；k<0 时,函数在x<0 和 x>0 上同为增函数；定义域为 x 0；值域为 y 0； 3. 由于在 y=k/xk 0 中,x 不能为 0, y 也不能为 0,所以反比例函数的图象不行能与 x 轴相交,也不行能与 y 轴相交； 4. 在一个反比例函数图象上任取两点 P, Q,过点 P, Q 分别作 x 轴, y 轴的平行线,与坐标轴围成的矩形面积为S1, S2,就 S1 S2=|K| 5. 反比例函数的图象既是轴对称图形,又是中心对称图形,它有两条对称轴_精品资料_ y=x y=-x（即第一三,二四象限角平分线）,对称中心是坐标原点；第 8 页,共 11 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 6. 如设正比例函数学习必备欢迎下载交于 A、B 两点（ m、n 同号）,那y=mx 与反比例函数y=n/x么 A B 两点关于原点对称； 7. 设在平面内有反比例函数y=k/x和一次函数y=mx+n,要使它们有公共交点,就 n2 +4k· m（不小于）0； （ k/x=mx+n ,即 mx2+nx-k=0 ） 8. 反比例函数 y=k/x 的渐近线：x 轴与 y 轴； 9. 反比例函数关于正比例函数 y=x,y=-x 轴对称 , 并且关于原点中心对称 . 第 5点的同义不同表述 10. 反比例上一点 m向 x、y 轴分别做垂线,交于 q、w,就矩形 mwqo（ o 为原点）的面积为 |k| 11.k 值相等的反比例函数重合,k 值不相等的反比例函数永不相交； 12.|k| 越大,反比例函数的图象离坐标轴的距离越远；（五）二次函数二次函数是指未知数的最高次数为二次的多项式函数；二次函数可以表示为fx=ax2+bx+ca 不为 0 ；其图像是一条主轴平行于 y 轴的抛物线；一般式 已知图像上三点或三对、的值,通常挑选一般式 .y=ax2+bx+ca 0,a 、b、 c 为常数 ,顶点坐标为 -b/2a, 4ac-b2/4a ；顶点式 已知图像的顶点或对称轴,通常挑选顶点式 . y=ax+m2+ka 0,a 、m、 k 为常数 或 y=ax- h2+ka 0,a 、h、 k 为常数 ,顶点坐标为（-m,k ）或（ h,k ）对称轴为 x=-m 或 x=h ,有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式；交点式 已知图像与轴的交点坐标、,通常选用交点式 ；y=ax-x1x-x2 仅限于与x 轴有交点A（ x1, 0）和 B （ x2 , 0）的抛物线抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点顶点抛物线有一个顶点P,坐标为P -b/2a , 4ac-b2/4a ,当 -b/2a=0时, P 在 y 轴上；当 = b2-4ac=0时, P 在 x 轴上；开口_精品资料_ - - - - - - -第 9 页,共 11 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 二次项系数学习必备欢迎下载向上 开口；当aa 打算抛物线的开口方向和大小；当 a 0 时,抛物线0 时,抛物线向下 开口； |a|越大 ,就抛物线的开口越小 ；打算对称轴位置的因素一次项系数 b 和二次项系数 a 共同打算对称轴的位置；当 a 与 b 同 号时（即 ab 0）,对称轴在 y 轴左 ；当 a 与 b 异 号时（即 ab 0）,对称轴在 y 轴右 ；（ 左同右异）c 的大小打算抛物线 与 轴交点的位置 . 当时,抛物线, 与与轴有且只有一个交点（0,）：,抛物线经过原点; 轴交于正半轴；, 与轴交于负半轴 . 直线与抛物线的交点（1）轴与抛物线 得交点为 0, . （2）与 轴平行的直线 与抛物线 有且只有一个交点 , . （3）抛物线与 轴的交点二次函数 的图像与 轴的两个交点的横坐标、,是对应一元二次方程 的两个实数根 . 抛物线与 轴的交点情形可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点 抛物线与 轴相交；有一个交点（顶点在 轴上）抛物线与 轴相切；没有交点 抛物线与 轴相离 . （4）平行于 轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 .当有 2 个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为,就横坐标是 的两个实数根 . （5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点,由方程组的解的数目来确定：_精品资料_ - - - - - - -第 10 页,共 11 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 方程组有两组不同的解时与学习必备欢迎下载与只有有两个交点 ; 方程组只有一组解时_精品资料_ 一个交点；方程组无解时与没有交点 . 与轴两交点为第 11 页,共 11 页（6）抛物线与轴两交点之间的距离：如抛物线,由于、是方程的两个根,故- - - - - - -