贝努利不等式在中学数学中的应用.doc

贝努利不等式在中学数学中的应用举例江西省都昌县第一中学 数学中许多著名不等式，在中学中应用极为广泛，原因在于这些不等式本身具有高度的概括性，它反映出数量间的某种本质联系，使得许多表面很难求解的问题，通过化归，往往能借助于它们，可以收到意想不到的效果。现以贝努利不等式应用为例，作一点说明。贝努利不等式 设x0 ,则(1)在01时，有x1(x1),(2)在0或1时，有x1(x1)。两个不等式中的等号仅当x1时成立。(3) ,0，nN*,n1,有nnn1(n1) n,当且仅当时(3)取等号。推论1 若且，则，当且仅当时等号成立推论2 若且，则当且仅当时等号成立例1 设 是两个不等正数，则证 先证 同理可得: ,·1再证(略)例2 (nN)证 暂由贝努利不等式知又 即在时，不等式成立。如果，则1，于是即：0，且1时，原不等式成立。例3 (第26届美国竞赛题)对任意正实数求证：证明 由(3)，得a33b2a2b3,b33a2b2a3,将上面两式相加，并整理得a3b3a2bab2,从而 a3b3abca2bab2abc,所以 .同理三式相加，1所以例4 (1990年日本IMO选拔题)设x,y,z0，且满足xyz1.求的最小值。分析 引入正参数，由(3)得1122(x)·1(x)2，4222(x)·2(x)2，9322(x)·3(x)2，上面三式取等号的条件分别为1x,2y,3z,又xyz1,所以取6.解 由(3),得 所以当取最小值36。从不等式的结构形式上分析，可以看出，贝努利不等式给出了正数x的幂x(1)与x的一个一次式之间的不等式关系。因此，一个问题如果能转化为x与x一次式的不等关系，则大多能用贝努利不等式加以解决。例1（前苏联数学竞赛）求证：证 当或中有一个为0时，不等式显然成立.当且时，由推论1，得以上两式相加，得故.例2 （数学通报问题819题）设均为锐角，且.求证：证 由推论1，得即同理以上三式相加，得例3 （数学通报问题794题）试证：当且仅当时取等号证 原不等式等价于（1）显然，当时（1）式中等号成立，当是时，由推论2，得以上两式相加，得综上可知，（1）式成立，故原不等式成立.第 4 页