2022年八年级数学暑期辅导练习精编第四讲三角形与四边形3.docx

_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 中考真题选编第四讲 三角形与四边形一、学习指引 1. 学问要点：三角形的性质,全等三角形的定义、判定和性质,结合等腰三角形、直角三角形以及平行四边形（含矩形、菱形、正方形）,梯形等性质的应用,中位线的应用. 2. 方法指导：1 处理有关三角形和四边形的问题,常转化成基本图形来考虑. A 2 解题过程中常需添加帮助线. （3）折叠问题中应重视轴对称学问的应用. 二、典型例题例 1如图,已知边长为5 的等边三角形ABC纸片,点E在 AC边上,点 FB F E C 在 AB边上,沿着EF 折叠,使点A 落在 BC边上的点 D 的位置,且 EDBC ,D 就 CE的长是（）A 10 315 B.105 3（例 1 图）C 5 35 D.2010 3例 2如图, O为 ABCD的对角线交点,点 F,如 S ABCD12,就 S DOE的值为 E 为 AB的中点, DE交 AC于 A1 B3 2 C2 D9（例 2 图）4C 例 3. 如图,已知每个小方格的边长为1,A、B、C都在小方格的顶点上,就点C到A B AB所在直线的距离等于 . 例 3 图例 4（07 湖州） 如图, 点 A 是 5× 5 网格图形中的一个格点 小正方形的顶点,图中每A 个小正方形的边长为1,以 A 为其中的一个顶点,面积等于5 的格点等腰直角三角形 2 三角形的三个顶点都是格点 的个数是（）A.10 个 B.12个 C.14个 D.16个 例 4 图例 5（09 烟台市）如图,将两张长为8,宽为 2 的矩形纸条交叉,使重叠部分是一个_精品资料_ 菱形,简单知道当两张纸条垂直时,菱形的周长有最小值8,那么菱形周长的最大值第 1 页,共 12 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 是（例 5 图）例 6（09 深圳市）如图a 是长方形纸带, DEF=20° ,将纸带沿EF折叠成图 b,再沿BF折叠成图 c,就图 c 中的 CFE的度数是EDC A EDA EA BBA FA BA DFCBA C GCGFA 图 aA A 图 b BA 图 c BCA A 例 7（09 兰州市）如图,在四边形 ABCD中, E为 AB上一点,ADE和 BCE都是等边三角形, AB、BC、CD、 DA的中点分别为 P、Q、M、 N,试判定四边形 PQMN为怎样的四边形,并证明你的结论例 8（09 丽水市）如图,已知ABC 中, ABC=90° ,AB=BC,三角形的顶点在相互平行的三条直线l1,l2,l 3 上,且 l 1,l 2 之间的距离为2 , l 2,l3 之间的距离为3 ,就 AC 的长是（）l3C l1A217 B25A B 例 8 图 C42 D7 l 2例 9（09 黔东南州）如图,l 1、l 2、l 3、l 4 是同一平面内的四条平行直线,且每相邻的两条平行直线间的距离为h,正方形 ABCD的四个顶点分别在这四条直线上,且正方形ABCD的面积是 25. （1）连结 EF,证明ABE、 FBE、 EDF、 CDF的面积相等 . _精品资料_ - - - - - - -第 2 页,共 12 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - （2）求 h 的值 . 例 10（09 台州市）定义：到凸四边形一组对边距离相等,到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点如图 1, PHPJ , PIPG ,就点 P 就是四边形ABCD 的准内图 4 点E B G A J D F A J D 图 3 B G H P P I C I H C 图 2 图 1 （例 10 图）（1）如图 2,AFD 与DEC 的角平分线FP EP 相交于点 P 求证：点 P 是四边形 ABCD 的准内点（2）分别画出图3 平行四边形和图4 梯形的准内点（作图工具不限,不写作法,但要有必要的说明）（3）判定以下命题的真假,在括号内填“ 真” 或“ 假”PCPD任意凸四边形肯定存在准内点（）任意凸四边形肯定只有一个准内点（）如 P 是任意凸四边形ABCD 的准内点,就PAPB或PAPCPBPD 例 11如图,四边形ABCD中, A BCD90o,BCCD,E 是 AD延长线上一点,如DE AB3cm,CE4 2cm,求 AD的长？（例 11 图）_精品资料_ - - - - - - -第 3 页,共 12 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 例 12. （09 河北） 在图 1 至图 3 中,点 B 是线段 AC的中点, 点 D是线段 CE的中点 四边形 BCGF和 CDHN都是正方形 AE的中点是 M（ 1）如图 1,点 E在 AC的延长线上,点N与点 G重合时,点M与点 C重合,GNH 求证： FM = MH,FMMH；F （ 2）将图 1 中的 CE绕点 C顺时针旋转一个锐角, 得到图 14-2 ,求证： FMH是等腰直角三角形；（ 3）将图 2 中的 CE缩短到图 14-3 的情形, FMH仍是等腰直角三角形吗？（不必A B CM N D E 说明理由）F 图 1 G H A B C D E F M 图 2 G N _精品资料_ A B M C D H E 第 4 页,共 12 页图 3 - - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 第四讲 三角形与四边形同步练习活动基地班级姓名【基础巩固】1. （ 2022 年烟台市）如图4, A=65° , B=75° ,将纸片的一角折叠,使点C.落在 ABC内,如 1=20° ,就 2 的度数为 _（第 1 题）_精品资料_ 2（ 2022 湖州）如图,已知在RtABC中,ACBRt,AB4,分别A C 以 AC , BC 为直径作半圆,面积分别记为1S ,S ,就S +S 的值等S1 S2 于（第 2 题）B 3（2022 湖州）如图,已知矩形ABCD ,将BCD沿对角线 BD 折叠,记点C 的对应点为 C ,如ADC =20° ,就BDC 的度数为 _A C20°D 409 淄博市 如图,梯形ABCD中, ABC和 DCB的平分线相交于梯形中位线EF（第 3 题）C 上的一点 P,如 EF=3,就梯形 ABCD的周长为B A.9 B.10.5 E A D C.12 D.15 P F B （第 4 题）C 第 5 页,共 12 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 509 淄博市 矩形纸片ABCD的边长 AB=4,AD=2将矩形纸片沿EF折叠,使点A 与点 C重合,折叠后在其一面着色 如图 ,就着色部分的面积为A. 8 B.11 2D G C C. 4 D.5 2F F 609 吉林 将宽为2cm 的长方形纸条折叠成如下列图的外形,那么折痕A E （第 5 题）B PQ 的长2cm 是（）60°A2 33cm B4 33cm C5cm D2cm P Q （第 6 题）7. 如图,在由24 个边长都为1 的小正三角形的网格中,点P 是P 正六边形的一个顶点,以点P 为直角顶点作格点直角三角形（即顶点均在格点上的三角形）,请你写出全部可能的直角三角形斜边的长 第 7 题 8（ 06 年河南省）如图 3,在 ABC中,AC=BC=2, ACB=90° , D是 BC边的中点, E.是 AB边上一动点,就 EC+ED的最小值是 _ 第 8 题 9如图,已知正方形ABCD的边长为 2, BPC是等边三角形, 就 CDP的面积是A ；D BPD的面积是P B 第 9 题 C 10如图, AOB60° ,过 OA上到点 O的距离分别为 1,3, 5, 7 ,_精品资料_ 9 ,11, 的点作OA的垂线与 OB相交,得到并标出一组黑色第 6 页,共 12 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 梯形,它们的面积分别为1S ,S ,S ,S , 观看图中的规律,求出第100 个黑色梯形的面积S 100_,AFDC, 、F两11 09 江苏省 如图,在梯形ABCD 中, ADBC,ABDE点在边 BC 上,且四边形AEFD 是平行四边形B A E D F C （ 1） AD 与 BC 有何等量关系？请说明理由；（ 2）当 ABDC 时,求证：ABCD 是矩形【才能拓展】12. （09 重庆市）如图,在等腰Rt ABC中, C=90o, AC=8,F 是 AB边上的中点,点D、E 分别在 AC、BC边上运动,且保持 以下结论：AD=CE,连接 DE、DF、EF；在此运动变化的过程中, DFE 是等腰直角三角形；四边形 CDFE不行能为正方形； DE 长度的最小值为 4；四边形 CDFE的面积保持不变；CDE 面积的最大值为 8. C其中正确的结论是（）EA B C D DA F B（第 12 题）13. （09 江苏省）如图,已知 EF 是梯形 ABCD 的中位线,DEFA 的面积为 4cm ,就梯 D 2形 ABCD 的面积为 cm 2E F B C （第 13 题）14. 如图 , 在平行四边形 ABCD中,A1,A2,A3,A4和 B1,B2,B3,B4分别是 AB和 DC的五等分点 ,C1,C2和 D1,D 2 分别是 AD和 BC的三等分点 , 如四边形 C1A4D2B1的面积为 1, 就 SABCD= . 15（09 年宜宾市）已知：如图,以Rt ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形如_精品资料_ 斜边 AB=3,就图中阴影部分的面积为_ 第 7 页,共 12 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 16. 如图,O是平行四边形ABCD对角线的交点, OE AD交 CD于 E,OF AB于 F,那么SOEFS平行四边形ABCD；AC2DB1 B2 B3B4D2CHEAOED（第 17 题）C1D1CBAA1A2 A3 A4 第14题图）BF 第 15 题 BFC 第 16 题 2 题图17. 如图,所示的阴影部分由方格纸上3 个小方格组成,我们称这样的图案为L 形,那么45小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的L 形图案个数是（）A16 B32 C48 D64 18如图,矩形ABCD中,点 E,F,G,H分别在边AB,BC, CD,DA上,点 P 在矩形 ABCD内如 AB 4cm,BC 6cm,AECG3cm,BFDH4cm,四边形 AEPH的面积为 5cm 2,就四边形 PFCG的面积为 _cm 21909 吉林 两个长为 2cm,宽为 1cm的长方形,摆放在直线 l 上（如图）,CE =2cm, 第 18 题 将长方形 ABCD 围着点 C 顺时针旋转角,将长方形 EFGH 围着点 E 逆时针旋转相同的角度（ 1）当旋转到顶点D 、 H 重合时,连接AG （如图）,求点 D 到 AG 的距离；G l （ 2）当45° 时（如图） ,求证：四边形MHND 为正方形A D H B C E F 图B A G F l l D （ H）B C 图E F A G H M D N C E 图（第 19 题）_精品资料_ - - - - - - -第 8 页,共 12 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 20如图,在平面直角坐标系内放置一个直角梯形 AOCD,已知AD=3, AO=8, OC=5,如点P 在梯形内,且SPADSPOC,y 3 D SPAOSPCD,求点 P 的坐标？A 8 5 O C x 第 20 题参考答案第四讲 三角形与四边形（典型例题）例 1. D . 例 2. B 例 3.8 10. 例 4. D. 例 517. 例 6.120° . 例 7.证明：如图,连结ACBD PQ 为 ABC的中位线, PQ 1 AC同理 MN 21 AC2AEC和 DEB中, MNPQ,四边形 PQMN为平行四边形在AE DE,ECEB, AED 60° CEB,_精品资料_ 即AEC DEB第 9 页,共 12 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - AEC DEB AC BD PQ 1 AC21 BDPN 2 PQMN为菱形例 8. A. 例 9. 解：连结 EF l 1 l 2 l 3 l 4,且四边形 ABCD是正方形BE FD,BF ED 四边形 EBFD为平行四边形BE=FD 又 l 1l 2l 3和 l 4之间的距离为h 1 FD·2h,S CDF=1 FD· h 2S ABE=1 BE·2h,S FBE=1 BE· h,S EDF= 2S ABE= S FBE= S EDF= S CDF（2）过 A 点作 AH BE于 H点；S ABE= S FBE= S EDF= S CDF 又 正方形 ABCD的面积是 25 SABE25,且 AB=AD=5 4又 l1 l2 l3 l4EF 分别是 AD与 BC的中点AE=1 AD= 25又 AB·AE=BE·AH AHABAE5552在 Rt ABE中,BE=AB2AE25252BE55例 10. （ 1）如图 2,过点 P 作PGAB,PHBC,PICD,PJAD,2 EP 平分DEC , PJPH同理PGPI P 是四边形 ABCD 的准内点（2）G A D A H D A DB 1P C B EF 1P C GB E 2P FC 图 3（1）图 3（2）图 4 平行四边形对角线 AC, BD 的交点 1P 就是准内点,如图 3（1）. 或者取平行四边形两对边中点连线的交点 1P 就是准内点,如图 3（2）；梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点 P 就是准内点如图 4. （3）真；真；假例 11. 5cm. _精品资料_ - - - - - - -第 10 页,共 12 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 例 12.（1）证明：四边形BCGF和 CDHN都是正方形,又点 N与点 G重合,点 M与点 C重合,FB = BM= MG = MD = DH,FBM =MDH = 90° G N D H E FBM MDHF FM = MHP C FMB =DMH = 45° , FMH= 90° A B FMHM（2）证明：连接MBMD,如图 2,设 FM与 AC交于点 PM B DM分别是 ACCEAE的中点,图 2 MD BC,且 MD = BC = BF ；MB CD,且 MB=CD=DH四边形 BCDM是平行四边形CBM=CDM MDHHMD =APM 又 FBP=HDC, FBM=MDH FBMFM= MH ,且MFB =HMD FMH=FMD MFB =FBP= 90° FMH是等腰直角三角形（3）是第四讲三角形与四边形 （同步练习）. B A K G F l l 【基础巩固】D （ H）1. 60. 2.2. 3.55° . 4. C. 5. B. 6. B. 7.2 4,7,138.5 . 8. B C E F 图9. 1 31. 10. 7963 . 11. 略. A G 【才能拓展】H M D 12. B. 13. 16. 14. 53CE15. 4.5. 16.1：8 17. C. 18.19 解：（1）CDDE2cm,N 45°CDE是等边三角形C E 图CDE60° .ADG360°290°60°120°又ADDG1cm,DAGDGA30°如图作 DKAG 于点 K DK1DG1cm22点 D 到 AG 的距离为1 2cm（2）45°NCENEC45° ,CNE90° .DNHH90°° ,D90四边形 MHND 是矩形_精品资料_ - - - - - - -第 11 页,共 12 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 又CNNE,DNNH ,矩形 MHND 是正方形_精品资料_ 20.（17 8,3）. 第 12 页,共 12 页- - - - - - -