2022年初三数学直角三角形三角函数.docx

_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载一、一周学问概述1、解直角三角形常用方法：（1）勾股定理： c 2=a 2b 2 （2）三个锐角三角函数：（3）三个三角函数之间的关系：互余关系 sinA=cos90 ° A、cosA=sin90 ° A 平方关系：商数关系：2、留意两个转化（1）把实际问题转化为数学问题：将实际问题图形转化为平面几何图形,依题意,画出图形 . （2）如三角形不是直角三角形,应添加适当的帮助线,将原图形分割成几个直角三角形,找出边、角之间关系,求出所需要的量 . 3、特别角 0° , 30° ,45° ,60° ,90° 的三角函数值要在懂得基础上记住 . 0°30°45°60°90°0 1 sin cos1 1 0 tan 0 不存在4、三个三角函数值随角的增加,函数值的变化特点：当 0° 90° 时,正弦与正切的函数值随角的增大而增大,但 tan90 ° 的值不存在,而余弦的函数值是随角的增大而减小 . 5、懂得仰角、俯角、坡角、坡度等概念_精品资料_ - - - - - - -第 1 页,共 7 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载有时为了测出江河、水库、筑路等的坡面AB与地面 BC的倾斜程度,有时用坡角 的大小来反映；当 （0° 90° ）较大时,就倾斜程度就较徒,有时把坡面 AB的铅垂高度 h 和水平宽度 的比叫做坡度,用字母 i 表示 . 二、重难点学问概述1、重点（1）锐角 的 sin ,cos ,tan 的特别角及对应的特别值 . （2）0° 、90° 的特别情形： sin0 ° =0,cos0° =1,tan0 ° =0,sin90 ° =1,cos90° =0,tan90 ° 不存在 . （3）已知锐角 ,就可求出 sin ,cos ,tan 的值,当 是 0° 90° 中一般角时,可用科学运算器求出,反过来,如已知某三角函数值时,也可求出 0° 90° 间的角 . （4）利用直角三角形中的边角关系,解决实际问题 . 2、难点 将一般三角形中所要求的值,转化为直角形求其值,即帮助线要恰当地作出；一般 来说,帮助线不要破坏所给的特别角 . 一、周学问概述 1、从实际问题动身梯子靠在墙上,有的较陡,有的较缓,用什么值反映出来？通 过学习发觉：把这一问题转化为在直角三角形中,某锐角的对边与邻边的比 . 所以规定明显,梯子的倾斜程度与 增大,就 tanA 的值逐步增大,梯子越陡 . 2、相应地规定正弦：tanA 的值的大小有关,当 0° <A° <90° ,如 A 逐步_精品资料_ - - - - - - -第 2 页,共 7 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载3、关于 30° , 45° ,60° 的正弦,余弦、正切值,可由直角三角形来确定,与直角三角形大小无关,而与两锐 角大小有关 . 当 A=30° 时 当 A=45° 时 当A=60° 时将它们的特别值列表如下：三角函数sin costan 角 的度数30°45°1 60°4、为便利学习,应明白一下在直角三角形中,把切,即A 的邻边与 A的对边之比起名为余_精品资料_ - - - - - - -第 3 页,共 7 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载5、在 Rt ABC中,由锐角 A（0° <A<90° ）的特点,可得到 0<sinA<1, 0<cosA<1 ,由定义：可得出即 sin2Acos2A=1. 6、除特别角 30° ,45° , 60° 的三角函数值外,仍有0° , 90° 的极端情形规定：（b 0）,而 sin90 ° =1, cos90 ° =0, tan90 ° 不存在 . 二、本周重难点 1、重点：特别角 30° , 45° , 60° 的正弦值,余弦值及正切值,且能依据特别角的三 角函数值,仅求锐角的大 小. 2、难点：如何将一般三角形,通过作帮助线转化为直角三角形去解决某些问题 . 三、重难点学问讲解例 1、如关于 x 的一元二次方程 x 值,且 a5b=1,求 a,b 的值 . 分析 ：此题要用到两个方面的学问2axb=0的两根是始终角三角形两锐角的正弦. 一是一元二次方程根与系数的关系,二是利用在 Rt 中,当 C=90° 时,有 A B=90° , B=90° A,就 sinB=sin90 ° A=cosA 的关系,建立 a,b 的方程组求解 . 解： 设直角三角形 ABC中, C=90° ,依题意： sinA sinB=a （1）,sinA ·sinB=b,又 A B=90° , B=90° AsinB=sin90 ° A=cosA 就将（ 1）,（ 2）式化为：sinA cosA=a （3）sinA ·cosA=b（4）3 2（ 4）× 2,得sin 2Acos 2A+2 sinA ·cosA2 sinA · cosA= a 22b,由 sin 2Acos 2A=1 , a 22b=1 （5）,又由条件可知 a5b=1 （6）,解（5）（ 6）组成的方程组,消去 a 得_精品资料_ - - - - - - -第 4 页,共 7 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载综上所得例 2、为了农田浇灌的需要,某乡利用土堤修筑一条渠道,在堤中间挖出一个深为 1.2米,下底宽为 2 米,坡度为 1 0.8 的渠道（其横断面为等腰梯形）（如图）,并把挖出来的土堆在两旁,使土堤的高度比原先增加 0.6 米. 求（ 1）渠面宽 EF的长；（ 2）如修 300 米长的渠道需挖的土方数是多少？解析 ：从图中可知,将原土堤横断面 MNPQ中挖出一个等腰梯形 ABCD,且将挖出的土方填在原土堤两边加高后,修成一个等腰梯形 EBCF的渠道以便灌水,这中间要求 AD、EF等量 . 解： （1）如图过 F 作 FGBC交 BC的延长线于 G,就： FG=0.61.2=1.8 米 （2）过 D作 DHCG交 CG于 H,就由 且 DH=1.2,_精品资料_ - - - - - - -第 5 页,共 7 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载例3、在 Rt ABC中C=90° , AB=6,BC=2.求（1）sinA, cosA, tanA 的值；（2）sinA 与 cosB 是否相等？ sinB 与 cosA 是否相等？为什么,tanA 与 sinA ,cosA 又有什么关系,为什么？. （3）sin2A与 cos2A 有什么关系？为什么？解： BC=2,AB=6,（1）同理：（2）又 B=90° A,即 sinA=cos90 ° A sinB=cosA 而A=90° B sinB=cos90 ° B （3）_精品资料_ - - - - - - -第 6 页,共 7 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 且 sin2Acos2A=学习必备欢迎下载综上所述,除了把握从 0° 90° 间的特别角的三角函数值外,仍需明白它们之间的关 系,可分为：（1）互余关系： sinA=cos90 ° A,cosA=sin90 ° A （2）平方关系： sin 2Acos 2A=1 （3）商数关系：可作为公式使用 . 例4、在 Rt ABC中, C=90° ,如 求 tanB 的值 . 解析：此题有两种解法,一是定义法,二是用三角函数间的关系式 . 解法一：定义法：在 Rt ABC中, C=90° ,且设 BC=3a, AB=5a,解法二： sinA=cos90 ° A=cosB,. _精品资料_ 又 sin2Bcos2B=1,且 sinB>0, 第 7 页,共 7 页- - - - - - -