2022年中考数学二次函数压轴题题型归纳22 .docx

_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 中考二次函数综合压轴题型归类一、常考点汇总1、两点间的距离公式：AByAy B2xAxB2k12k212、中点坐标 ：线段 AB 的中点 C 的坐标为：x A2xB,yA2yB直线yk 1xb 1（k10）与yk2xb2（k20）的位置关系：（1）两直线平行k 1k2且b 1b2（2）两直线相交（3）两直线重合k 1k2且b 1b2（4）两直线垂直k1k3、一元二次方程有整数根问题,解题步骤如下： 用和参数的其他要求确定参数的取值范畴； 解方程,求出方程的根；（两种形式：分式、二次根式） 分析求解：如是分式,分母是分子的因数；如是二次根式,被开方式是完全平方式；例：关于 x 的一元二次方程x22m1xm20有两个整数根,m5且 m 为整数,求 m 的值；4、二次函数与x 轴的交点为整数点问题；（方法同上）例：如抛物线ymx23 m1x3与 x 轴交于两个不同的整数点,且m 为正整数,试确定此抛物线的解析式；5、方程总有固定根问题,可以通过解方程的方法求出该固定根；举例如下：m 为何值,方程总已知关于 x 的方程mx23m1x2m30（ m 为实数）,求证：无论有一个固定的根；解：当m0时,x1；x 123、2x1；当m0时,m320,x3m1,2 mm综上所述：无论m 为何值,方程总有一个固定的根是1；m 为何值,该抛物线总经过一个6、函数过固定点问题,举例如下：已知抛物线yx2mxm2（ m 是常数）,求证：不论固定的点,并求出固定点的坐标；1 _精品资料_ - - - - - - -第 1 页,共 14 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 解：把原解析式变形为关于m 的方程yx22m1x；yx2020,解得：y11；m1x不论 m 为何值,方程恒成立）x1x 抛物线总经过一个固定的点（1, 1）；（题目要求等价于：关于m 的方程yx22小结：关于 x 的方程axb有很多解a0b07、路径最值问题 （待定的点所在的直线就是对称轴）（ 1）如图,直线1l 、2l,点 A在2l上,分别在1l 、2l 上确定两点 M 、 N ,使得AMMN之和最小；（ 2）如图,直线1l 、2l相交,两个固定点A 、 B ,分别在1l 、2l上确定两点 M 、 N ,使得BMMNAN之和最小；线段 a ,在直线 l 上确定两点 E 、 F （ E 在 F 的（ 3）如图,A、B是直线 l 同旁的两个定点,左侧 ）,使得四边形AEFB 的周长最小；2 _精品资料_ - - - - - - -第 2 页,共 14 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 8、在平面直角坐标系中求面积的方法：直接用公式、割补法三角形的面积求解常用方法：如右图,S PAB=1/2 ·PM· x=1/2 ·AN· y ）9、函数的交点问题：二次函数（yax2bxc）与一次函数（ykxh（1）解方程组yax2bxc可求出两个图象交点的坐标；,ykxh（2）解方程组yax2bxc,即ax2bkxch0ykxh通过可判定两个图象的交点的个数有两个交点0仅有一个交点0没有交点010、方程法（1）设：设主动点的坐标或基本线段的长度（2）表示：用含同一未知数的式子表示其他相关的数量（3）列方程或关系式 11、几何分析法 特殊是构造“ 平行四边形” 、“ 梯形” 、“ 相像三角形” 、“ 直角三角形” 、“ 等腰三角形”等图形时,利用几何分析法能给解题带来便利；几何要求几何分析l1l2yk涉及公式kxAy 1xy2应用图形跟平行有关的平移1k2、平行四边形矩形图形x 1x2梯形跟直角有关的勾股定理逆定理ABAy B22直角三角形利用相像、全等、平直角梯形图形行、对顶角、互余、B矩形互补等跟线段有关的利用几何中的全等、AByAy B2xAx2等腰三角形全等图形中垂线的性质等；B等腰梯形跟角有关的图利用相像、全等、平行、对顶角、互余、形互补等3 _精品资料_ - - - - - - -第 3 页,共 14 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 【例题精讲】y 一 基础构图：y=x22x3（以下几种分类的函数解析式就是这个）P 点坐标B O A x 和 最小,差最大在对称轴上找一点P,使得 PB+PC 的和最小,求出在对称轴上找一点P,使得 PB-PC 的差最大,求出P 点坐标C D y 求面积最大连接 AC, 在第四象限找一点P,使得ACP面积最大,求出P 坐标B O A x 争论直角三角连接 AC, 在对称轴上找一点P,使得ACP 为直角三角形,C D A x 求出 P 坐标或者在抛物线上求点P,使 ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形y O B 争论等腰三角连接 AC, 在对称轴上找一点P,使得ACP 为等腰三角形,C D 求出 P 坐标y 争论平行四边形1、点 E 在抛物线的对称轴上,点F 在抛物线上,且以 B, A,F,E 四点为顶点的四边形为平行四边形,求点F 的坐标B O A x C D 4 _精品资料_ - - - - - - -第 4 页,共 14 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 二 综合题型例 1 中考变式） 如图, 抛物线yx2bxc与 x 轴交与 A1,0,B-3,0 两点, 顶点为 D；交 Y轴于 C 1 求该抛物线的解析式与ABC 的面积；2在抛物线其次象限图象上是否存在一点M ,使 MBC 是以 BCM 为直角的直角三角形,如存在,求出点 P 的坐标；如没有,请说明理由3如 E 为抛物线 B、C 两点间图象上的一个动点 不与 A、B 重合 ,过 E 作 EF 与 X 轴垂直,交BC 于 F,设 E 点横坐标为 x.EF 的长度为 L ,求 L 关于 X 的函数关系式？关写出 X 的取值范畴？当 E 点运动到什么位置时,线段 EF 的值最大,并求此时 E 点的坐标？4在（ 5）的情形下直线 BC 与抛物线的对称轴交于点 H；当 E 点运动到什么位置时 ,以点 E、 F、H、D 为顶点的四边形为平行四边形？5在（ 5）的情形下点E 运动到什么位置时,使三角形BCE 的面积最大？5 _精品资料_ - - - - - - -第 5 页,共 14 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 例 2 考点：关于面积最值如图,在平面直角坐标系中,点A、C 的坐标分别为 1,0 、 0,3 ,点 B 在 x 轴上已知某x 二次函数的图象经过A、B、C 三点,且它的对称轴为直线x 1,点 P 为直线 BC 下方的二次函数图象上的一个动点（点P 与 B、C 不重合）,过点P 作 y 轴的平行线交BC 于点 F（1）求该二次函数的解析式；PF 的长；y （2）如设点 P 的横坐标为m,试用含 m 的代数式表示线段（3）求 PBC 面积的最大值,并求此时点P 的坐标A O F B C P x1 例 3 考点：争论等腰如图,已知抛物线y1 x 22bxc 与 y 轴相交于 C,与 x 轴相交于 A、B,点 A 的坐标为（ 2,0）,点 C 的坐标为（ 0,1）（1）求抛物线的解析式；（2）点 E 是线段 AC 上一动点,过点 求点 D 的坐标；E 作 DE x 轴于点 D,连结 DC,当 DCE 的面积最大时,（3）在直线 BC 上是否存在一点P,使 ACP 为等腰三角形,如存在,求点P 的坐标,如不存在,说明理由B O y D A x B O y A x E C C 备用图6 _精品资料_ - - - - - - -第 6 页,共 14 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 例 4 考点：争论直角三角 如图,已知点 A（一 1,0）和点 B（ 1,2）,在坐标轴上确定点 P,使得ABP 为直角三角形,就满意这样条件的点 P共有（）A） 2个（B） 4个 （C）6个（ D） 7个 已知：如图一次函数 y1 x1 的图象与 x 轴交于点 A,与 y 轴交于点 B；二次函数 y1 x 22 2bxc 的图象与一次函数 y1 x1 的图象交于 B、C 两点,与 x 轴交于 D、E 两点且 D 点坐标为（1,20）（1）求二次函数的解析式；（2）求四边形BDEC 的面积 S；PBC 是以 P 为直角顶点的直角三角形？如存在,求出全部的 y 2 C （3）在 x 轴上是否存在点P,使得点 P,如不存在,请说明理由A B D E x O 例 5 考点：争论四边形已知： 如下列图, 关于 x 的抛物线 yax 与 y 轴交于点 C2x c（a 0）与 x 轴交于点 A（2,0）,点 B（6,0）,（1）求出此抛物线的解析式,并写出顶点坐标；（2）在抛物线上有一点D,使四边形ABDC 为等腰梯形,写出点D 的坐标,并求出直线AD 的解析式；（3）在（2）中的直线 AD 交抛物线的对称轴于点 M,抛物线上有一动点 P,x 轴上有一动点 Q是否存在以 A、 M、 P、Q 为顶点的平行四边形？假如存在,请直接写出点 Q 的坐标；假如不存在,请说明理由y C A O B x 7 _精品资料_ - - - - - - -第 7 页,共 14 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 综合练习：21、平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 y ax 4 ax 4 a c 与 x 轴交于点 A、点 B,与 y 轴的正半轴交于点 C,点 A 的坐标为 1, 0,OBOC,抛物线的顶点为 D； 1 求此抛物线的解析式； 2 如此抛物线的对称轴上的点 P 满意 APB ACB,求点 P 的坐标； 3 Q 为线段 BD 上一点,点 A 关于 AQB 的平分线的对称点为 A ,如 QA QB 2,求点 Q的坐 标和此时QAA 的面积；2、在平面直角坐标系 xOy 中,已知二次函数 y ax 2+2 ax c 的图像与 y 轴交于点 C 0,3,与 x轴交于 A、B 两点,点 B 的坐标为3, ；OM 把四边形 ACDB 分成面积为1 ：2 的（1） 求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；（2） 点 M 是其次象限内抛物线上的一动点,如直线两部分,求出此时点M的坐标；（3） 点 P 是其次象限内抛物线上的一动点,问：点 是多少？并求出此时点 P 的坐标；8 P 在何处时 CPB 的面积最大？最大面积_精品资料_ - - - - - - -第 8 页,共 14 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 3、如图,在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y2x 22x与 x 轴负半轴交于点A ,顶点为 B ,m且对称轴与 x 轴交于点 C ；（1）求点 B 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2） D 为 OB 中点,直线 AD 交 y 轴于 E ,如 E （ 0,2）,求抛物线的解析式；（3）在（ 2）的条件下,点 M 在直线 OB 上,且使得 AMC 的周长最小, P 在抛物线上, Q 在直线 BC上,如以 A、M、P、Q 为顶点的四边形是平行四边形,求点 P的坐标；4、已知关于 x 的方程 1 m x 24 m x 3 0；（1） 如方程有两个不相等的实数根,求m 的取值范畴；m x24m x3的图象与x轴交于（ 2） 如正整数m满意 82 m2,设二次函数y1A、B 两点,将此图象在 x 轴下方的部分沿个新的图象； 请你结合这个新的图象回答：x 轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一当直线ykx3与此图象恰好有三个公共点时,求出 k 的值（只需要求出两个满意题意的 k 值即可）；9 _精品资料_ - - - - - - -第 9 页,共 14 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 5 如图,抛物线y=ax2+2ax+c（a 0）与 y 轴交于点 C（0,4）,与 x 轴交于点 A（ 4,0）和 B（1）求该抛物线的解析式；（2）点 Q 是线段 AB 上的动点,过点Q 作 QE AC ,交 BC 于点 E,连接 CQ当 CEQ 的面积最大时,求点 Q 的坐标；（3）平行于 x 轴的动直线 l 与该抛物线交于点 P,与直线 AC 交于点 F,点 D 的坐标为（2,0）问是否有直线 l,使 ODF 是等腰三角形？如存在,恳求出点 F 的坐标；如不存在,请说 明理由三、中考二次函数代数型综合题题型一、抛物线与 例 1已知二次函数x 轴的两个交点分别位于某定点的两侧yx2 m1 x m2 的图象与 x 轴相交于 A（ x1, 0）, B（x2,0）两点,且x1x2（1）如 x1x20,且 m为正整数,求该二次函数的表达式；（2）如 x1 1,x21,求 m的取值范畴；（3）是否存在实数m,使得过A、 B 两点的圆与y 轴相切于点C（0,2）,如存在,求出m的值；如不存在,请说明理由；（4）如过点 D（0,1 2）的直线与（ 1）中的二次函数图象相交于M、N两点,且MD DN1 3,求该直线的表达式题型二、 抛物线与 x 轴两交点之间的距离问题例 2 已知二次函数y= x2+mx+m-5 ,x 轴有两个交点；（1）求证：不论m取何值时,抛物线总与（2）求当 m取何值时,抛物线与x 轴两交点之间的距离最短10 _精品资料_ - - - - - - -第 10 页,共 14 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 题型三、抛物线方程的整数解问题例1已知抛物线yx22m1x2 m0与 x 轴的两个交点的横坐标均为整数,且 m5,就x 整数 m的值为 _ 例 2已知二次函数yx22mx4m8（1）当 x2 时,函数值y 随 x 的增大而减小,求m 的取值范畴；（2）以抛物线yx22mx4m8 的顶点 A 为一个顶点作该抛物线的内接正AMN （M,N 两点在拋物线上）,请问：AMN的面积是与m 无关的定值吗？如是,恳求出这个定值；如不是,请说明理由；yx22mx4m8 与 x 轴交点的横坐标均为整数,y （3）如抛物线求整数m 的值O A 题型四、抛物线与对称,包括：点与点关于原点对称、抛物线的对称性、数形结合例 1已知抛物线yx2bxc（其中 b>0,c 0）与 y 轴的交点为A,点 A 关于抛物线对称轴的对称点为 Bm,n,且 AB=2. 1求 m,b 的值2假如抛物线的顶点位于x 轴的下方,且BO=20 ；求抛物线所对应的函数关系式（友情提示：请画图摸索）题型五、抛物线中韦达定理的广泛应用（线段长、定点两侧、点点关于原点对称、等等）例 1已知：二次函数yx24xm 的图象与 x 轴交于不同的两点A（1x ,0）、B（x ,0）（1xx ）,其顶点是点C,对称轴与x 轴的交于点D（1）求实数 m的取值范畴；（2）假如（1x +1）（2x +1）=8,求二次函数的解析式；x 轴交于点A 、（3）把（ 2）中所得的二次函数的图象沿y 轴上下平移,假如平移后的函数图象与B ,顶点为点C1,且A B C 是等边三角形,求平移后所得图象的函数解析式综合提升 11 _精品资料_ - - - - - - -第 11 页,共 14 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 1已知二次函数的图象与x 轴交于 A,B两点,与 y 轴交于点 C（0,4）,且 | AB| 23,图象的对称轴为 x1（1）求二次函数的表达式；（2）如二次函数的图象都在直线yxm的下方,求m的取值范畴2已知二次函数yx2mx m2（1）如该二次函数图象与x 轴的两个交点A、 B分别在原点的两侧,并且AB5,求 m的值；（2）设该二次函数图象与y 轴的交点为C,二次函数图象上存在关于原点对称的两点M、N,且 S MNC 27,求 m的值3. 已知关于 x 的一元二次方程x22 k1 xk20 有两个整数根,k5 且 k 为整数（1）求 k 的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时,将关于x 的二次函数yx22 k 1 xk2的图象沿x轴向左平移4 个单位,求平移后的二次函数图象的解析式；（3）依据直线yx b 与（ 2）中的两个函数图象交点的总个数,求b 的取值范畴4已知二次函数的图象经过点A（1,0）和点 B（2,1）,且与 y 轴交点的纵坐标为m（1）如 m为定值,求此二次函数的解析式；（2）如二次函数的图象与x 轴仍有异于点A 的另一个交点,求m的取值范畴；（3）如二次函数的图象截直线yx1 所得线段的长为22,求 m的值四、中考二次函数定值问题12 _精品资料_ - - - - - - -第 12 页,共 14 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 1. 如图,已知二次函数L1： y=x2 4x+3 与 x 轴交于 AB两点（点 A 在点 B 左边）,与y 轴交于点C（1）写出二次函数 L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）争论二次函数 L2：y=kx 2 4kx+3k（k 0）写出二次函数 L2 与二次函数 L1 有关图象的两条相同的性质；如直线 y=8k 与抛物线 L2 交于 E、F 两点,问线段 EF的长度是否发生变化？假如不会,恳求出 EF的长度；假如会,请说明理由2. 如图,已知抛物线与坐标轴分别交于A2,O、B2,0 、C0, l 三点,过坐标原点O的直线 y=kx 与抛物线交于 M、N两点分别过点 C、D0, 2 作平行于 x 轴的直线 1l 、2l 1 求抛物线对应二次函数的解析式； 2 求证以 ON为直径的圆与直线 1l 相切； 3 求线段 MN的长 用 k 表示 ,并证明 M、N两点到直线 2l 的距离之和等于线段 MN的长13 _精品资料_ - - - - - - -第 13 页,共 14 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 3. 如图 1,已知直线y=kx 与抛物线y=42 x +22x交于点 A（3,6）273（1）求直线 y=kx 的解析式和线段 OA的长度；（2）点 P为抛物线第一象限内的动点,过点P作直线 PM,交 x 轴于点 M（点 M、O不重合）,交直线 OA于点 Q,再过点 Q作直线 PM的垂线,交y 轴于点 N摸索究：线段QM与线段 QN的长度之比是否为定值？假如是,求出这个定值；假如不是,说明理由；（3）如图 2,如点 B为抛物线上对称轴右侧的点,点 E 在线段 OA上（与点 O、A 不重合） ,点 D（m,0）是 x 轴正半轴上的动点,且满意BAE=BED=AOD连续探究：m在什么范畴时,符合条件的E 点的个数分别是1 个、 2 个？4孔明是一个喜爱探究钻研的同学,他在和同学们一起争论某条抛物线y=ax 2a 0的性质时,将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O,两直角边与该抛物线交于A、B 两点,请解答以下问题：（ 1）如测得 OA=OB=2 2（如图 1）,求 a 的值；（ 2）对同一条抛物线,孔明将三角板绕点 O 旋转到如图 2 所示位置时,过 B 作 BFx 轴于点F,测得 OF=1,写出此时点 B 的坐标,并求点 A 的横坐标；（ 3）对该抛物线,孔明将三角板绕点 O 旋转任意角度时诧异地发觉,交点 A、 B 的连线段总经过一个固定的点,试说明理由并求出该点的坐标yEOFxBA14 _精品资料_ - - - - - - -第 14 页,共 14 页