2022年初中九年级数学几何定理符号语言3.docx

_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 中学数学“ 图形与几何” 内容九年级上册51、旋转：（1）定义：把一个图形围着平面内某一点 O 转动一个角度,叫图形的旋转；（2）性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前后的图形全等；52、中心对称 ：（1）定义：把一个图形围着某一个点旋转 180°,假如它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；（2）性质：中心对称的两个图形,对称点所连线段都经过对称中心,而且被对称中心所平分；中心对称的两个图形是全等图形；53、中心对称图形：（1）定义：把一个图形围着某一个点旋转180°,假如旋转后的图形能够与原先的图形重合,那么这个图形叫做中心对称图形；（2）中心对称图形的举例；54、关于原点对称的点的坐标：点 Px,y关于原点的对称点为P - x,- y；55、垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧；（定理）几何语言：如下列图,AB 是直径, AB CD 于 E CE=DE,BC=BD ,AC=AD （推论）几何语言：如下列图,AB 是直径, CE=DE ABCD,BC=BD ,AC=AD 56、推论： 平分弦（ 不是直径 ）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧；注：（1）上述定理中,共有五个条件,即：过圆心垂直于弦平分弦平分弦所对的优弧平分弦所对的劣弧,这五个条件中知其中二个可得另外三个；（2）相关运算： 垂径定理的基本图形中,如半径OC、弦心距 OE、弦 CD（或弦的一半）、弓形高 BE这四个量,知其中二个可求得另外二个；所以在相关题目中,可依据详细情形作出相应的帮助线；详细公式为： BE+OE=OB,OC 2 + CE 2 = OC 2 ；57、弧、弦、圆心角定理 ：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等（或所对弦的弦心距相等） ； 在同圆或等圆中,两个圆心角、两条弧、两条弦（或两弦的弦心距）中有一组量相等,它们所对应的其余各组量也相等；_精品资料_ ACOEFBD（定理）几何语言： 如下列图, 在O 中,第 1 页,共 7 页 AOB=COD AB=CD ,AB=CD AB=CD AOB=COD,AB=CD AB=CD AOB=COD,AB=CD 注：如过点 O 分别作 OEAB 于 E,OFCD 于 F,就 OE=OF；即为上述定理中的“ 所对弦的弦心距相等”；- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 58、圆周角定理 ：在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半；59、圆周角定理的推论 ：（1）半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；AOCB（推论）几何语言： 如下列图, 在 O 中, AB 是直径（或弧 AB 是半圆） C90° C90°AB 是直径（2）在同圆或等圆中,假如两个圆周角相等,它们所对的弧肯定相等；60、圆内接四边形的性质 ：圆内接四边形的对角互补；ABOD（性质）几何语言： 如下列图,在 O 中,C四边形 ABCD 是圆内接四边形 A+C180°（或 B+D180°）61、不在同始终线上的三个点确定一个圆；62、切线的判定定理 ：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；（常用帮助线：连半径,证垂直；作垂直,等半径；）（判定定理）几何语言：（性质定理）几何语言 ：如下列图,在 O 中,O 如下列图,在 O 中,OA 是半径, OAL 于 A L直线 L 切 O 于点 A 直线 L 是O 的切线 AOAL 63、切线的性质 ：圆的切线垂直于过切点的半径； （帮助线：作过切点的半径）64、切线长定理 ：从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角；EDOBGPP（定理）几何语言： 如下列图,在 O 中,PC、PD 切 O 于 A、B 两点PA=PB, APO=BPO ECOA注：如左图,如在图中再添加几条线段,就图BDF形涵盖了垂径定理、 弧弦圆心角的关系、 圆周CA角定理（推论）、圆内接四边形、切线、切线长定理的基本图形；附几个特别图形：_精品资料_ - - - - - - -第 2 页,共 7 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - ABDDOBOAEPCECO 是 Rt ABC的内切圆, D、E 是切点,就四边形 ODCE是正方形；S ABC 1 （AC+BC+AB OD 2（此公式对于一般三角形也成立）A C 如左图所示：PB、PA、CD 分别切 O 于 B、A、E,就 PCD的周长等于 PB+PA,即： PCD的周长 2 PBOBEAB 是直径, CA、CD、DB 分别切 O 于 A、E、B,就D COD90°再连接 OE,就 ACO ECO, DEO DBO65、点和圆、直线和圆、圆和圆各种位置关系的数量关系及判定方法：点和圆位置关系名称公共点个数数量关系说明点在圆外无d > r d:点到圆心的距离点在圆上d = r r:圆的半径点在圆内d < r 直线和圆相离0 个d > r d: 直 线 到 圆 心 的相切只有 1 个d = r 距离圆和圆相交2 个d < r r:圆的半径外离0 个d > r1+r2 d:圆心距外切只有 1 个d = r1+r2 相交2 个r2- r1<d < r1+r2 r1、r2:圆的半径内切只有 1 个d = r2- r1 r1 < r2 内含0 个d < r2- r1 66、三角形的外心和内心：（1）锐角三角形的外心在三角形内,直角三角形的外心在斜边的中点处,钝角三 角形的外心在三角形外；（2）三角形的外心是三边的垂直平分线的交点,到三角形三个顶点的距离相等；（3）三角形的内心是三个内角角平分线的交点,到三角形三边的距离相等；67、正多边形：如左图所示：A （ n-2）×180°n ,AF正多边形的每一个内角,如BOE中心角 COD360°n _精品资料_ CGD正 n 边形的半径把正n 边形分成 n 个全等的等腰三角形正 n 边形的半径和边心距把正n 边形分成 2n 个全等的 第 3 页,共 7 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 68、弧长公式 ：L= n R180 （n：圆心角度数； R：半径）69、扇形面积 ：S 扇形 =n R360=LR2（n：圆心角度数； R：半径； L：弧长）70、求阴影部分的面积 ：仔细观看图形, 留意图形特点；71、圆锥与扇形的关系：（1）圆锥的母线（ PB）是其侧面绽开图扇形的半径；圆锥的底面圆周长是其侧面绽开图扇形的弧长；（2）圆锥的母线（ PB）、圆锥的高（ PO）、底面圆半 径（OB）构成一个直角三角形；P72、圆的两条平行弦所夹的弧相等；73、与半径相等的弦所对的圆心角是60°；AOB九年级下册74、相像多边形的性质： 相像多边形的对应角相等,对应边的比相等； （以相像三 角形为例）BAED几何语言： 如左图所示：AB= BC=AC ABC DEF C A=D, B=E, C=F,FDEEFEF75、相像比为 1 时,相像的两个图形全等；76、平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线,所得的对应线段的比相等；应用于三角形中,会显现以下两种情形：L1L2L3L1BDEL2如左图（ 1）：L3 L4 L5,AAD ：AB=AE ：AC； AD ：DB=AE ：EC；DEL4ADB：AD=EC：AE；DB：AB=EC：AC L5如左图（ 2）：L3 L4 L5,BCC（2）DA ： AC=EA ：AB ； DA ：DC=EA ：EB；（ 1）AB ：EA=AC ：DA ；AB ：EB=AC：DC 平行于三角形一边的直线截其他两边 相等；（或两边的延长线）,所得的对应线段的比_精品资料_ 77、三角形相像的判定方法：所构成的三角形与原三角形相像；（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交,第 4 页,共 7 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - BDAE几何语言： 如下列图：DE BC ADE ABC C（2）假如两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相像；（3）假如两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相像；（4）假如一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相像；几何语言： 如下列图：A D（2）AB = BC = AC ABC DEF DE EF EFB C E F（3）AB = BC ,B=E ABC DEF DE EF（4） A=D, B=E ABC DEF第（ 3）（4）仍有其它情形,也成立；78、相像直角三角形的判定方法：一般三角形相像的判定方法也适用；满意斜边的比等于一组直角边的比的两个直角三角形相像；A D 几何语言： 如下列图：AB = BC （或 AB = AC ）DE EF DE EFC B F E ABC DEF 79、相像多边形（三角形）的相关量的比：相像多边形（三角形）周长的比等于相像比；相像三角形对应高线的比、对应边上的中线的比、对应角的角平分线的比都等于相像比；相像多边形（三角形）面积的比等于相像比的平方；78、在平面直角坐标系中,假如位似变换是以原点为位似中心,相像比为Bk,那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或k；80、锐角三角函数：BC,sinB=cosA= AC,A（1）定义：如右图,sinA=cosB=ABABtanA=BC,tanB= AC；CACBC（2）特别角的三角函数值 ：_精品资料_ 30°45°60°第 5 页,共 7 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 正弦sin 123222余弦cos 321222正切 tan 31 3381、解直角三角形 ：1定义 ：在直角三角形中, 由已知元素求未知元素的过程； （元素指三边和两个锐角）2求解过程中,用到的关系：三边关系： a 2+b 2=c 2（勾股定理）；两锐角之间的关系：A+B=90° ；边角之间的关系： sinA=cosB= BC,sinB=cosA= AC,AB ABtanA= BC,tanB= AC ；AC BC（3）用解直角三角形的学问解决实际问题的一般过程是：将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形,转化为解直角三角形问题）；依据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；得到数学问题的答案；得到实际问题的答案；82、投影与视图 ：1 平行投影、中心投影、正投影 : 定义 ：由平行光线形成的投影是平行投影 ；由同一点（点光源）发出的光线形成的投影是 中心投影 ；投影线垂直于投影面产生的投影是 正投影 ；当物体的某个面平行于投影面时,这个面的正投影与这个面的外形、大小完全相同；2 三视图：三视图分别为主视图、左视图、俯视图；（在正面内得到的由前向后观看物体的视图是主视图；在水平面内得到的由上向下观看物体的视图是俯视图；在侧面内得到的由左向右观看物体的视图是左视图；）左视图三种视图的位置如右图 ：主视图俯视图画几何体的三视图 时,要留意“长对正、高平齐、宽相等 ”（主视图与俯视图的长对正,主视图与左视图的高平齐,左视图与俯视图的宽相等）,仍要留意看得见部分的轮廓线画成实线,因被其他部分遮挡而看不见部分的轮廓画成虚线；依据三视图说出立体图形的名称：要先分别依据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、上面和左侧面,然后再综合起来考虑整体图形；常用帮助线：AB1、连接 AB ；_精品资料_ - - - - - - -第 6 页,共 7 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - ABDC2、过点 A 作 AD BC 于 D；3、延长 AB 到 C,使 BC= 1 AB；2ABC4、过点 O 作 OEAB 于 E,延长OAEBC5、延长 CG交 AF 于点 H；EHAAEDCDG6、分别延长 BA、CD 交于 E；FBCABD7、过点 D 作 DE AC,交 BC 的延BCEA8、过点 D 作 DE BC,交 AC 于 E；1BD1E1212C1_精品资料_ - 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