2022年反函数典型例题精析.docx
精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载2 4反函數·例題解析【例 1】求以下函數的反函數：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3x1y 2 x51x 12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2y x 2 2x 3, x ,0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) y(4) y1x 21 x 0x +1 1x 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 0x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解1 y 3x2x5 x 11 , y 3 ,22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3x5由y得 2y 3x y 5,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 x1y5y53可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x32 y所求反函数为y 32 yx 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解2 y x 1 2 2, x , 0 其值域為y 2 , ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由y x 1 2 2x 0 ,得 x 1y2 ,即 x 1y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_反函数为f1 x 1x2 , x 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 3y1x21 x 0 ,它的值域为0y1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由y11y得x,x 21y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_反函数为 f1 x 1x0 x1x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解 4 由yx11 x 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得值域 0y1,反函数 f1 x x2 10x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由yx 0x1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得值域1 y 0,反函数 f1 x x 2 1x 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2 1 0 x 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故所求反函数为 yx 2 1x 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载【例 2】求出以下函數的反函數,並畫出原函數和其反函數的圖像可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1y x1 12y 3x 2 2x 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解1已知函數的定義域是x 1,值域為y 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由yx11,得反函数yx12 1x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数yx11与它的反函数yx12 1的图像如图2 41所示可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解2由 y 3x2 2x 0 得值域 y 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_反函数 f1 x x2 x 32 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_它們的圖像如圖2 4 2 所示3x11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例3】 已知函数fx x xaa, a3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 求它的反函數.2求使 f-1x fx 的實數 a 的值3x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解1 设y,xax a,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ yx a 3x 1, y 3x 1 ay,这里y 3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如y 3,就1a这与已知31a冲突,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 xyay,即反函数3f1 x 1ax x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 如fx f3x1x,即11ax对定义域内一切x的值恒成立,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xax3令 x 0, a 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载或解由 fx f-1x ,那麼函數fx 與 f -1x 的定義域和值域相同,定義域是 x|x a, x R ,值域 y y|y 3, y R , a3 即 a 3axb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例4】 已知函数y fx 中, a、b、c、d均不为零, cxd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_試求 a、b、c、d 滿足什麼條件時,它的反函數仍是自身abcad解fx ,常数函数没有反函数,cc cxd 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ bc ad 0又 f1 x dxb ,cxa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dxbaxb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_要使,对定义域内一切x值恒成立,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_cxacxd令 x 0,得 a d,即 a d 0事實上,當a d0 時,必有f -1x fx ,因此所求的條件是bc ad 0,且 a d0【例 5】設點 M1 ,2既在函數fx ax2 bx 0的圖像上,又在它的反函數圖像上,1求 f -1x , 2 證明 f-1x 在其定義域內是減函數可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解1 由2 a b1a得3, fx 1 x 2 7x 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 4a bb 7333可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证2 由y717x 2 x 0 得反函数 f 331 x 773x x 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设x1 x 2 , 7 3x1 7 3x 2 0,123可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_73x 1 x3x 2 ,即f1 xf1 x,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故f1 x 在 ,73上是减函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例6】x如函数 fx x1,求f21 2 的值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解法 一先求函数xfx 1的反函数 f1 x 12x ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x21x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是f1 2 12212 5 32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -学习好资料欢迎下载解法 二由函數 y fx 與其反函數yf -1x 之間的一一對應關可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_系,求 f1 2 的值,就是求fx 2 时对应的xx的值,令x12,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得x5 32,即 f1 2 5 32 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_【例7】已知 a R ,且1a 0, a 1设函数x1fx ax1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x R 且x ,证明ay fx 的图像关于直线y x对称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_证 由y xax1 , a 0,a1,得 ay 1x y 1,11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假如ay1 0,就y,a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1 xaax1 得a1,这与已知1a1冲突,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y ay1 0 ,故 x ayx111 , fx11x ax1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即证得fx的反函数就是它本身可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ax1因為原函數的圖像與其反函數的圖像關於直線y x 對稱,函數 y fx 的圖像關於直線yx 對稱可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 4 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载
