2022年指数函数对数函数幂函数的图像与性质 .docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 指数函数、对数函数、幂函数的图像与性质（一）指数与指数函数1根式（1）根式的概念根式的概念符号表示备注假如xna ,那么 x 叫做 a 的 n 次方根n an1 且nN当 n 为奇数时 ,正数的 n 次方根是一个正数,负数的 n 次零的 n 次方根是零方根是一个负数当 n 为偶数时 ,正数的 n 次方根有两个 ,它们互为相反数n a a0负数没有偶次方根（2）两个重要公式nnanna|a aa0n 为奇数；|an 为偶数a0aa（留意 a 必需使n a 有意义）；2有理数指数幂（1）幂的有关概念正数的正分数指数幂:amnam a0,m、nN,且n1;n1n正数的负分数指数幂N,且: am1n1ma0,m、nnma0 的正分数指数幂等于an0,0 的负分数指数幂没有意义.注： 分数指数幂与根式可以互化,通常利用分数指数幂进行根式的运算；（2）有理数指数幂的性质a ra s=a r+sa>0,r 、sQ; a r s=a rsa>0,r 、sQ; abr=a rb sa>0,b>0,r Q;. 3指数函数的图象与性质名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - y=ax a>1 0<a<1 图象定义域 R 值域（0,+）性质（1）过定点（ 0,1）（2）当 x>0 时, y>1; 2 当 x>0 时, 0<y<1; x<0 时,0<y<1 x<0 时, y>1 3在（ -,+）上是增函数（3）在（ -,+）上是减函数注： 如下列图,是指数函数（1）y=a x,（2）y=b x,（3）,y=c x（4）,y=d x 的图象,如何确定底数 a,b,c,d 与 1 之间的大小关系？提示：在图中作直线x=1 ,与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值,即c1>d1>1>a1>b1,c>d>1>a>b ；即无论在轴的左侧仍是右侧,底数按逆时针方向变大；（二）对数与对数函数 1、对数的概念（1）对数的定义假如axN a0 且a1,那么数 x 叫做以 a 为底, N 的对数,记作xlogaN,其中 a叫做对数的底数,N 叫做真数；（2）几种常见对数对数形式特点0, 且a1记法N一般对数底数为 aaloga常用对数底数为 10 lg N自然对数底数为 e ln N2、对数的性质与运算法就名师归纳总结 （1）对数的性质（a0, 且a1）：loga10, logaa 1,g oalaNN , logaaNN ；第 2 页,共 9 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）对数的重要公式：换底公式：logbNlogaN , a b 均为大于零且不等于1,N0；logablogab1a；logb（3）对数的运算法就：假如a0,且a1,M0,N0那么logaMNlogaMlogaN；logaMlogaMlogaN；NlogaMnnlogaMnR ；logambnnlogab；m3、对数函数的图象与性质a10a1图象性（1）定义域：（0,+）质（2）值域： R （3）当 x=1 时, y=0 即过定点（ 1,0）（4）当 0x1 时,y,0；（4）当x1时,y,0；当x1时,y0,当 0x1 时,y0,（5）在（ 0,+）上为增函数（5）在（ 0,+）上为减函数注：确定图中各函数的底数a,b,c,d 与 1 的大小关系提示：作始终线 y=1,该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数；0<c<d<1<a<b. 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4、反函数x 与对数函数y=log ax 互为反函数,它们的图象关于直线y=x 对称；指数函数 y=a（三）幂函数1、幂函数的定义 形如 y=x （aR）的函数称为幂函数,其中x 是自变量, 为常数注：幂函数与指数函数有本质区分在于自变量的位置不同,幂函数的自变量在底数位置,而指数函数的自变量在指数位置；2、幂函数的图象注：在上图第一象限中如何确定y=x3,y=x2,y=x ,y1-1 方法：可画出x=x 0；x ,y=x1当 x0>1 时,按交点的高低,从高到低依次为y=x3,y=x2, y=x ,yx2, y=x-1；当 0<x 0<1 时,按交点的高低,从高到低依次为y=x-1,yx1,y=x , y=x2,y=x3 ；23、幂函数的性质定义域y=x y=x2）y=x31）y=x-1R 且x0yx2R R R 0,x x值域R 0,R 0,）y yR 且y0奇偶性奇偶）时,增；奇非奇非偶奇时,减；单调性增x0,增增x0,+定点x,0 时,减x-,0 时,减（1,1）三：例题诠释,举一反三 学问点 1：指数幂的化简与求值名师归纳总结 例 1.2007育才 A25405.0.008 20 .0210.3210.0625.025；第 4 页,共 9 页（1）运算：33332289- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）化简：4 b2a42 31ba2a22 3b5a3a238 a33abaa3a33变式：（2007 执信 A）化简以下各式（其中各字母均为正数）: 2111（1）a3b12a2b3;6ab5（2）51b23 a114 a2b31.a 32 b32631.51708 0.25423236 232336学问点 2：指数函数的图象及应用1 a 1 b例 2.2022 广附 A已知实数 a、b 满意等式 2 3 ,以下五个关系式：0ba; ab0; 0ab; ba0; a=b. 其中不行能成立的关系式有（）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个变式：（2022 华附 A）如直线 y 2 a 与函数 y | a x 1 | a 0 且 a 1 的图象有两个公共点,就 a 的取值范畴是 _. 学问点 3：指数函数的性质例 3. （2022 省实 B）已知定义域为R 的函数f x 22xb是奇函数；x12（）求 b 的值；（）判定函数fx 的单调性 ; f t22 f2t2k0恒成立,求 k 的取值范畴（）如对任意的tR,不等式变式：（2022 东莞 B）设 a0,fx=exa是 R上的偶函数 .aex（ 1）求 a 的值；（ 2）求证： fx在（ 0,+）上是增函数.学问点 4：对数式的化简与求值名师归纳总结 例 4. （2022 云浮 A）运算：（1）log23213第 5 页,共 9 页（2）2lg2 2+lg2 ·lg5+lglg2;22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （3）1 lg 232 -494 lg 38 +lg245 .变式：（2022 惠州 A）化简求值 .（1）log 2（2）lg2（3）log7 +log 212-481 log 242-1; 22+lg2 ·lg50+lg25;32+log 92 ·log43+log 83.学问点 5：对数函数的性质例 5. （2022 深圳 A）对于 0a1,给出以下四个不等式：）log 1alog a1;log 1alog 11；aa1 aa1 a1;1 aa1 a1;其中成立的是（aa（A ）与（ B）与（ C）与（ D）与变式：（2022 韶关 A）已知 0 a1,b 1,ab 1,就 log a 1 , log a b , log b 1 的大小关系是b b（）A.log a 1 log a b log b 1 B. log a b log a 1log b 1b b b b1 1 1 1C. log a b log b log a D. log b log a log a bb b b b例 6.（ 2022 广州 B）已知函数 fx=log axa 0,a 1 ,假如对于任意 x3,+）都有 |fx|1 成立,试求 a 的取值范畴 .变式：（2022 广雅 B）已知函数 f（ x）=log2x 2-ax-a 在区间（ - , 1-3 上是单调递减函数 . 求实数 a 的取值范畴 .学问点 6：幂函数的图象及应用例 7.2022 佛山 B已知点 2 2, 在幂函数 f x 的图象上,点 2,1,在幂函数 g x 的图4象上问当 x 为何值时有： （）f x g x ；（）f x g x ；（）f x g x 变式：（2022 揭阳 B）已知幂函数 fx=x m 2 2 m 3（mZ）为偶函数,且在区间（0,+）上是单调减函数 . （1）求函数 fx;（ 2）争论 F（x）=a f（x）xf（bx）的奇偶性 .四：方向猜测、成功在望名师归纳总结 1（ A）函数fx lg1x的定义域为（）第 6 页,共 9 页x4A1, 4 B1,4 C , 14, D, 14, 2.（A）以下四个数中的最大者是（）A ln22B lnln2C ln2D ln2 3（B）设 a>1,函数 fx=log ax 在区间 a,2a上的最大值与最小值之差为1 就 a= ,2A2（B）2 （C）22（D）4 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4.（A）已知f x 是周期为 2 的奇函数,当 0x1时,f x lgx 设af6 ,5bbcf3, c f2（B） b5 ,2a就（）ba（ D） cab2b（A） ac（C） c5.（B）设 fx= 2ex1,x2,x2,就不等式 fx>2 的解集为（）log x21,c 22aA （ 1,2）（3,+）B （10 ,+）C（1,2）（10,+）D（1,2）6（ A）设Plog 3,Qlog 2,Rlog log 2,就（） RQP PRQ QRP RPQ7A 已知log1blog1alog1c,就 222Ab 22a2cB2a2bc 2C2c2ba 2D8（ B）以下函数中既是奇函数,又是区间1,1 上单调递减的是（）（A）f x sinxB f x x1C f x 1axaxD f x ln2x22x2,就 k （）9. （ A）函数ylog 3 2x2的定义域是： （）A 1, B 3 , C ,1 D 33 ,110.A 已知函数ylog1x 与ykx的图象有公共点A,且点 A 的横坐标为4名师归纳总结 A1B1C1D1第 7 页,共 9 页442211（B）如函数fxaxb1 a0 且a1 的图象经过其次、三、四象限,就肯定有（）A0a1 且b0Ba1 且b0C0a1 且b0Da1 且b012 B如函数fxlogax0a1 在区间a,2a上的最大值是最小值的3 倍,就 a=（）A. 2B. 2C. 1D. 1424213.A 已知 0xy a1,就有（）（ A）logaxy0（B）0logaxy1（ C）1logaxy2（D）logaxy214. （A）已知fx6log2x,那么f8 等于（）（A）4（B）8 （C）18 （D）13215（B）函数 ylg|x| （）A 是偶函数,在区间,0上单调递增B是偶函数,在区间,0上单调递减C是奇函数,在区间0, 上单调递增D是奇函数,在区间0, 上单调递减16.（A）函数ylg4x的定义域是_.x3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 17（B）函数y1 axa0,a1的图象恒过定点A ,如点 A在直线mx ny 1 0 mn 0 上,就1 1的最小值为m ne x , x 0. 118（A）设 g x 就 g g _ lnx x 0. 219（B）如函数 fx = 2 x 2 2 ax a 1 的定义域为 R,就 a 的取值范畴为 _. 2 220 B如函数 f x log a x x 2 a 是奇函数,就 a= 21.B 已知函数 f x 1log 2 1 x,求函数 f x 的定义域,并争论它的奇偶性和单调x 1 x性. 参考答案：三：例题诠释,举一反三1b3a1b3例 1. 解：（1）2 ,（2）9a25ab. 3110 5 4 变式：解：（ 1）1, a 2 b 2 5 4 1 31（2）ab6324ab 2例 2. 解： B487122log2变式：解：0 ,1；（）k12例 3.解：（）b1（）减函数；3变式：解：（ 1）a=1. （2）略例 4. 解：（1）-1.2）1.3）1 . 23 变式：解： 1 12 2 23.（2）2.（3）54224例 5.解： 选 D；变式：解： C 例 6. 解： 1 ,31 ,1）3变式：解： a|2-2 3 a2例 7. 解：（1）当 x 1 或 x 1 时,f x g x ；（ 2）当 x 1 时,f x g x ；（ 3）当 1 x 1 且 x 0 时,f x g x 变式：解：（ 1）fx=x-4. （ 2）F（x）=x a2 bx 3,F（-x ）=x a +bx 2 3.当 a 0,且 b 0 时, F（ x）为非奇非偶函数；名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 当 a=0,b 0 时, F（x）为奇函数；当 a 0,b=0 时, F（x）为偶函数；当 a=0,b=0 时, F（ x）既是奇函数,又是偶函数 . 四：方向猜测、成功在望名师归纳总结 15 ADDDC； 610 AADDA； 1115 CADDB. 第 9 页,共 9 页16. -, 33,417. 4 18.119.-1,0 20.22221 解x 须满意x0, 由01x0 得1x,11x1x1x所以函数fx的定义域为（1,0）（ 0,1）. 由于函数fx的定义域关于原点对称,且对定义域内的任意x,有fx1log21x1log21xfx,所以fx是奇函数 . x1xx1x争论fx 在（ 0,1）内的单调性,任取x1、x2（ 0,1）,且设 x1<x2 ,就fx 1fx21log21x 11log21x 2x 11x 1x21x211log21221log2121 ,x 1x 2xx 1由110 ,log2 1221log21210 ,x 1x 2xx 1得fx 1fx2>0,即fx在（ 0,1）内单调递减,由于fx 是奇函数,所以fx 在（ 1,0）内单调递减 . - - - - - - -