曾谨言量子力学课后答案解析.pdf

1 曾谨言量子力学课后答案曾谨言量子力学课后答案曾谨言量子力学课后答案曾谨言量子力学课后答案 目录目录目录目录 第一章、量子力学的诞生.1 第二章 波函数与 Schrdinger 方程.3 第三章、一维定态问题.8 第四章、力学量用算符表达与表象变换.20 第五章 力学量随时间的变化与对称性.33 第六章 中心力场.38 第七章 粒子在电磁场中的运动.44 第八章 自旋.46 第九章 力学量本征值问题的代数解法.50 第十章 定态问题的常用近似方法.55 第十一章 量子跃迁.66 第十二章 散射.70 第一章第一章第一章第一章、量子力学的诞生量子力学的诞生量子力学的诞生量子力学的诞生 1.1 设质量为 m 的粒子在一维无限深势阱中运动， << = ax axx xV 0, 0 , 0, )( 试用 de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。 解：据驻波条件，有 ),3,2, 1( 2 L=nna na/2= （1） 又据 de Broglie 关系 /hp = （2） 2 而能量 ()L h h , 3,2, 1 242 2/2/ 2 222 2 22 222 = = = n ma n am nh mmpE （3） 1.2 设粒子限制在长、宽、高分别为cba,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 解： 除了与箱壁碰撞外， 粒子在箱内作自由运动。 假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发， 则碰撞为弹性碰撞。 动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为zyx,轴方向，把粒子沿zyx,轴三个方向的运动 分开处理。利用量子化条件，对于 x 方向，有 () =L,3,2, 1, xxx nhndxp 即 hnap xx =2 （a2：一来一回为一个周期） ahnp xx 2/=, 同理可得， bhnp yy 2/=, chnp zz 2/=, L,3,2, 1,= zyx nnn 粒子能量 +=+= 2 2 2 2 2 222 222 2 )( 2 1 c n b n a n m ppp m E z y x zyxnnn zyx h L,3,2, 1,= zyx nnn 1.3 设质量为m的粒子在谐振子势 22 2 1 )(xmxV=中运动，用量子化条件求粒子能量 E 的可能取值。 提示：利用 )(2,2, 1,xVEmpnnhxdp= L )(xV 解：能量为 E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 ax （1） 其中a由下式决定： 22 2 1 )(xmxVE ax = = 。 a 0 a x 由此得 2 /2mEa= ， （2） ax=即为粒子运动的转折点。有量子化条件 hnamam dxxamdxxmEmdxp a a a a = = + + 22 22222 2 2 2) 2 1 (22 得 m n m nh a h2 2 = （3） 3 代入（2） ，解出 Lh,3,2, 1,=nnEn （4） 积分公式： c a ua ua u duua+= arcsin 22 2 2222 1.4 设一个平面转子的转动惯量为 I，求能量的可能取值。 提示：利用,2, 1, 2 0 L= nnhdp p是平面转子的角动量。转子的能量IpE2/ 2 =。 解：平面转子的转角（角位移）记为。 它的角动量 . Ip =（广义动量） ， p是运动惯量。按量子化条件 L,3,2, 1,2 2 0 = mmhpdxp mhp = ， 因而平面转子的能量 ImIpEm2/2/ 222 h= ， L, 3,2, 1=m 第二章第二章第二章第二章 波函数与波函数与波函数与波函数与 Schrdinger 方程方程方程方程 2.1 设质量为m的粒子在势场)(rV v 中运动。 （a）证明粒子的能量平均值为 wrdE= 3 ， V m w * 2 2 += h （能量密度） （b）证明能量守恒公式 0=+ s t wv + = * *2 2 ttm s hv （能流密度） 证： （a）粒子的能量平均值为（设已归一化） 4 VTrdV m E+= += 32 2 * 2 h （1） =VrdV *3 （势能平均值） （2） () ()() = = *3 2 2 2 *3 2 )( 2 动能平均值 rd m m rdT h h 其 中T的 第 一 项 可 化 为 面 积 分 ， 而 在 无 穷 远 处 归 一 化 的 波 函 数 必 然 为0。 因 此 = *3 2 2 rd m T h （3） 结合式（1） 、 （2）和（3） ，可知能量密度 , 2 * 2 V m w+= h （4） 且能量平均值 =wrdE 3 。 （b）由（4）式，得 += + += + + += + += * . . * *2 2 . 2 2. * . * . *2 . 2 . * . . * 2 . * . * . * . * 2 22 2 2 Es V m V m s VV m VV mt w v hhv h h t Es += v （ ：几率密度） s v = （定态波函数，几率密度不随时间改变） 所以 0=+ s t wv 。 2.2 考虑单粒子的 Schrdinger 方程 ()()( )( )()trriVrVtr m tr t i, 2 , 21 2 2 vvvvhv h+= （1） 1 V与 2 V为实函数。 5 （a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。 （b）证明粒子在空间体积内的几率随时间的变化为 () += *32*3 2 2 rd V Sd im rd dt d S h v h 证： （a）式（1）取复共轭， 得 () * 21 *2 2 * 2 iVV mt i+= h h （2） * （1）-（2）,得 ()() () * 2 * 2 2 *22* 2 * 2 2 2 2 iV m Vi mt i += += h h h ()()() *2* 2 2h hV imt += （3） 即 0 2 2 =+ h v V j t ， 此即几率不守恒的微分表达式。 （b）式（3）对空间体积积分，得 ()()() () * 2 3* * 2 33*3 2 2 2 2 rVdSd im rVdrd im rd t S += += h v h h h 上式右边第一项代表单位时间内粒子经过表面进入体积的几率 （Sdj vv = ） ， 而第二项代表体积中 “产 生”的几率，这一项表征几率（或粒子数）不守恒。 2.3 设 1 和 2 是 Schrdinger 方程的两个解，证明 ()()0, 2 * 1 3 = trtrrd dt dvv 。 证： 1 2 2 1 2 += V mt i h hQ （1） 2 2 2 2 2 += V mt i h h （2） 6 取（1）之复共轭： * 1 2 2* 1 2 += V mt i h h （3） 2 （3） * 1 （2）,得 ()() 2 2* 1 * 1 2 2 2 2 * 1 2 = mt i h h 对全空间积分： ()() = 2 2* 1 * 1 2 2 3 2 2 * 1 3 2 ,rd m trtrrd dt d i hvv h ()()() ()() += 2 * 1 * 122 * 1 * 12 3 2 2 rd m h () = 2 * 1 * 12 3 2 2 rd m h ()0 2 2 * 1 * 12 2 = Sd m v h ， （无穷远边界面上，0, 21 ） 即 () ( )0,. 2 * 1 3 = trtrrd dt d 。 2.4）设一维自由粒子的初态() h/ 0 0 , xip ex=， 求()tx,。 解： () h/ 2 2 0 0 , = t m p xpi etx 2.5 设一维自由粒子的初态()( )xx=0 ,，求() 2 ,tx。 提示：利用积分公式 ()()2sincos 22 = + + dd 或 4expexp 2 idi= + 。 解：作 Fourier 变换： ()( ) + =dpepx ipx h h 2 1 0 ,， ( )() hhh hh 2 1 )( 2 1 0 , 2 1 = + + dxexdxexp ipxipx ， ()( ) () + =dpeptx Etpxih h / 2 1 , （mpE2 2 =） 7 + =dpe pxt m pi 2 2 2 1h h （指数配方） + =dp t mx p m it e timx 2 2 2 exp 2 1 2 hh h 令 2 2 2 = t mx p m t h ，则 () = = = + 42 exp 2 2 2 1 2 2 1 , 2 4/2 2 2 22 t mx i t m ee t m de t m etx itimx itimx hh h h h h h h () t m tx h 2 , 2 = 。 2.6 设一维自由粒子的初态为()0 , x，证明在足够长时间后， () = t mx t imx i t m tx hhh 2 exp4exp, 2 式中 ( )() + =dxexk ikx 0 , 2 1 是()0 , x的 Fourier 变换。 提示：利用 ( )xee xii = 2 4/ lim。 证：根据平面波的时间变化规律 ()tkxiikx ee ， mkE2 2 hh=， 任意时刻的波函数为 ()( ) ()dk ektx mtkkxi2/ 2 2 1 , h + = ( ) = + 2 2/ 2 exp 2 1 2 t mx k m t ikdke timx h h h （1） 当时间足够长后（所谓t） ，上式被积函数中的指数函数具有函数的性质，取 mt 2h= ， = t mx ku h ， （2） 8 参照本题的解题提示，即得 ()( ) + kd t mx kke t m etx itimx hh h 4/2 2 2 1 , 2 = t mx ee t m timxi hh h 2/4/ 2 （3） () 2 2 , t mx t m tx hh （4） 物理意义：在足够长时间后，各不同 k 值的分波已经互相分离，波群在x处的主要成分为tmxkh=，即 mktxh=，强度( ) 2 k，因子tmh描述整个波包的扩散，波包强度t1 2 。 设整个波包中最强的动量成分为 0 kh，即 0 kk =时( ) 2 k最大，由（4）式可见，当t足够大以后， 2 的最 大值出现在 0 ktmx=h处，即mtkx 0 h=处，这表明波包中心处波群的主要成分为 0 k。 2.7 写出动量表象中的不含时 Schrdinger 方程。 解：经典能量方程 ( )rV m p E v += 2 2 。 在动量表象中，只要作变换pp ， dp d irh v 所以在动量表象中，Schrdinger 为： ( )( )pEp dp d iV m p = +h 2 2 。 第三章第三章第三章第三章、一维定态问题一维定态问题一维定态问题一维定态问题 3.1）设粒子处在二维无限深势阱中， << = 其余区域 , 0 , 0 ),( ax yxV 求粒子的能量本征值和本征波函数。如ba = ，能级的简并度如何？ 解：能量的本征值和本征函数为 m E yxn n 2 22 h = 2 2 2 2 b n a n y x + 9 L, 2 , 1, ,sinsin 2 = yx y x nn nn b yn a xn ab y x 若ba =，则 )( 2 22 2 22 yxnn nn ma E yx += h a yn a xn a y x nn y x sinsin 2 = 这时，若 yx nn =，则能级不简并;若 yx nn ，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如5,10= yx nn 与2,11 = yx nn） 3.2）设粒子限制在矩形匣子中运动，即 <<<<<< << = ax0, , 0 , 0 ),( x ax yxV 10 证明处于定态)(x n 的粒子 ) 6 1 ( 12 )x-(x , 2 22 2 2 n aa x= 讨论 n的情况，并于经典力学计算结果相比较。 证：设粒子处于第 n 个本征态，其本征函数 x a n a x n sin 2 )(=. 2 sin 2 0 2 2 0 a xdx a n x a dxxx aa n 分部 = （1） 4 )( 2 2 0 2 2 22 a dxxxxxx n a = 4 ) 2 cos1 ( 2 12 2 0 2 a dx a xn x a a = ) 6 1 ( 12 22 2 n a = （2） 在经典情况下，在()a , 0区间粒子除与阱壁碰撞（设碰撞时间不计，且为弹性碰撞，即粒子碰撞后仅运动方向改 变，但动能、速度不变）外，来回作匀速运动，因此粒子处于xxdx+范围的几率为 a dx ，故 2 0 a a dx xx a = ， （3） 3 2 0 22 a a dx xx a =， 43 )( 22 2 22 aa xxxx= （4） 当n时，量子力学的结果与经典力学结果一致。 3.4）设粒子处在一维无限深方势阱中， < << = <= <<= kx Dex axkFx （5） 在ax =处，波函数及其一级导数连续，得 12 kaka kDeakFkDeakF = cos ,sin （6） 上两方程相比，得 k k aktg = （7） 即 () E EV EVatg + = + 0 0 2 2 h （7） 若令 =aakk , （8） 则由（7）和（3） ，我们将得到两个方程： =+ = (10) 9) ( 2 2 2 0 a V ctg h （ 10 ） 式 是 以 aVr 2 0 2h=为半径的圆。对于束缚态来说，0 0 <<EV， 结合（3） 、 （8）式可知，和都大于零。 （10）式表达的圆与曲线ctg=在第一象限的交点可决定束缚 态能级。当2r，即2 2 2 0 a V h ，亦即 8 222 0 haV （11） 时，至少存在一个束缚态能级。这是对粒子质量，位阱深度和宽度的一个限制。 36）求不对称势阱中粒子的能量本征值。 解：仅讨论分立能级的情况，即 2 0VE <<， () h EVm dx d = 2 2 2 当x时，0，故有 () ()() () =< <=<<+ = <<+ =E）从左入射，碰到下列势阱（图） ，求阱壁处的反射系数。 解：势阱为 < = . 0, 0 , 0, )( 0 x xV xV 在区域上有入射波与反射波，在区域上仅有透射波。故 14 () h h mEkCe EVmkBeAe xik xikxik 2, 2, 22 011 2 11 = +=+= 由)0()0( 21 =，得 CBA=+。 由)0()0( 2 1 =，得 ()CkBAk 21 =。 从上二式消去 c, 得 ()()BkkAkk 2121 +=。 反射系数 () ()2 21 2 21 2 2 2 kk kk A B rR + = 将 21,k k代入运算，可得 () < = + = 00 0 22 0 4 0 2 0 ,41 ,16 VEVE VEEV EEV V R 38）利用 Hermite 多项式的递推关系（附录 A3。式（11） ） ，证明 谐振子波函数满足下列关系 ()()()()(21)(12)(1 2 1 )( )( 2 1 )( 2 1 )( 22 2 2 11 xnnxnxnnxx x n x n xx nnnn nnn + + += + += 并由此证明，在 n 态下， 2 , 0 n EVx= 证：谐振子波函数 )()( 2 22 xHeAx n x nn = （1） 其中，归一化常数 h m , !2 = = n A n n （2） )(xH n 的递推关系为 . 0)(2)(2)( 11 =+ + xnHxxHxH nnn （3） 15 () () + += + + + = + = += = + + + + + )( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 !12 1 )( 2 !12 1 )( !2 2 1 )( !2 1 )(2)( 2 1 )(2 2 1 )()( 11 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 11 2 22 22 22 2222 22 2222 x n x n xHe n n xHe n n xHe n xnHe n xnHxHeA x xxHeAxxHeAxx nn n x n n x n n x n n x n nn x n n x nn x nn ()()()()(21)(12)(1 2 1 )( 2 2 )( 2 1 2 1 )( 2 )( 2 1 2 1 )( 2 1 )( 2 1 )( 22 2 22 2 11 2 xnnxnxnn x n x nn x n x nn xx n xx n xx nnn nnnn nnn + + + += + + + + + = + += 0)( 2 1 )( 2 1 )( 11 * = + += + + + dxx n x n xdxxx nnnnn () ()2 2 1 2 1 12 2 1 2 1 )(12 2 1 2 1 )( )( 2 1 )( 2 2 2 2* 22* n nn nn Ennm dxxnmx dxxxmxV = +=+= += = + h 39）利用 Hermite 多项式的求导公式。证明（参 A3.式（12） ） ()()()() 22 2 2 2 11 21121 2 )( 2 1 2 )( + + += + = nnnn nnn nnnnnx dx d nn x dx d 证：A3.式（12） ：)(2 dx )(dH ),(2)( 1 n 1 xHn x nHH nnn = 16 () + = + + += += += + + )( 2 1 )( 2 )(2)( 2 1 )( 2 )(2)( )(2)()( 11 111 1 2 1 2222 2222 x n x n xnx n x n xnxx xHnexHexAx dx d nn nnn nn n x n x nn ()()()() 22 2 22 2 2 21121 2 2 2 2 1 2 1 22 1 2 )( + + += + + + = nnn nnnnn nnnnn nnnnnn x dx d ()0 2 1 2 11 * = + = = + dx nn idx dx d ip nnnnn hh ()()()() ()() 22 1 2 1 12 4 12 4 21121 22 22 2 * 22 22 2 * 2 2 22 * 2 n nn nnnn nn E nn m m dxn m dxnnnnn m dx dx d mm p T = +=+=+= += = + h h hh h h 310）谐振子处于 n 态下，计算 () 2 1 2 =xxx，() 2 1 2 =ppp，?=px 解：由题 36） ， m n m E m V xx n h + = 2 1 2 , 0 22 2 由题 37） ，hmnmETmpp n += 2 1 2 , 0 2 ()() ()() h h h += += = += = 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 npx mnppppp m nxxxxx 对于基态，2, 0h=pxn，刚好是测不准关系所规定的下限。 17 311）荷电 q 的谐振子，受到外电场的作用， xqxmxV= 22 2 1 )( （1） 求能量本征值和本征函数。 解： xqHxqxm m p H=+= 0 22 2 2 1 2 （2） 0 H的本征函数为 )( 2 22 xHeA n x nn =， 本征值 ( ) h += 2 1 0 nEn 现将H的本征值记为 n E，本症函数记为)(x n 。 式（1）的势能项可以写成 () 2 0 2 0 2 2 1 )(xxxmxV= 其中 2 0 mqx = （3） 如作坐标平移，令 0 xxx= （4） 由于 p dx d i dx d ip=hh （5） H可表成 2 0 22,2 2 2 1 2 1 2 xmxm m p H+= （6） （6）式中的H与（2）式中的 0 H相比较，易见H和 0 H的差别在于变量由x换成 x，并添加了常数项 2 0 2 2 1 xm，由此可知 ( )2 0 20 2 1 xmEE nn = （7） )()()( 0 xxxx nnn = （8） 即 Lh h , 2 , 1 , 0 , 22 1 2 1 2 1 2 22 2 2 2 = += += n m q n m q mnEn （9） = 2 2 2 2 2 )( m q xHeAx n m q x nn (10) 其中 h m , !2 = = n A n n (11) 312）设粒子在下列势阱中运动， 18 < = . 0, 2 1 , 0, )( 22 xxm x xV 求粒子能级。 解：既然粒子不能穿入0 x的区 域，这些本征函数和谐振子的本征函数相同（因在这个区域，粒子的H和谐振子的H完全一样，粒子的波函数 和谐振子的波函数满足同样的 S.eq） 。振子的具有12 += kn的奇宇称波函数在0=x处为零，因而这些波函数是 这一问题的解（kn2=的偶宇称波函数不满足边条件0)0(=）所以 ()Lh, 2 , 1 , 0 ,232=+=kkEk 313）设粒子在下列势阱中运动， () ar (1) 是否存在束缚定态？求存在束缚定态的条件。 解：S.eq: ()Eaxr dx d m = 2 22 2 h (2) 对于束缚态（0 ） ，a时，左侧无限高势垒的影响可以完全忽略，此时1cotha，式（10）给出 22 hmr= 即 2 222 22h hmr m E= （13） 与势阱)()(xrxV=的结论完全相同。 令=a， 则式（10）化为 () 2 2 coth1 h mra =+ （14） 由 于()1coth1+， 所 以 只 当1 2 2 h mra 时 ，式 （ 10 ） 或（ 14 ）才有 解 。 解 出根之 后 ，利 用 hmEaa2=，即可求出能级 2 22 2ma E h = （15） 20 第四章第四章第四章第四章、 力学量用算符表达与表象变换力学量用算符表达与表象变换力学量用算符表达与表象变换力学量用算符表达与表象变换 4.1）设A与B为厄米算符，则()BAAB + 2 1 和()BAAB i 2 1 也是厄米算符。由此证明，任何一个算符F均可分 解为 + +=iFFF， + F与 F均为厄米算符，且 ()() + + =+=FF i FFFF 2 1 , 2 1 证：）()()()()BAABABBABAABBAAB+=+=+= + + + 2 1 2 1 2 1 2 1 ()BAAB + 2 1 为厄米算符。 ）()()()()BAAB i ABBA i BAAB i BAAB i = = + + 2 1 2 1 2 1 2 1 ()BAAB i 2 1 也为厄米算符。 ）令ABF =，则()BAABABF= + + + ， 且定义 ()() + + =+=FF i FFFF 2 1 , 2 1 （1） 由） ，）得 + + + + =FFFF ,，即 + F和 F皆为厄米算符。 则由（1）式，不难解得 + +=iFFF 4.2）设),(pxF是px,的整函数，证明 F, F, p iFx x iFp = =hh 整函数是指),(pxF可以展开成 = = 0, ),( nm nm mn pxCpxF。 证： （1）先证 11 , , = nnmm pnipxxmixphh。 () () () 111 111 331 33231 2221 11 1 ,1 ,3 ,2 , , = += =+= += += += mmm mmmm mm mmm mmm mmm xmixixim xxpxim xxpxi xxpxxpxxi xxpxxpxxi xxpxpxxp hhh h Lh h h 同理， 21 1 221 2221 11 ,2 , , = =+= += += n nn nnn nnn pni ppxpi ppxppxppi ppxpxppx h Lh h 现在， () = = = = = = 0, 1 0,0, , nm nm mn nm nm mn nm nm mn pxmiC pxpCpxCpFp h 而 () = = 0, 1 nm nm mn pxmiC x F ihh。 F, x iFp =h 又 () = = = = = = 0, 1 0,0, , nm nm mn nm nm mn nm nm mn pnixC pxxCpxCxFx h 而 () = = 0, 1 nm nm mn pnixC p F ihh F, p iFx =h 4.3）定义反对易式BAABBA+= + ,，证明 + + + = = CABCBABCA BCACBACAB , , 证： () () BCACBA BCAACCBBCACABACBACBABC BCACBACAB + = +=+= = , , ()()+ + =+= +=+= CABCBACAACBCBAAB BCA